2020-2021人教版數學3教師用書：第3章 3.2 3.2.1古典概型 3.2.2（整數值）隨機數（rndom numbers）的產生含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年人教A版數學必修3教師用書：第3章3.23.2.1古典概型3.2.2（整數值）隨機數（randomnumbers）的產生含解析3.2古典概型3。3。學習目標核心素養(yǎng)1．了解基本事件的特點，理解古典概型的定義．(重點）2．會判斷古典概型，會用古典概型的概率公式解決問題．（重點、難點)3．理解用模擬方法估計概率的實質，會用模擬方法估計概率．（重點)1．通過古典概型的概率計算,培養(yǎng)數學運算素養(yǎng)．2．借助隨機模擬估計概率，提升數學抽象素養(yǎng)。1?；臼录?1)定義：在一次試驗中，所有可能出現的基本結果中不能再分的最簡單的隨機事件稱為該次試驗的基本事件．(2)特點：①任何兩個基本事件是互斥的;②任何事件（除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型(1)定義：如果某類概率模型具有以下兩個特點：①試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現的可能性相等．我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．（2)古典概型的概率公式:對于任何事件A，P(A)＝eq\f（A事件包含的基本事件的個數，基本事件的總數)。3．隨機數與偽隨機數(1）隨機數要產生1～n(n∈N＊）之間的隨機整數，把n個大小形狀相同的小球分別標上1，2，3，…，n，放入一個袋中,把它們充分攪拌，然后從中摸出一個，這個球上的數就稱為隨機數．（2)偽隨機數計算機或計算器產生的隨機數是依照確定算法產生的數,具有周期性（周期很長)，它們具有類似隨機數的性質．因此，計算機或計算器產生的并不是真正的隨機數，我們稱它們?yōu)閭坞S機數．4．整數值隨機數的產生及應用（1)產生整數值隨機數的方法用計算器的隨機函數RANDI(a，b）或計算機的隨機函數RANDBET_WEEN(a,b）可以產生從整數a到整數b的取整數值的隨機數；也可用計算機中的Excel軟件產生隨機數．用計算機或計算器模擬試驗的方法稱為隨機模擬方法．（2)整數值的隨機數的應用利用計算器或計算機產生的隨機數來做模擬試驗，通過模擬試驗得到的頻率來估計概率，這種用計算器或計算機模擬試驗的方法稱為隨機模擬方法或蒙特卡羅方法．思考：“在區(qū)間［0，10］上任取一個數，這個數恰為2的概率是多少？”這個概率模型屬于古典概型嗎?[提示]不是，因為在區(qū)間［0，10］上任取一個數，其試驗結果有無限個,故其基本事件有無限個,所以不是古典概型．1．下列試驗中,屬于古典概型的是（)A．種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽B．從規(guī)格直徑為250mm±0.6mm的一批合格產品中任意抽一根,測量其直徑dC．拋擲一枚質地均勻的硬幣，觀察其出現正面或反面D．某人射擊中靶或不中靶C［依據古典概型的特點，只有C項滿足有限性與等可能性．］2．某校高一年級要組建數學、計算機、航空模型三個興趣小組,某學生只選報其中的2個，則基本事件共有（)A．1個 B．2個C．3個 D．4個C[基本事件有(數學、計算機),(數學、航空模型），(計算機、航空模型）共3個．］3．甲、乙、丙三名同學站成一排,乙站中間的概率是（)A。eq\f（1，6） B.eq\f(1，2）C.eq\f(1，3) D。eq\f（2，3）C［所有基本事件有：（甲乙丙），（甲丙乙），(乙甲丙）（乙丙甲）,(丙甲乙）,(丙乙甲）共6個，乙站中間包含(甲乙丙）,（丙乙甲）共2個，所以P＝eq\f（2，6）＝eq\f（1,3)。］4．已知拋擲一枚質地均勻的硬幣,正面朝上的概率為0.5?，F采用隨機模擬試驗的方法估計拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率：先由計算器產生隨機數0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三個隨機數作為一組，代表這三次投擲的結果．經隨機模擬試驗產生了如下20組隨機數:101111010101010100100011111110000011010001111011100000101101據此估計，拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率為________．0.35[拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的有010,010，100，100，010，001,100共7組，則拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率可以為eq\f（7,20)＝0。35.]基本事件及其計數問題【例1】連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后3枚硬幣是正面向上還是反面向上．(1）寫出這個試驗的所有基本事件；(2)“恰有兩枚正面向上”這一事件包含哪幾個基本事件？[解](1)由樹形圖表示如下：試驗的所有基本事件為（正，正，正),(正，正，反），（正,反，正），(正，反，反)，(反，正,正），（反，正，反)，(反，反，正），（反，反,反)．(2）“恰有兩枚正面朝上”包含以下3個基本事件：(正，正，反），(正，反，正)，(反,正，正)．基本事件的三種列舉方法（1)直接列舉法：把試驗的全部結果一一列舉出來．此方法適合于較為簡單的試驗問題．(2）列表法：將基本事件用表格的方式表示出來，通過表格可以弄清基本事件的總數，以及要求的事件所包含的基本事件數．列表法適用于較簡單的試驗的題目，基本事件較多的試驗不適合用列表法．（3)樹狀圖法：樹狀圖法是使用樹狀的圖形把基本事件列舉出來的一種方法，樹狀圖法便于分析基本事件間的結構關系,對于較復雜的問題，可以作為一種分析問題的主要手段，樹狀圖法適用于較復雜的試驗的題目．eq\o（［跟進訓練］）1．拋擲一枚骰子，下列不是基本事件的是（）A．向上的點數是奇數 B．向上的點數是3C．向上的點數是4 D．向上的點數是6A[向上的點數是奇數包含三個基本事件：向上的點數是1，向上的點數是3，向上的點數是5，則A項不是基本事件，B，C，D項均是基本事件．]古典概型的判斷與計算［探究問題]1．任何兩個基本事件具有什么特征？[提示]互斥．2．若一次試驗的結果所包含的基本事件的個數是有限個，則該試驗是古典概型嗎？［提示］不是，若是古典概型，還必須滿足每個基本事件出現的可能性相等．3．使用古典概型概率公式應注意哪些問題？［提示］（1)確定是否為古典概型．(2)所求事件是什么,它包含哪些基本事件．【例2】袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標號分別為1，2,3；藍色卡片兩張，標號分別為1，2；現從袋中任取兩張卡片．(1）若把所取卡片的所有不同情況作為基本事件，則共有多少個基本事件？是古典概型嗎？(2)若把所取出卡片的標號之和作為基本事件，則共有多少個基本事件？是古典概型嗎?（3）求所取卡片標號之和小于4的概率．思路點撥:先列舉出基本事件,緊扣古典概型的特點加以判斷,再用古典概型概率公式求相應概率．［解］(1)基本事件為（紅1,紅2),(紅1，紅3)，（紅1,藍1)，(紅1，藍2)，(紅2，紅3），（紅2，藍1），(紅2，藍2)，(紅3，藍1)，（紅3，藍2)，(藍1，藍2)共10種，由于基本事件個數有限，且每個基本事件發(fā)生的可能性相同，所以是古典概型．（2)由(1)知，基本事件為2，3，4,5共4種，且他們出現的頻數依次為1，4，3，2;故每個基本事件發(fā)生的可能性不同，不是古典概型．（3)設A＝{所取兩張卡片標號之和小于4｝，由(1)知,A事件包含（紅1，紅2）,(紅1，藍1），(紅1，藍2)，（紅2，藍1），(藍1,藍2)共5種，由古典概型概率公式得：P（A)＝eq\f(5，10）＝eq\f(1,2）。1．(變結論）本題條件不變，求所取兩張卡片標號之和不大于4且顏色相同的概率．［解］所有基本事件為（紅1，紅2),(紅1，紅3)，（紅1，藍1)，(紅1,藍2）,（紅2,紅3)，（紅2,藍1）,（紅2，藍2），（紅3,藍1),(紅3，藍2），(藍1，藍2)共10種．設A＝｛所取兩張卡片標號之和不大于4且顏色相同｝,則A事件包含(紅1,紅2)，(紅1，紅3），（藍1,藍2）共3種,由古典概型概率公式得：P（A)＝eq\f（3,10)。2．(變條件)在本題原條件不變的情況之下，現往袋中再放一張標號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率．［解]加入一張標號為0的綠色卡片后，從六張卡片中任取兩張，所有可能情況如下表所示：綠藍紅012123綠012123藍132342345紅134253由表格可知，從六張卡片中任取兩張的所有可能情況有15種．其中兩張卡片的顏色不同且標號之和小于4的有｛綠0，藍1}，{綠0,藍2},{綠0，紅1｝,｛綠0，紅2｝，{綠0,紅3}，{藍1，紅1}，｛藍1，紅2}，｛藍2，紅1｝，共8種情況．由古典概型的概率計算公式可得，所求事件的概率P＝eq\f（8,15）.求解古典概型的概率“四步"法整數隨機模擬及應用【例3】盒中有大小、形狀相同的5個白球和2個黑球，用隨機模擬方法求下列事件的概率：(1)任取一球,得到白球；（2)任取三球，恰有兩個白球；(3）任取三球(分三次，每次放回再取），恰有3個白球．[解]用計算器或計算機產生1到7之間取整數值的隨機數，用1，2，3,4,5表示白球，6，7表示黑球.(1）統(tǒng)計隨機數個數N及小于6的個數N1，則eq\f(N1，N）即為任取一球，得到白球的概率的近似值．（2)三個數一組（每組內不重復)，統(tǒng)計總組數M及恰好有兩個數小于6的組數M1，則eq\f（M1，M）即為任取三個球，恰有兩個白球的概率的近似值.（3)三個數一組（每組內可重復），統(tǒng)計總組數K及三個數都小于6的組數K1，則eq\f（K1，K)即為任取三球(分三次，每次放回再取),恰有3個白球的概率的近似值．利用隨機模擬估計概率應關注三點用整數隨機數模擬試驗估計概率時，首先要確定隨機數的范圍和用哪些數代表不同的試驗結果.我們可以從以下三方面考慮：1當試驗的基本事件等可能時,基本事件總數即為產生隨機數的范圍，每個隨機數代表一個基本事件；2研究等可能事件的概率時,用按比例分配的方法確定表示各個結果的數字個數及總個數；3當每次試驗結果需要n個隨機數表示時，要把n個隨機數作為一組來處理，此時一定要注意每組中的隨機數字能否重復。eq\o（［跟進訓練]）2．種植某種樹苗，成活率是0。9.若種植該種樹苗5棵，用隨機模擬方法估計恰好4棵成活的概率．［解］利用計算器或計算機產生0到9之間取整數值的隨機數,我們用0代表不成活,1至9的數字代表成活，這樣可以體現成活率是0。9。因為種植5棵,所以每5個隨機數作為一組，可產生30組隨機數，如下所示：698016609777124229617423531516297472494557558652587413023224374454434433315271202178258555610174524144134922017036283005949765617334783166243034401117這就相當于做了30次試驗，在這些數組中，如果恰有一個0,則表示恰有4棵成活,共有9組這樣的數,于是我們得到種植5棵這樣的樹苗恰有4棵成活的概率近似為eq\f(9，30)＝0.3。古典概型的綜合問題【例4】如圖所示莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學在某次數學測驗中的成績(單位：分)．甲組記錄中有一個數字模糊，無法確認，在圖中以x表示．(1）如果甲組同學與乙組同學的平均成績一樣,求x；(2）如果x＝7,分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名，求這兩名同學的數學成績均不低于90分的概率．思路點撥：（1）先求乙組同學成績的平均值，再求x.(2)列出從甲、乙兩組同學中各隨機選一名的所有結果,由古典概型求解．[解](1）eq\x\to(x）乙＝eq\f（1，4)×(87＋90＋90＋93）＝90，eq\x\to(x）甲＝eq\f（1,4)×（80＋x＋86＋91＋94）＝90，解得x＝9。（2)當x＝7時，甲組的成績?yōu)?6分，87分，91分,94分，乙組的成績?yōu)?7分，90分,90分,93分，分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名的可能結果有（86，87)，（86,90）,（86,90)，(86，93）,(87,87），（87，90），（87,90），(87，93)，（91,87）,(91,90）,（91,90），（91，93），(94，87）,（94，90)，(94，90),(94，93），共有16種，其中這兩名同學的數學成績均不低于90分有（91，90），（91,90)，（91,93),（94,90)，（94,90)，（94,93)，共6種，故這兩名同學的數學成績均不低于90分的概率P＝eq\f（6，16)＝eq\f(3，8)。古典概型常與統(tǒng)計問題相結合，解題時要對所給圖表認真分析，把圖表信息及古典概型公式有機地結合起來.eq\o([跟進訓練]）3．國家標準規(guī)定：輕型汽車的氮氧化物排放量不得超過80mg/kg.根據這個標準,檢測單位從某出租車公司運營的A,B兩種型號的出租車中分別抽取5輛，對其氮氧化物的排放量（單位：mg/kg)進行檢測，檢測結果記錄如表：A8580856090B70x95y75由于表格被污損，導致數據x,y看不清，統(tǒng)計員只記得A，B兩種出租車的氮氧化物排放量的平均值相等,方差也相等．(1)求表格中x與y的值;(2)從被檢測的5輛B種型號的出租車中任取2輛，記“氮氧化物排放量超過80mg/kg”的車輛數為X，求X＝1時的概率．［解](1)由條件知eq\x\to（x)A＝eq\x\to(x）B，seq\o\al(2，A）＝seq\o\al（2，B)，又eq\x\to（x)A＝eq\f（1,5）×（85＋80＋85＋60＋90）＝80,eq\x\to（x）B＝eq\f(1,5)×（70＋x＋95＋y＋75），seq\o\al(2,A）＝eq\f（1,5）×(25＋0＋25＋400＋100）＝110,seq\o\al（2，B）＝eq\f(1,5)×[100＋（x－80）2＋225＋(y－80)2＋25］，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝160，,x－802＋y－802＝200，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝70，，y＝90))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝90，,y＝70。）)（2）被檢測的5輛B種型號的出租車中，氮氧化物排放量不超過80mg/kg的有三輛,記為A1,A2,A3，氮氧化物排放量超過80mg/kg的有兩輛，記為B1，B2，從被檢測的5輛B種型號的出租車中任取2輛的情況有：（A1,A2）,(A1，A3),（A1，B1)，(A1，B2）,(A2，A3），（A2，B1），(A2,B2)，（A3，B1），（A3,B2），(B1，B2）,共10種．其中符合條件的有:（A1，B1），（A1，B2），(A2,B1），(A2,B2），(A3，B1），(A3，B2),共6種．故所求概率P（X＝1）＝eq\f(6,10)＝eq\f（3,5)。1．古典概型是一種最基本的概型，也是學習其他概型的基礎，這也是我們在學習、生活中經常遇到的題型．解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性．在應用公式P（A）＝eq\f(m,n)時，關鍵是正確理解基本事件與事件A的關系，從而求出m，n.2．求某個隨機事件A包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數常用的方法是列舉法（畫樹狀圖和列表），注意做到不重不漏．3．對于用直接方法難以解決的問題，可以先求其對立事件的概率，進而求得其概率，以降低難度．1．判斷下列結論的正誤(正確的打“√"，錯誤的打“×”）（1）若一次試驗的結果所包含的基本事件的個數為有限個,則該試驗符合古典概型。 (）（2）“拋擲兩枚硬幣,至少一枚正面向上”是基本事件． (）(3)從裝有三個大球、一個小球的袋中,取出一球的試驗是古典概型． （）（4)隨機數的抽取就是簡單隨機抽樣． (）[答案](1)×(2）×（3)×（4）√2．若連續(xù)擲兩次骰子得到的點數為m、n，則點P(m，n）在直線x＋y＝4上的概率是(）A。eq\f(1,3） B.eq\f（1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f（1，12)D［由題意（m，n)的取值情況有(1，1）,(1,2),…，（1,6）；(2，1），(2,2)，…，（2,6);…；(6，1），(6,2)，…，（6,6)，共36種,而滿足