函數(shù)逼近與曲線擬合

實(shí)驗(yàn)三函數(shù)逼近與曲線擬合實(shí)驗(yàn)3.1（曲線逼近方法的比較）問題提出：曲線的擬合和插值，是逼近函數(shù)的基本方法，每種方法具有各自的特點(diǎn)和特定的適用范圍，實(shí)際工作中合理選擇方法是重要的。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：考慮實(shí)驗(yàn)2.1中的著名問題。下面的MATLAB程序給出了該函數(shù)的二次和三次擬合多項(xiàng)式。x=-1:0.2:1;y=1/(1+25*x.*x);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);holdon;p3=polyfit(x,y,3);yy=polyval(p3,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);holdoff;適當(dāng)修改上述MATLAB程序，也可以擬合其他你有興趣的函數(shù)。實(shí)驗(yàn)要求：（1）將擬合的結(jié)果與拉格朗日插值及樣條插值的結(jié)果比較。（2）歸納總結(jié)數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果，試定性地說明函數(shù)逼近各種方法的適用范圍，及實(shí)際應(yīng)用中選擇方法應(yīng)注意的問題。第（1）問：對函數(shù)進(jìn)行擬合，與所給的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了比較，程序代碼如下：擬合程序代碼：x=-1:0.2:1;y=1./(1+25*x.^2);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);subplot(2,2,1)xlabel('x');ylabel('y');holdon;p3=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p3,xx);plot(x,y,'o',xx,yy);x=-1:0.2:1;y=1./(1+25*x.^2);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);subplot(2,2,2)xlabel('x');ylabel('y');holdon;p3=polyfit(x,y,4);yy=polyval(p3,xx);plot(x,y,'o',xx,yy);x=-1:0.2:1;y=1./(1+25*x.^2);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);subplot(2,2,3)xlabel('x');ylabel('y');yy=polyval(p3,xx);holdon;p3=polyfit(x,y,7);yy=polyval(p3,xx);plot(x,y,'o',xx,yy);x=-1:0.2:1;y=1./(1+25*x.^2);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);subplot(2,2,4)xlabel('x');ylabel('y');holdon;p3=polyfit(x,y,9);yy=polyval(p3,xx);plot(x,y,'o',xx,yy);holdoff;實(shí)驗(yàn)結(jié)果：圖1不同次數(shù)的擬合函數(shù)圖像與原函數(shù)比較拉格朗日插值結(jié)果:三次樣條插值的結(jié)果對比這三種方式的插值我們可以看出，無論是拉格朗日插值還是高次函數(shù)的擬合，在當(dāng)次數(shù)很高的時(shí)候，在兩端都可能出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。而采用三次樣條插值函數(shù)對原函數(shù)插值的時(shí)候，隨著點(diǎn)的越來越多，越來越接近于原函數(shù)。第（2）問：歸納總結(jié)數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果，試定性地說明函數(shù)逼近各種方法的適用范圍，及實(shí)際應(yīng)用中選擇方法應(yīng)注意的問題。實(shí)驗(yàn)結(jié)果：在這幾次的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，對函數(shù)運(yùn)用不同的插值方法進(jìn)行了插值，如拉格朗日插值，切比雪夫插值，以及三次樣條插值。在本次實(shí)驗(yàn)中又對該函數(shù)進(jìn)行了擬合?？偨Y(jié)歸納每種種函數(shù)逼近的結(jié)果如下所示：拉格朗日插值：切比雪夫插值：三次樣條插值：④擬合：結(jié)果分析： 我們可以看出，在進(jìn)行高次函數(shù)插值的過程中，隨著次數(shù)的增加，拉格朗日函數(shù)和擬合函數(shù)會隨著次數(shù)的增加在兩端出現(xiàn)比較明顯的龍格現(xiàn)象。究其原因就是，插值余項(xiàng)的高階導(dǎo)數(shù)的值會隨著函數(shù)次數(shù)的增加而顯著的增加。但在采用切比雪夫節(jié)點(diǎn)和三次樣條插值函數(shù)進(jìn)行插值的時(shí)候，并沒有看到插值函數(shù)圖形出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。并且明顯可以看出隨著點(diǎn)的增多，和原函數(shù)的擬合程度越好。實(shí)驗(yàn)總結(jié)：在實(shí)際生產(chǎn)生活中，若要求對一個(gè)函數(shù)進(jìn)行插值的話，需根據(jù)實(shí)際情況，選擇合適