茆詩松《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》(第3版)章節(jié)題庫(大數(shù)定律與中心極限定理)【圣才出品】

圣才電子書十萬種考研考證電子書、題庫視頻學習平臺第4章大數(shù)定律與中心極限定理一、選擇題1．已知隨機變量Xn（n＝1，2，…）相互獨立且都在（－1，1）上服從均勻分布，根ni1limp{Xn}等于（結(jié)果用標準正態(tài)分布函數(shù)Φ（x）n據(jù)獨立同分布中心極限定理有i表示）（）。A．Φ（0）B．Φ（1）C．3D．Φ（2）【答案】C【解析】由題設知{Xn，n≥1}獨立同分布，且EXn＝0，DXn＝22/12＝1/3，根據(jù)中心極限定理，對任意x∈R有：nXnnXEXlimPxlimPixiii1i1i1nnnnDX3ii1nlimPX3xxnini11/8圣才電子書十萬種考研考證電子書、題庫視頻學習平臺limPXnnn3。取x3，有ii1limp{nXn}＝2．假設隨機變量序列X1，…，Xn，…獨立同分布且EXn＝0，則ini1（）。A．0B．1/4C．1/2D．1【答案】D1nXuuuuPr0，即【解析】由于僅知“EXn＝0”，因而考慮應用辛欽大數(shù)定律：nii1milPXn＜1limP1X＜1nn對?ε＞0，，取ε＝1，有，ni1iinni1nn＜＜XnilimPX＜n1nnXni，所以又。ii1i1i13．設Xn表示將一硬幣隨意投擲n次“正面”出現(xiàn)的次數(shù)，則（）。Xnx}(x)nlimP{nnA．limP{X2nx}(x)nB．nn2/8圣才電子書十萬種考研考證電子書、題庫視頻學習平臺limP{2Xnx}(x)nC．D．nnlimP{2X2nx}(x)nnn【答案】C【解析】由題設知，Xn～B（n，1/2），根據(jù)“二項分布以正態(tài)分布為其極限分布”定X1n2Xnxx2limPnxlimPn理得。1nnnn41nX4．設隨機變量序列X1，…，Xn，…相互獨立，則根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當n→∞時，nii1依概率收斂其數(shù)學期望，只要{Xn，n≥1}（A．有相同的數(shù)學期望）。B．服從同一離散型分布C．服從同一泊松分布D．服從同一連續(xù)型分布【答案】C【解析】直接應用辛欽大數(shù)定律的條件進行判斷，C項正確。事實上，應用辛欽大數(shù)定律，隨機變量序列{Xn，n≥l}必須是“獨立同分布且數(shù)學期望存在”，A項缺少同分布條件，B、D兩項雖然服從同一分布但不能保證期望存在。故C項正確。5．設隨機變量X1，…，Xn，…相互獨立記Yn＝X2n－X2n－1（n≥1），概括大數(shù)定律，3/8圣才電子書十萬種考研考證電子書、題庫視頻學習平臺1nYi當n→∞時，依概率收斂到零，只要{Xn，n≥l}滿足（）。ni1A．數(shù)學期望存在B．有相同的數(shù)學期望與方差C．服從同一離散型分布D．服從同一連續(xù)型分布【答案】B【解析】由題設，我們應該考慮應用大數(shù)定律來確定正確選項，由于Xn相互獨立，所以Yn相互獨立，A項“缺少同分布”條件，C、D兩項“缺少數(shù)學期望存在”的條件，因此都不滿足辛欽大數(shù)定律，B項正確。事實上，若EXn＝μ，DXn＝σ2存在，則112i1nnEXEX02iEYnnii1i1111n22n22222nnDYnDXDX2iDYii2i1nn2n2ni1i1i1根據(jù)切比雪夫大數(shù)定律得：1n11nnlimPYEnYlimPY1nnini1niii1i11nY即i依概率收斂到零。ni1二、填空題1．設X1，X2，…，Xn是相互獨立的隨機變量，且Xi（i＝1，2，...，n）服從參數(shù)為λ4/8圣才電子書十萬種考研考證電子書、題庫視頻學習平臺limPnXnixi1n的泊松分布，則＝______。n1et2dt2x【答案】【解析】因為X1，X2，…，Xn是相互獨立的隨機變量，且Xi（i＝1，2，...，n）服從參數(shù)為λ的泊松分布，所以EXi＝λ，DXi＝λ則由列維一林德伯格中心極限定理可得limPnXnx1ix=et2dti1n2n2．設隨機變量X在[－1，b]上服從均勻分布，若由切比雪夫不等式有P{|X－1|＜ε}≥2/3，則b＝______；ε＝______?！敬鸢浮?；2【解析】由題設知EX＝（b－1）/2，DX＝（b＋1）2/12，依題意b1EX1b3b31622211223b122311223．將一個骰子重復擲n次，各次擲出的點數(shù)依次為X1，X2…，Xn，則當n→∞時，X1nXi，依概率收斂于______。ni1【答案】7/25/8圣才電子書十萬種考研考證電子書、題庫視頻學習平臺X1nXuuuuPr?，為此需要應用大數(shù)定律或依概率收n【解析】題目要求計算ii1斂的定義與性質(zhì)來計算。由題設知X1，…，Xn獨立同分布：123456X~111111666666i，且EXi＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）/6＝21/6＝7/2，7XuuuuPrn2根據(jù)辛欽大數(shù)定律。4．設隨機變量列X1，X2，…，Xn…相互獨立且同分布，則X1，X2，…，Xn，…服從辛欽大數(shù)定律，只要隨機變量X1______?！敬鸢浮科谕嬖凇窘馕觥啃翚J大數(shù)定律的條件是Xi獨立同分布，且期望存在，而切比雪夫大數(shù)定律的條件是Xi不相關且方差有界。5．假設隨機變量X1，X2，…，X2n獨立同分布，且