2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.5垂直關(guān)系試題理北師大版

PAGEPAGE23第八章立體幾何與空間向量8.5垂直關(guān)系試題理北師大版1．直線與平面垂直圖形條件結(jié)論判定a⊥b，bα(b為α內(nèi)的任意一條直線)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、nα，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性質(zhì)a⊥α，bαa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(lβ,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,lβ,l⊥a))?l⊥α【知識(shí)拓展】重要結(jié)論：(1)假設(shè)兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．(2)假設(shè)一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法)．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，那么這一條直線與另一個(gè)平面也垂直．【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√〞或“×〞)(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，那么l⊥α.(×)(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行．(×)(3)直線a⊥α，b⊥α，那么a∥b.(√)(4)假設(shè)α⊥β，a⊥β?a∥α.(×)(5)假設(shè)直線a⊥平面α，直線b∥α，那么直線a與b垂直．(√)1．(教材改編)以下命題中不正確的選項(xiàng)是()A．如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，那么直線l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案A解析根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，知A不正確，直線l可能平行平面β，也可能在平面β內(nèi)．2．設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，那么“α⊥β〞是“a⊥b〞的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析假設(shè)α⊥β，因?yàn)棣痢搔拢絤，b?β，b⊥m，所以根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α，又aα，所以a⊥b；反過來，當(dāng)a∥m時(shí)，因?yàn)閎⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，所以不能推出α⊥β.3．(2022·寶雞質(zhì)檢)對于四面體ABCD，給出以下四個(gè)命題：①假設(shè)AB＝AC，BD＝CD，那么BC⊥AD；②假設(shè)AB＝CD，AC＝BD，那么BC⊥AD；③假設(shè)AB⊥AC，BD⊥CD，那么BC⊥AD；④假設(shè)AB⊥CD，AC⊥BD，那么BC⊥AD.其中為真命題的是()A．①② B．②③C．②④ D．①④答案D解析①如圖，取BC的中點(diǎn)M，連接AM，DM，由AB＝AC?AM⊥BC，同理DM⊥BC?BC⊥平面AMD，而AD平面AMD，故BC⊥AD.④設(shè)A在平面BCD內(nèi)的投影為O，連接BO，CO，DO，由AB⊥CD?BO⊥CD，由AC⊥BD?CO⊥BD?O為△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC.4．(2022·濟(jì)南模擬)如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G為MC的中點(diǎn)．那么以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是()A．MC⊥ANB．GB∥平面AMNC．平面CMN⊥平面AMND．平面DCM∥平面ABN答案C解析顯然該幾何圖形為正方體截去兩個(gè)三棱錐所剩的幾何體，把該幾何體放置到正方體中(如圖)，取AN的中點(diǎn)H，連接HB，MH，GB，那么MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正確；由題意易得GB∥MH，又GB平面AMN，MH平面AMN，所以GB∥平面AMN，所以B正確；因?yàn)锳B∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正確．5．(教材改編)在三棱錐P－ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的投影為點(diǎn)O.(1)假設(shè)PA＝PB＝PC，那么點(diǎn)O是△ABC的________心．(2)假設(shè)PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，那么點(diǎn)O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．(2)如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB的高．同理可證BD，AH為△ABC底邊上的高，即O為△ABC的垂心.題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1(2022·全國甲卷改編)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF＝eq\f(5,4)，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝eq\r(10).證明：D′H⊥平面ABCD.證明由得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,CD)，故AC∥EF.因此EF⊥HD，從而EF⊥D′H.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝eq\r(AB2－AO2)＝4.由EF∥AC得eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,4).所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3.于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD.思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直那么需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的根本思想．(2022·江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E.求證：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.證明(1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)，又D為AB1的中點(diǎn)，因此DE∥AC.又因?yàn)镈E平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因?yàn)槔庵鵄BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因?yàn)锳C平面ABC，所以AC⊥CC1.又因?yàn)锳C⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因?yàn)锽C1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因?yàn)锽C＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因?yàn)锳C，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因?yàn)锳B1平面B1AC，所以BC1⊥AB1.題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2如圖，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．(1)求證：CE∥平面PAD；(2)求證：平面EFG⊥平面EMN.證明(1)方法一取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH.又E為PB的中點(diǎn)，所以EH綊eq\f(1,2)AB.又CD綊eq\f(1,2)AB，所以EH綊CD.所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH.又DH平面PAD，CE平面PAD.所以CE∥平面PAD.方法二連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AF＝eq\f(1,2)AB.又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形．因此CF∥AD，又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF∥平面PAD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF∥平面PAD.因?yàn)镃F∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因?yàn)镋、F分別為PB、AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又因?yàn)锳B⊥PA，所以EF⊥AB，同理可證AB⊥FG.又因?yàn)镋F∩FG＝F，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG.所以AB⊥平面EFG.又因?yàn)镸，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因?yàn)镸N平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.引申探究1．在本例條件下，證明：平面EMN⊥平面PAC.證明因?yàn)锳B⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC.又MN平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC.2．在本例條件下，證明：平面EFG∥平面PAC.證明因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為PB，AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥PA，F(xiàn)G∥AC，又EF平面PAC，PA平面PAC，所以EF∥平面PAC.同理，F(xiàn)G∥平面PAC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAC.思維升華(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα?α⊥β)．(2)在平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．(2022·江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.證明(1)由，DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，又由三棱柱的性質(zhì)可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又∵DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.題型三垂直關(guān)系中的探索性問題例3如圖，在三棱臺(tái)ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)設(shè)平面ACE∩平面DEF＝a，求證：DF∥a；(2)假設(shè)EF＝CF＝2BC，試問在線段BE上是否存在點(diǎn)G，使得平面DFG⊥平面CDE？假設(shè)存在，請確定G點(diǎn)的位置；假設(shè)不存在，請說明理由．(1)證明在三棱臺(tái)ABC－DEF中，AC∥DF，AC平面ACE，DF平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)解線段BE上存在點(diǎn)G，且BG＝eq\f(1,3)BE，使得平面DFG⊥平面CDE.證明如下：取CE的中點(diǎn)O，連接FO并延長交BE于點(diǎn)G，連接GD，GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱臺(tái)ABC－DEF中，AB⊥BC?DE⊥EF.由CF⊥平面DEF?CF⊥DE.又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(GF⊥CE,GF⊥DE,CE∩DE＝E))?GF⊥平面CDE.又GF平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE.此時(shí)，如平面圖所示，延長CB，F(xiàn)G交于點(diǎn)H，∵O為CE的中點(diǎn)，EF＝CF＝2BC，由平面幾何知識(shí)易證△HOC≌△FOE，∴HB＝BC＝eq\f(1,2)EF.由△HGB∽△FGE可知eq\f(BG,GE)＝eq\f(1,2)，即BG＝eq\f(1,3)BE.思維升華同“平行關(guān)系中的探索性問題〞的規(guī)律方法一樣，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明．(2022·北京東城區(qū)模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，M為棱AC的中點(diǎn)．AB＝BC，AC＝2，AA1＝eq\r(2).(1)求證：B1C∥平面A1BM；(2)求證：AC1⊥平面A1BM；(3)在棱BB1上是否存在點(diǎn)N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此時(shí)eq\f(BN,BB1)的值；如果不存在，請說明理由．(1)證明連接AB1與A1B，兩線交于點(diǎn)O，連接OM，在△B1AC中，∵M(jìn)，O分別為AC，AB1中點(diǎn)，∴OM∥B1C，又∵OM平面A1BM，B1C平面A1BM，∴B1C∥平面A1BM.(2)證明∵側(cè)棱AA1⊥底面ABC，BM平面ABC，∴AA1⊥BM，又∵M(jìn)為棱AC中點(diǎn)，AB＝BC，∴BM⊥AC.∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1，∴BM⊥AC1.∵AC＝2，∴AM＝1.又∵AA1＝eq\r(2)，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝eq\r(2).∴∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，∴A1M⊥AC1.∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM.(3)解當(dāng)點(diǎn)N為BB1中點(diǎn)，即eq\f(BN,BB1)＝eq\f(1,2)時(shí)，平面AC1N⊥平面AA1C1C.證明如下：設(shè)AC1中點(diǎn)為D，連接DM，DN.∵D，M分別為AC1，AC中點(diǎn)，∴DM∥CC1，且DM＝eq\f(1,2)CC1.又∵N為BB1中點(diǎn)，∴DM∥BN，且DM＝BN，∴四邊形BNDM為平行四邊形，∴BM∥DN，∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面ACC1A1.又∵DN平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.17．立體幾何證明問題中的轉(zhuǎn)化思想典例(12分)如下圖，M，N，K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中點(diǎn)．求證：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思想方法指導(dǎo)(1)線面平行、垂直關(guān)系的證明問題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理；(2)線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的根底．證明過程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證明平行時(shí)常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時(shí)常用的等腰三角形的中線等；(3)證明過程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)要對照條件、步驟書寫要標(biāo)準(zhǔn)．標(biāo)準(zhǔn)解答證明(1)如下圖，連接NK.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]∵N，K分別為CD，C1D1的中點(diǎn)，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四邊形DD1KN為平行四邊形，[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四邊形AA1KN為平行四邊形，∴AN∥A1K.[4分]∵A1K平面A1MK，AN平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如下圖，連接BC1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M(jìn)，K分別為AB，C1D1的中點(diǎn)，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四邊形BC1KM為平行四邊形，∴MK∥BC1.[8分]在正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵M(jìn)K∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四邊形BB1C1C為正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]∴MK⊥B1C.∵A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵M(jìn)K平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]1．假設(shè)平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直線l，那么()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直線l的直線一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直線lD．垂直于直線l的平面一定與平面α，β都垂直答案D解析對于A，垂直于平面β的平面與平面α平行或相交，故A錯(cuò)誤；對于B，垂直于直線l的直線與平面α垂直、斜交、平行或在平面α內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對于C，垂直于平面β的平面與直線l平行或相交，故C錯(cuò)誤；易知D正確．2．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，以下命題中正確的選項(xiàng)是()A．假設(shè)α⊥β，mα，nβ，那么m⊥nB．假設(shè)α∥β，mα，nβ，，那么m∥nC．假設(shè)m⊥n，mα，nβ，那么α⊥βD．假設(shè)m⊥α，m∥n，n∥β，那么α⊥β答案D解析A中，m與n可垂直、可異面、可平行；B中，m與n可平行、可異面；C中，假設(shè)α∥β，仍然滿足m⊥n，mα，nβ，故C錯(cuò)誤；應(yīng)選D.3．(2022·包頭模擬)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中點(diǎn)，那么以下表達(dá)正確的選項(xiàng)是()A．CC1與B1E是異面直線B．AC⊥平面ABB1A1C．AE與B1C1是異面直線，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E答案C解析A不正確，因?yàn)镃C1與B1E在同一個(gè)側(cè)面中，故不是異面直線；B不正確，由題意知，上底面ABC是一個(gè)正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正確，因?yàn)锳E，B1C1為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線；D不正確，因?yàn)锳1C1所在的平面與平面AB1E相交，且A1C1與交線有公共點(diǎn)，故A1C1∥平面AB1E不正確，應(yīng)選C.4．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出以下四個(gè)結(jié)論：①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D－ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC.其中正確的選項(xiàng)是()A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①③④答案B解析由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯(cuò)．應(yīng)選B.5.如下圖，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)．現(xiàn)有結(jié)論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長．其中正確的選項(xiàng)是()A．①② B．①②③C．① D．②③答案B解析對于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC平面PAC，∴BC⊥PC；對于②，∵點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，∴OM∥PA，∵PA平面PAC，OM平面PAC，∴OM∥平面PAC；對于③，由①知BC⊥平面PAC，∴線段BC的長即是點(diǎn)B到平面PAC的距離，故①②③都正確．6.如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，那么在△ABC和△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________．答案AB、BC、ACAB解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴與AP垂直的直線是AB.7.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF，那么線段B1F的長為________．答案eq\f(1,2)解析設(shè)B1F＝x，因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1⊥DF.由可得A1B1＝eq\r(2)，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，那么DE＝eq\f(1,2)h.又2×eq\r(2)＝heq\r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\f(\r(2),2)2－\f(\r(3),3)2)＝eq\f(\r(6),6).由面積相等得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\f(\r(2),2)2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2).8.如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，給出以下結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．答案①②③解析由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正確．9．(2022·保定模擬)如圖，在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜邊BCα，一直角邊ACβ，BC與β所成角的正弦值為eq\f(\r(6),4)，那么AB與β所成的角是________．答案eq\f(π,3)解析如下圖，作BH⊥MN于點(diǎn)H，連接AH，那么BH⊥β，∠BCH為BC與β所成的角．∵sin∠BCH＝eq\f(\r(6),4)＝eq\f(BH,BC)，設(shè)BC＝1，那么BH＝eq\f(\r(6),4).∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝AB＝eq\f(\r(2),2)，∴AB與β所成的角為∠BAH.∴sin∠BAH＝eq\f(BH,AB)＝eq\f(\f(\r(6),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BAH＝eq\f(π,3).10．(2022·全國乙卷)如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，平面ABEF為正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.(1)證明：平面ABEF⊥EFDC；(2)求二面角E-BC-A的余弦值．(1)證明由可得AF⊥DF，AF⊥FE，DF∩FE＝F，所以AF⊥平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)解過D作DG⊥EF，垂足為G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(GF,\s\up6(→))的方向?yàn)閤軸正方向，|eq\o(GF,\s\up6(→))|為單位長，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系．由(1)知∠DFE為二面角DAFE的平面角，故∠DFE＝60°，那么|DF|＝2，|DG|＝eq\r(3)，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，eq\r(3))．由，AB∥EF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF，由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF為二面角C-BE-F的平面角，∠CEF＝60°，從而可得C(－2,0，eq\r(3))．所以eq\o(EC,\s\up6(→))＝(1,0，eq\r(3))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝(0,4,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，－4，eq\r(3))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4,0,0)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(EC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(3)z＝0，,4y＝0.))所以可取n＝(3,0，－eq\r(3))．設(shè)m是平面ABCD的法向量，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,m·\o(AB,\s\up6(→))＝0.))同理可取m＝(0，eq\r(3)，4)，那么cos〈n，m〉＝eq\f(n·m,|n||m|)＝－eq\f(2\r(19),19).故二面角E-BC-A的余弦值為－eq\f(2\r(19),19).11．如下圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝eq\r(6)，DE＝3，∠BAD＝60°，G為