常微分方程建模訓(xùn)練

常微分方程的模訓(xùn)練各位同學(xué)：歡迎大家開始《高等數(shù)學(xué)》課程的第二階段的學(xué)習(xí)。本次輔導(dǎo)材料是關(guān)于建立微分方程的模型要目的有2是開闊大家的視野是練習(xí)如何將一個實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言描述出來就是平時講的建模是一個理工科學(xué)生的最重要的基本功之一。希望大家努力掌握之。

勿建立微分方程的途徑主要有：1）根據(jù)問題的性質(zhì)，利用相應(yīng)學(xué)科已經(jīng)知道的客觀規(guī)律，比如研究物體的運(yùn)動，在已知外力的情況下，可運(yùn)用著名的牛頓第二定律；研究熱力學(xué)問題，可以用熱力學(xué)定律，研究電路問題就可以用電路的基爾霍夫定律等勿做2）對于一些沒有明顯規(guī)律可用時，可以考慮應(yīng)用微元法（上學(xué)期學(xué)習(xí)積分時已經(jīng)學(xué)習(xí)過需要考慮的是在自變[xdx]的微dx，函數(shù)的增量的微分表達(dá)式。個人本次材料包括的題目不少，你可能沒有太多的時間做。沒有關(guān)系，可以邊學(xué)邊做，或有空時做，拳不離手，曲不離口，功夫是逐漸煉成的。要注意的是，對一個確定的問題微分方程是不夠的組初始條件或邊界條件，才能使微分方程的通解具體化為一個對應(yīng)與問題本身的特解何列出這樣的條件需要訓(xùn)練你的觀察能力為很多題目中些條件常隱含在題目的敘述中。個人勿做本次練習(xí)不要求你去求解這些方程，但隨著我們課堂的進(jìn)度，當(dāng)你學(xué)會微分方程的求解后，你再去求解它們。/6

好，開始吧！有類物質(zhì)具有放射性，根據(jù)觀察，放射性元素的質(zhì)量隨時間推移而逐漸減少，這種現(xiàn)象稱為衰變。由實(shí)驗(yàn)測定，每一時刻放射性元素鐳的衰變率（即質(zhì)量減少的速率刻的鐳的質(zhì)量成正比，比例系數(shù)

。求鐳的衰變規(guī)律。個人勿又由經(jīng)驗(yàn)判斷，鐳經(jīng)過年，只剩下原始量的一半，求鐳的質(zhì)量

與時間

t

的函數(shù)關(guān)系。物上把已知物體質(zhì)量和外力的條件下，求物體的運(yùn)動規(guī)律的問題稱為動力學(xué)問題。物體的運(yùn)動可用它的位移量

t)

來表示。個人收集整理

已知物體質(zhì)量為m的體在外力F的作下沿外力的方向作直線運(yùn)動。試根據(jù)下列提供的外力特點(diǎn)，求物體的運(yùn)動規(guī)律

）外為地球重力；）外為與其速度的平方成反比的阻力；）外為與其位移成正比，但方向相反的彈性恢復(fù)力；）外為獨(dú)立的時間周期性外力

sin

；）外為上述阻力和周期性外力的合力。請你觀察這些方程各有什么特點(diǎn)？結(jié)合課程學(xué)習(xí)，請仔細(xì)琢磨對應(yīng)的解法會有何不同？一大炮以初速度，初始射角（仰角）發(fā)一發(fā)炮彈，計(jì)空氣阻力，求炮彈的0彈道方程。求曲線族

ycx

2

（其中

為任意常數(shù)）的正交軌線族的方程式兩族曲線正交指兩曲線在交點(diǎn)處的切線相互垂直）（盯梢問題）甲乙兩人，乙對甲盯梢，即乙與甲保持一定距離

a

，盯著甲而行，若甲沿直線前進(jìn)，問乙的運(yùn)動路線如何？假設(shè)甲開始時的位置不在乙的行走直線上人收集整

（擊問題）兔子從原點(diǎn)出發(fā)沿軸向以速度a逃，同時一只狐貍從(c出，以速度

追捕兔子，求狐貍的追捕路線，并討論狐貍最終能捉著兔子的條件。個人收集整理

質(zhì)為1的指點(diǎn)受力作用作直線運(yùn)動，此力和時間成正比，和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度成反比。在秒時，速度等于50勿做商

/秒，力為4達(dá)。問從運(yùn)動開始經(jīng)過鐘后的速度為多少？根水利學(xué)的定律，水從距自由面的深度為

cm的孔流出，它的流速為

2

，其中為力加速度現(xiàn)盛滿水而高度為米半球形容器水它的底部的一個面積為1平方厘米的孔流出，孔口收縮系數(shù)為0.6該收縮系數(shù)指流出來的水柱截面積與孔口的面積之比流水所需要的時間

/6

一線通過（3兩標(biāo)軸肩的任意切線線段均被切點(diǎn)所平分該曲線方程。10求一曲線方程，使得曲線上任意一點(diǎn)處的切線恒垂直于此點(diǎn)與原點(diǎn)的聯(lián)線。11.一線過，0點(diǎn)，且在其切點(diǎn)與縱坐標(biāo)軸肩的切線段有定長2，求此曲線方程。12.曲

y(x)

，且通過原點(diǎn)和（，1點(diǎn)，它圍成一以

[0,]

為底的曲邊梯形，其面積與

f(x)的n冪成正比，求此曲線方程

13.求線，使其在

x,x

間的一段弧長倍此弧與

x,x及軸圍的面積。14.求曲族，使其上任何點(diǎn)P處切線在y上的截距等于原點(diǎn)到的離。15.求曲，使曲線的切線上自切點(diǎn)至與x軸交點(diǎn)的一段距離為常數(shù)a。16.求曲，使曲線的法線上自曲線上的點(diǎn)至與x軸交點(diǎn)的一段距離為常數(shù)a17.求曲族，它在任何點(diǎn)的矢徑（指原點(diǎn)到該點(diǎn)的有向線段）與在該點(diǎn)的切線所夾的角

為矢徑與極軸間的夾角的

n

倍提示：設(shè)曲線的極坐方程為

r(

)

，則

drd

）

勿做商業(yè)18.一艇以小時的速度在靜水上運(yùn)動時停止了發(fā)動機(jī)，經(jīng)過20秒后，艇的速度減至小時。試確定發(fā)動機(jī)停止2分后艇的速度

19定體在空氣中的冷卻速度正比于該物體的溫度與它周圍空氣的溫度之差一物體加熱到

T

0

度時移入室內(nèi)，如果室問保持常a

度，求溫度隨時間變化的關(guān)系

20.（上）假設(shè)是問為

20C，一物體由100C冷到60

C要經(jīng)過20分時間。問共需要經(jīng)過多少時間方可使該物體的溫度從開始時的100C降到30？

21.根物學(xué)中熱力學(xué)的波意爾定律，理想氣體的密度與所受壓力成正比。假設(shè)在海平面上每一平方厘米大氣壓力等于1千海平面高度米每一平方厘米大氣壓力等于千克求大氣壓力與高度的關(guān)系

22.將量

的物體在空氣中以速度

0

垂直上拋，空氣阻力為

kv

2

（

為常數(shù)在升過程中速度與時間的關(guān)系。又問該物體何時返回到拋射點(diǎn)/6

23.在題，若空氣阻力該為

kv

，繼續(xù)上題的問答。24.質(zhì)為

的指點(diǎn)沿直線運(yùn)動，受力為

，其中

ab

為正的常數(shù)，

為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度。若質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)，求它的速度與時間的關(guān)系

25.有放在鉛垂平面內(nèi)的剛性曲線果曲線以常角速度繞該平面內(nèi)鉛垂直線旋轉(zhuǎn)時，在曲線任一點(diǎn)處放置的質(zhì)點(diǎn)都能處于平衡狀態(tài)。求此曲線的方程

26.設(shè)物質(zhì)量

，以初速度

從一斜面上推下，若斜面的傾角為

，摩檫系數(shù)為

，試求物體在下面上移動的距離和時間的關(guān)系

27.求

y"

的經(jīng)過點(diǎn)（，1）切在此點(diǎn)與直線

y

x2

相切的積分曲線。28.求率徑為常數(shù)的曲線。29.設(shè)線在x軸上方）在它的每一點(diǎn)處的曲率半等于該點(diǎn)處法線在曲線與軸的長度。證明：若曲線是凸的，則它是懸鏈線；若曲線是凹的，則它是半圓周個人收集（該題請?jiān)谥v了懸鏈線方程后做）

30.設(shè)簧上端固定，有兩個相同的重物（每個質(zhì)量m

）掛于彈簧的下端彈簧伸長了a。突然取走其中的一個，使彈簧有靜止開始振動。求所掛重物的運(yùn)動規(guī)律勿做31.有單長為l質(zhì)量為m。其擺動角很小，求其運(yùn)動方程，并確定每振動一次的時間（周期又若擺動角較大，又將如何？（物理學(xué)上稱的單擺，指擺桿的質(zhì)量不計(jì)的擺，故質(zhì)量都集中在擺錘處32.一緊彈簧所受的拉力與他的長度伸長量成正比，當(dāng)長度增加1cm時彈簧拉為，今有的體掛在彈簧的下端而保持平衡。假若將它稍下拉，然后松手，求由此產(chǎn)生的振動的周期

33.一的體掛在彈簧下端使彈簧的長度曾長了1cm假定彈簧的上端有一轉(zhuǎn)動機(jī)產(chǎn)生鉛垂振動

y2sin30t

，且開始時，物體處于靜止?fàn)顟B(tài)。求此物體的運(yùn)動規(guī)律。

勿做34.長6的鏈條自桌自上無摩擦地向下滑動，假定在運(yùn)動開始時，鏈條自桌上垂下部分已有1米問需要多少間鏈條才全部劃過桌子個/6

35.一條在一個無摩擦的釘子上定運(yùn)動起始時鏈條一邊垂下米另一邊垂下米。問整個鏈條劃過釘子需要多少時間個

36.設(shè)線L位第一象限，通過1.5上一點(diǎn)P處切線總與y軸交，交點(diǎn)。已知PA||

，求曲線方程。勿在上半平面求一條凸的曲線上任一點(diǎn)

(x,

處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線

長度的倒數(shù)（

Q

為法線與

軸的交點(diǎn)曲在，1）點(diǎn)出的切線與

軸平行勿做38.設(shè)線

L

的極坐標(biāo)方程為

rr(

)

，Mr

)

為

L

上的任一點(diǎn)

0

是

L

上的一定點(diǎn)徑

OM

0

與曲線

L

所圍成的曲邊扇形的面積值等于

L

上

(r

)

和

0兩點(diǎn)間的弧長的一半。求曲線的方程

39.在個群中推廣一種新技術(shù)是通過其中掌握了這項(xiàng)新技術(shù)的人進(jìn)行的人的總?cè)藬?shù)為，在開始時已經(jīng)掌握新技的人數(shù)為，任意時刻t已掌握新技術(shù)的人數(shù)為0xt)

，由于人數(shù)較多，可以將

xt)

視為連續(xù)可微變量。如果

xt)

的變化率與已掌握新技術(shù)的人數(shù)和尚未掌握新技術(shù)的人數(shù)之積成正比，比例系k。x(t)勿做

的變化規(guī)律個人收集40.從上大海沉方一科學(xué)測量儀器測量要求確定儀器下沉深度

y

（從海面算起）與下沉速度

之間的關(guān)系設(shè)儀器在重力作用垂直下沉下沉過程中還受到阻力和浮力的作用。若儀器質(zhì)量為

m

，體積為

B

，海水的比重為，儀所受阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)

k

，試建立

y

與

所滿足的微分方程，并求函數(shù)關(guān)系式個

41.一子以速度

v2000

m/s打一塊厚板子透板時的速度為設(shè)板對子彈的阻力與子彈速度的平方成正比。求子彈穿過板所用的時間人收

42.有個3030×12立方米的車間，空氣中含有1.12%二氧化碳，現(xiàn)用一臺通風(fēng)能力為每分鐘1500立米的鼓風(fēng)機(jī)通入含有，的二氧化碳的新鮮空氣，同時用另一臺樣通風(fēng)能力的鼓風(fēng)機(jī)把混合后的空氣抽出。問鼓風(fēng)機(jī)開動10分后車間內(nèi)的二化碳的百分比降到多少

43.有圓形容器，尖頂在下，底在上，頂角為

2

為

H

。今在頂部截去高為H的圓錐，使形成一小孔，先用木塞子將孔塞住，并在容器里灌滿水，然后把0塞子拔去，讓水流出。設(shè)水流出的速率為

2(0

為該時水面與孔的高度差。問經(jīng)過多少時間，水將流盡

/6

44.沿平向作直線勻速飛行的麻雀的正上方50m處一只禿鷲麻雀的正下方100m處有一只老鷹鷲鷹一起朝麻飛去捕食同時到達(dá)捕捉目標(biāo)設(shè)鷹的飛行速度是麻雀的2倍，問禿鷲的飛行速度是麻雀的多倍

45.狗其人在岸邊隔岸相對，河