存在型問題-直角三角形問題

中考數(shù)學壓軸題解題策略解直角三角形的存在性問題，一般分三步走一步尋找分類標準，第二步列方程，第三步解方程并驗根．一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定列方程．有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便．解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起．如果直角邊與坐標軸不平行么過三個頂點作與坐標軸平行的直線以構造兩個新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．在平面直角坐標系中，兩點間的距離公式常常用到．怎樣畫直角三角形的示意圖呢？如果已知直角邊么直角邊的兩個端點畫垂線三個頂點在垂線上如已知斜那么以斜邊為直徑畫圓直角頂點在圓上（不含直徑的兩個端點例

如圖，在△中AB＝＝，∠B

45

．D、為線段上兩個動點，且DE（E在D右動始時D和B重當E和重時動停止．過E作EF//交于F連結DF設＝x，如△BDF為角三角形，求的．圖【解析】△中∠是確定的銳角，那么按照直角頂點分類，直角三角形BDF存在兩種情況把夾∠的條邊用含有的式子表示出來種況列方程就可以了．如圖1-2，作AH⊥BC，垂足為H，么H是BC的點．4在eq\o\ac(△,Rt)ABH中AB，cosB＝，以BH＝8所以＝165由EF//AC得

BFBEBFx5，．以BF＝(．BC圖

圖

圖①如圖，當＝90時，由

BD4，BDBF．BF5

2222222222解方程

4，x＝．5②如圖，當＝90時，由

BF4，BFBD．BD55解方程x8

15，85

．我們看到，在畫示意圖時，無須受到ABC的限制需要取其確定的．例

如圖，已知在平面直角坐標系中，點A的標為-是A關原點的對點P是數(shù)標．

2

(x圖上的一點，且△是直角三角形，求點P的圖【解析、兩點是確定的，以線段為類標準，分三種情況．如果線段AB為角邊，那么過點A畫的線，與第一象限內(nèi)的一支雙曲線沒有交點；過點B畫AB的線，有個點．以為徑畫圓圓與雙曲線有沒有交點呢？先假如有交點，再列方程，方程有解那么就有交點．如果是一元二次方程，那么可能是一個交點，也可能兩個交點．由題意，得點B的坐標為2，0∠BAP可能成為直角．①圖2-2，當∠＝°時，點P的標為（2②方一：如圖2-3，當∠APB＝90°時，OPeq\o\ac(△,Rt)斜邊上的中線OP＝2．設

(x,)

，由＝4得

x2

4x2

．解得

2

．此時P2,)圖方法二：由勾股理，得PA＋PBAB．

圖2-3解方程

(2)

2)x

x2)

2)x

4

，得

．方法三如圖3-4由AHP△，得＝AH·BH解方程

2()2x)，得xx

．

22圖

圖這三種解法的方程貌似差異很大，轉化為整式方程之后都－＝0這四次方程的解是x＝＝＝＝2幾何意義就是以為直徑的圓與曲線相切于P、134P圖例

如圖，已知直線＝－6經(jīng)點A(1,，與x軸交于點．若點是軸上一點，且為直角三角形，求點的標圖【解析】和例題3一樣，過A、兩分別畫的垂線，有點．和例題同，以AB為直徑畫圓，圓與y軸沒有交點，一目了然．而圓與雙曲線有沒有交點，是徒手畫雙曲線無法肯定的．將(1,－4)代入y＝kx－6可得＝2所以＝x－6B(3,0)．設的為m．分三種情況討論直角三角形ABQ：①圖3-2，當∠＝°時，∽△，解得mm．所以(0,－或(－．②如圖，當＝°時，QHA∽AGB，

BOQH．以．OQm1QH4．以．HAGB14解得

7．此時Q(0,．2②圖3-4，當∠＝°時，∽△BMQ，3解得．此時(0,．2

AGBM2m．以．GBMQ4

22．．．．22．．．．圖

圖

圖4-4三種情況的直角三角形，直角邊都不與坐標軸平行，我們以直角頂點公共頂點，構造兩個相似的直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．已知(1,－、，(0,，那么根據(jù)兩點間的距離公式可以表示出AB，AQ和，按照斜邊為分類標準列方程，就不用畫圖進行“盲解”了．（難）例

33如圖4-1，物線yxx84

與x軸交于、兩（點在點B的左側直l過點，M為直線l上動點，當以、、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的析式．圖【解析】有且只有三個直角三角形ABM是什么意思呢？過AB兩點分別畫的線，與直線l各一個交點，那么第三個直角頂點M在里？以AB直徑的⊙G與線l相切于點M啊由

332xx84

，得(－4,、0)，直徑AB＝．如圖5-2，連結GM，那么GM⊥l．在eq\o\ac(△,Rt)EGMGM，＝5，所以EM＝．因此GEM

34

．設直線l與軸于點C那么OC．所以直線l直線）為3．根據(jù)對稱性，直線l可以是4

34

．

，所以．，所以．圖例

如圖5-1，在△ABC，＝，AB＝8

A

．點D是邊的一個動點，點E與關于直線CD對，連結CEDE（1求底邊AB上高；（2設CE與AB于點F，當△ACF直角三角形時，求AD的；（3連結，當是角三角形時，求AD的長．圖【解析題畫示意圖有技巧的將點D看主動點就是從動線段過來畫圖，點E在為徑的⊙C上，如果把點E看主動點，再畫的平分線就產(chǎn)生點D了．（1如圖5-2，設AB邊上的高為，那么＝BH4．在eq\o\ac(△,Rt)ACH中，AH＝，

A

，所以＝，CH＝．（2①如圖5-3，當∠＝90°時F是的中點，＝，＝3．在eq\o\ac(△,Rt)DEF中EF＝－＝2

cos

5ADDE2

．②如圖，當＝°時，＝°那的件符合“角邊角作DG，足為．DG＝CG，么AD＝m，AG4m．由CA＝，得7m＝．解得

．此時

．圖

圖

圖

（3因為＝，所以只存在∠ADE＝°的情況．