復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題1

一、基礎(chǔ)知識(shí)：復(fù)函數(shù)定義

f

，t

且數(shù)

g

的值域?yàn)?/p>

f

定義域的子集，那么通t聯(lián)系而得到自變量的數(shù)，稱是x的合函數(shù)，記為

y、復(fù)合函數(shù)函數(shù)值計(jì)算的步驟：求

yg

函數(shù)值遵循“由內(nèi)到外”的順序，一層層求出函數(shù)值。例如：已知

f

，計(jì)算

g解：

f

、已知函數(shù)值求自變量的步驟：若已知函數(shù)值求

的解，則遵循“由外到內(nèi)”的順序，一層層拆解直到求出

的值如

f

g

g

，求解：令

t

t解tt2當(dāng)

tf

，當(dāng)

tf

，則

綜上所述：

由上例可得，要想求出

g

的根，則需要先將

f

視為整體，先求出f

的值，再求對(duì)應(yīng)

的解，這種思路也用來解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題，先回顧零點(diǎn)的定義：函的零點(diǎn)設(shè)

f

的定義域?yàn)镈若存在x使f0

則x0f為的一個(gè)零點(diǎn)、合函數(shù)零點(diǎn)問題的特點(diǎn)：考慮于

的方程

g

根的個(gè)數(shù)，在解此類問題時(shí)要為兩層來分析第一是解關(guān)于

f

的方程觀察有幾個(gè)

f

的值使得等式成立第二層是結(jié)合著第一層

f

的值求出每一個(gè)

f應(yīng)將的數(shù)匯總后即為

g

的根的個(gè)數(shù)、求解復(fù)合函數(shù)

y

零點(diǎn)問題的技巧：（1）此類問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊，在處理問題的開始要作出

f

的圖像（2若知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍先估計(jì)關(guān)于

f

的方程

g

中

f解的個(gè)數(shù)，再根據(jù)個(gè)數(shù)與

f

的圖像特點(diǎn)，分配每個(gè)函數(shù)值

fi

被幾個(gè)

所對(duì)應(yīng)，從而確定

fi

的取值范圍，進(jìn)而決定參數(shù)的范圍復(fù)合函數(shù)：二、典型例題例1：設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)

fx

,

，若關(guān)于x的方程f

由不同的解

x,xx13

，則

2x2

x

思路：先作出

f

的圖像如圖：觀察可發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的

，滿足

f

的

的個(gè)數(shù)分別為2個(gè)（

y0

）和3個(gè)

y0

知有3個(gè)解從而可得

f必為

f

的根另一根為

或者是負(fù)數(shù)以

fi

可解得：x0,2123

，所以

53答案：例2于

的方程

2

的不相同實(shí)根的個(gè)數(shù)是（）3B.45思路將

x

視為一個(gè)整體

t

則方程變?yōu)?/p>

t

t

可解得：t

或

t

，則只需作出

t

的圖像，然后統(tǒng)計(jì)與

t

與

t

的交點(diǎn)總數(shù)即可，共有5個(gè)答案：例3：已函數(shù)

11f(x)x|x

，關(guān)于x的程f

(x)fx（

aR

）恰有6個(gè)同實(shí)數(shù)解，則的值范圍是．22222222思路：所解方程

f

(f)

可視為

ff

，故考慮作出

f

的圖像：

f

2,x2x,0x,x

，則

f

的圖,x像如圖，由圖像可知，若有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則必有f2解得a答案：

，所以

f2

，例4已知定義在

R

上的奇函數(shù)當(dāng)

時(shí)，

fx

f

則于

的方程

的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（）

C.

8

9思路：已知方程

可解，得

f1

1,f2

，只需統(tǒng)計(jì)1yy2

與

f

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可。由奇函數(shù)可先做出

的圖像，

2

時(shí)，f

的圖像只將縮為一即可。正半軸圖像完成后可再利用奇函數(shù)的性質(zhì)作出負(fù)半軸圖像。通過數(shù)形結(jié)合可得共有7個(gè)交點(diǎn)答案：小煉有話說在作圖的過程中，注意確定分段函數(shù)的邊界點(diǎn)屬于哪一段區(qū)間。例：若函數(shù)

f

32

有極值點(diǎn)

x,x，且111

，則關(guān)于

的方程3

的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)是（）A3B．C．5D．62222,2,11,1,2222,2,11,1,思路：

f

由極值點(diǎn)可得：

x,x為312

①的兩根觀察到方程①與

3

af

結(jié)構(gòu)完全相同，所以可得

3

2

兩根為ffx21

，可判斷出

x1

是極大值點(diǎn)，

x

2

是極小值點(diǎn)。且f

1

f

有兩個(gè)交點(diǎn)，而

f

有一個(gè)交點(diǎn)，共計(jì)3個(gè)；若xx1

2

，可判斷出x是極小值點(diǎn)，x是極大值點(diǎn)。且12f

f11

所以

f

有兩個(gè)交點(diǎn)

f

有一個(gè)交點(diǎn)，共計(jì)3個(gè)。上所述，共有交點(diǎn)答案：A例6已函數(shù)

f

x

若程

x

x

恰有七個(gè)不相同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)

的取值范圍是（）

C.

思路：考慮通過圖像變換作出

f

的圖像（如圖），因?yàn)?/p>

最多只能解出個(gè)

f

，若要出七個(gè)

根，

則

f2

，

所

以f2答案：

，解得：

b例已函數(shù)

f

ex

若于的程

f

恰有4個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

C.

x1212x1212思路：

f,

，分析

f

的圖像以便于作圖，時(shí)

，從而

f

在

1e

且

0所以正半軸為水平漸近線；當(dāng)

時(shí)，

f'

，所以f

單調(diào)遞減此圖圖像可恰有不等實(shí)根關(guān)于

f

的方程

f

1中f,fxe

，從而將問題轉(zhuǎn)化為根分布問題，設(shè)

t

，則

t2mtm

的兩根tt

，

設(shè)

g

t

有me

，解得

1me答案：小煉有話說：本題是作圖與根分布綜合的題目，其中作圖是通過分析函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)來進(jìn)行作圖，在作圖的過程中還要注意漸近線的細(xì)節(jié)，從而保證圖像的準(zhǔn)確。例已知函數(shù)

fx

x,x

，則下列關(guān)于函數(shù)

yf

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷正確的是（）當(dāng)當(dāng)

aa0

時(shí)，有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)

a0a0

時(shí)，有零點(diǎn)時(shí)，有個(gè)點(diǎn)C.無a為值，均有2個(gè)點(diǎn)無為何值，均有零點(diǎn)思路：所求函數(shù)的零點(diǎn)，即方程

f

的解的個(gè)數(shù)，先作出

f

的圖像，直線

yax

為過定點(diǎn)

的一條直線需對(duì)

的符號(hào)進(jìn)行分類討論

a

時(shí)，22圖像如圖所示，先拆外層可得

f

1

21xf，fa2

有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的x，f

也有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的

，共計(jì)4個(gè)當(dāng)

a0

時(shí)，

f

的圖像如圖所示，先拆外層可得

f

11，且fx2

只有一個(gè)滿足的

，所以共一個(gè)零點(diǎn)。結(jié)合選項(xiàng)，可判斷出A正確答案：A例9：已知函數(shù)

f

1xxg

，則方程g

（

a

為正實(shí)數(shù)）的實(shí)數(shù)根最多___________個(gè)思路：先通過分析

f

的性質(zhì)以便于作圖，f

xx

，從而

f

在

單增，在

單減，且f

，

g

為分段函數(shù)作出每段圖像即可圖示要數(shù)根最要先選取

f

能對(duì)應(yīng)x較的情況

f

圖像可得

f時(shí)個(gè)

f

可對(duì)應(yīng)3個(gè)

需斷

g

中，f

取得的值的個(gè)數(shù)即可，觀察

g

圖像可得，當(dāng)

a4

時(shí)，可以有2個(gè)

f

，從而能夠找到6個(gè)，即最多的根的個(gè)數(shù)答案：例：已知函數(shù)

f

的圖像如下，給出下列四個(gè)命題：方程方程方程

fgf

有且只有6個(gè)有且只有3個(gè)有且只有5個(gè)（4）方程

g

有且只有4個(gè)根則正確命題的個(gè)數(shù)是（）B.24思路個(gè)程都可通過圖像先拆掉第一層內(nèi)層函數(shù)能取得的值而計(jì)出總數(shù)。

的（中可得

g

有2個(gè)應(yīng)的，g

有3個(gè)