解決問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系模型教學(xué)的有效策略

解決問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系模型教學(xué)的有效策略解決問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系模型教學(xué)的有效策略

【中圖分類(lèi)號(hào)】G【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B【文章編號(hào)】1008-1216〔2022〕07B-0047-02

在小學(xué)六年級(jí)分?jǐn)?shù)乘法教學(xué)時(shí)，筆者整理了這樣一組題：

題①買(mǎi)5支水筆需要10元，照這樣計(jì)算，買(mǎi)3支水筆要多少元？

題②一本書(shū)有45頁(yè)，已經(jīng)看了3/5。已經(jīng)看了多少頁(yè)？

題③整個(gè)長(zhǎng)方形表示15，陰影局部表示多少？

題④草莓的單價(jià)是25元，是香蕉的5倍。檸檬的單價(jià)是香蕉的3倍，檸檬單價(jià)多少元？

仔細(xì)閱讀分析之后，我們不難得到這組題的解答分別是：10÷5×3，45÷5×3，15÷5×3，25÷5×3。這里有整數(shù)的解決問(wèn)題、分?jǐn)?shù)的解決問(wèn)題甚至還有圖形題，為什么四個(gè)不同的問(wèn)題都是幾除以5乘3？其實(shí)，這組題我們都可以用下列圖來(lái)解釋?zhuān)际窍惹?份再求3份。其實(shí)這就是模型化的思想。

解決問(wèn)題教學(xué)的關(guān)鍵是訓(xùn)練學(xué)生解題的策略，其特點(diǎn)是用學(xué)生豐盛的生活經(jīng)驗(yàn)，幫忙學(xué)生理解解決問(wèn)題的辦法，從而提高教學(xué)效益。

課改前在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)時(shí)，我們就很重視分析題目中的數(shù)量關(guān)系。隨著課改的實(shí)施，不少一線教師逐步把數(shù)量關(guān)系教學(xué)弱化甚至邊緣化，而學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題往往是在生活經(jīng)驗(yàn)或者直覺(jué)的支持下進(jìn)行的。因此，學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程不足有意識(shí)的體驗(yàn)，不利于學(xué)生形成解題的策略。隨著課改的不斷深入，筆者認(rèn)為應(yīng)從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用生活經(jīng)驗(yàn)理解問(wèn)題，將分析數(shù)量關(guān)系作為解決問(wèn)題策略的關(guān)鍵。

2022年版?義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程規(guī)范》明確指出：“了解分析和解決問(wèn)題的一些根本辦法〞；“在具體情境中，了解常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量、路程=速度×?xí)r間，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題〞。成功吸取課改前傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)的成功做法。像“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量〞“路程=速度×?xí)r間〞這種針對(duì)數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言，概括性地表述出來(lái)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化語(yǔ)言〔公式〕，就是數(shù)學(xué)模型化。

一、加強(qiáng)運(yùn)算意義教學(xué)，建立根本模型

小學(xué)階段數(shù)學(xué)的解決問(wèn)題波及知識(shí)，大都可以歸結(jié)為四那么運(yùn)算模型〔含圖形與幾何方面的主要問(wèn)題〕。因此，筆者認(rèn)為在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該加強(qiáng)運(yùn)算意義的教學(xué)，以理解運(yùn)算意義為根底，讓學(xué)生進(jìn)行初步體驗(yàn)和歸納，把運(yùn)算與數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行溝通，建立最根本的數(shù)量關(guān)系模型，提高學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系的能力。

比方，在一年級(jí)學(xué)生認(rèn)識(shí)加法運(yùn)算的意義時(shí)，教師可以幫忙學(xué)生結(jié)合具體的情境理解加法意義：根據(jù)已知兩個(gè)不同的局部數(shù)，要求總數(shù)是多少，就是把這兩個(gè)局部數(shù)合在一起的運(yùn)算，這種運(yùn)算叫做加法運(yùn)算。如一年級(jí)下冊(cè)有這樣一道題目：一件上衣50元、一條裙子40元、一條褲子30元，〔1〕買(mǎi)一件上衣和一條褲子多少錢(qián)？〔2〕付給售貨員100元，應(yīng)找回多少錢(qián)？〔3〕你還能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？教師可以在學(xué)生仔細(xì)讀題之后幫忙學(xué)生這樣理解數(shù)量關(guān)系：衣服的價(jià)格+褲子的價(jià)格=總價(jià)；在具體情境中屢次體驗(yàn)、感悟“數(shù)學(xué)模型〞典型實(shí)例的根底上，理解、建立它們之間的數(shù)量關(guān)系模型就是“局部數(shù)+局部數(shù)=總數(shù)〞。

在教學(xué)認(rèn)識(shí)減法運(yùn)算的意義時(shí)，教師可以幫忙學(xué)生結(jié)合具體的情境理解減法意義，如有這樣一道題目：有35本故事書(shū)借出2本，有35本動(dòng)漫書(shū)借出20本。〔1〕還剩多少本故事書(shū)？〔2〕還剩多少本動(dòng)漫書(shū)？教師可以引導(dǎo)學(xué)生理解這樣的數(shù)量關(guān)系：“總共的故事書(shū)-借出的故事書(shū)=剩下的故事書(shū)〞和“總共的動(dòng)漫書(shū)-借出的動(dòng)漫書(shū)=剩下的動(dòng)漫書(shū)〞。其實(shí)這個(gè)題目的數(shù)量關(guān)系模型就是“總數(shù)-分?jǐn)?shù)=另一局部數(shù)〞。

在對(duì)兩個(gè)數(shù)量進(jìn)行大小比擬時(shí)，教師可以讓學(xué)生借助具體情境，可以用減法運(yùn)算比出它們的大小，也就是從較大數(shù)中去掉與較小數(shù)同樣多的局部，余下的局部既是較大數(shù)比擬小數(shù)多的局部，又是較小數(shù)比擬大數(shù)少的局部，也是較大數(shù)與較小數(shù)相差的局部，數(shù)量關(guān)系模型就是“大數(shù)-小數(shù)=相差數(shù)〞。

當(dāng)然在教學(xué)乘、除法時(shí)也一樣要注重運(yùn)算意義的教學(xué)?？傊诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要把解決問(wèn)題與數(shù)學(xué)意義緊密聯(lián)系在一起，潛移默化地滲透數(shù)量關(guān)系，建立根本的數(shù)學(xué)模型，為提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力奠定根底。

二、結(jié)合情境教學(xué)，建立常見(jiàn)模型

加強(qiáng)數(shù)量關(guān)系分析的指導(dǎo)，在用數(shù)學(xué)辦法解決問(wèn)題的過(guò)程中，注重常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系的抽象概括與應(yīng)用，以數(shù)量關(guān)系的有效構(gòu)建提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

比方，有這樣一道題目：有兩個(gè)人在相距72千米的兩個(gè)地點(diǎn)同時(shí)相向而行，第一個(gè)人的速度是4km/h，另一個(gè)人的速度是8km/h，有一只狗原來(lái)與第一個(gè)人在一起，與兩個(gè)人同時(shí)出發(fā)，向第二個(gè)人的方向跑去，當(dāng)他追上這個(gè)人時(shí)，立刻向相反方向跑，去追另一個(gè)人，這樣重復(fù)下去，不停地在兩人之間運(yùn)動(dòng)，直到兩人相遇為止。如果狗的速度是6km/h，問(wèn)這只狗跑的距離。

此題出現(xiàn)在小學(xué)高年級(jí)，但事實(shí)上這題難倒了不少初高中的學(xué)生，一些大人也束手無(wú)策！究其原因，學(xué)生們?cè)诓粩嗉?xì)究狗每一次的動(dòng)作，想算出每一次跑的路程再相加覺(jué)得很難。這時(shí)，從整體上分析問(wèn)題、思考問(wèn)題就輕而易舉：根據(jù)路程、時(shí)間、速度三者的關(guān)系s=vt，要求狗跑的路程，其實(shí)只要知道狗的速度和時(shí)間。速度已經(jīng)有了，只要知道狗跑的時(shí)間就可以了。兩個(gè)人同時(shí)用的時(shí)間與狗跑的時(shí)間相等！人所用時(shí)間：72÷〔8+4〕=6小時(shí)，狗跑的距離即6×6=36千米！多么發(fā)人深省的思想??！我們就應(yīng)該給學(xué)生更多的時(shí)機(jī)，讓他們從整體上思考、分析問(wèn)題，看的不同了，境界也就不一樣了！

其實(shí)在教學(xué)中，我們?cè)诔橄蟪鰯?shù)量關(guān)系模型后，還應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)變式運(yùn)用，做到舉一反三，如根據(jù)“速度×?xí)r間=路程〞，變化出“路程÷時(shí)間=速度，路程÷速度=時(shí)間〞；根據(jù)“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)〞演繹出“總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)、總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量〞等。這些根本關(guān)系式具有高度的概括性和廣泛的應(yīng)用性，我們可以用概括的語(yǔ)言和符號(hào)表示出來(lái)，建立數(shù)學(xué)模型，有助于培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的思維能力，感受數(shù)學(xué)抽象的美。當(dāng)然數(shù)學(xué)模型建立后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將建立的數(shù)學(xué)模型遷移到他們不熟悉的情境中，作為實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題的辦法和措施。

三、依據(jù)根本關(guān)系，以模型化繁為簡(jiǎn)

小學(xué)階段的數(shù)量關(guān)系教學(xué)，既有簡(jiǎn)單的根本數(shù)量關(guān)系教學(xué)，也有復(fù)雜的復(fù)合數(shù)量關(guān)系教學(xué)。復(fù)合數(shù)量關(guān)系教學(xué)是小學(xué)中高年級(jí)的重要內(nèi)容，也是整個(gè)小學(xué)階段數(shù)量關(guān)系教學(xué)的重難點(diǎn)與核心。因此，學(xué)生在掌握根本數(shù)量關(guān)系模型的根底上，必須了解和學(xué)會(huì)建構(gòu)復(fù)合的數(shù)量關(guān)系模型，以模型化繁為簡(jiǎn)。

比方，新教材六年級(jí)上冊(cè)分?jǐn)?shù)除法單元新增這樣的題目：一套運(yùn)動(dòng)服共300元，褲子價(jià)錢(qián)是上衣的。上衣和褲子的錢(qián)分別是多少？數(shù)量關(guān)系是上衣的價(jià)格+褲子的價(jià)格=總價(jià)。但是仔細(xì)讀題我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)：褲子的價(jià)格=上衣的價(jià)格×。讓學(xué)生對(duì)兩個(gè)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)上衣價(jià)格是3份，褲子價(jià)格是2份，則整套衣服的價(jià)格就是5份。先求1份再求上衣和褲子的價(jià)格就可以了。

這樣，這個(gè)題目的解決回到了本文一開(kāi)始的題組，先求1份再求幾份的問(wèn)題。只能讓學(xué)生在分析、解題與編題的過(guò)程中，明白簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系如何轉(zhuǎn)化為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，從而提升學(xué)生思考與解決問(wèn)題的能力。

我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題教學(xué)時(shí)，應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生把書(shū)本知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系，把問(wèn)題從具象到抽象概括，把解決問(wèn)題從經(jīng)驗(yàn)式逐步提升到用數(shù)學(xué)辦法解決問(wèn)題。無(wú)論用等式、符號(hào)、