-新教材高中數(shù)學(xué)第一章預(yù)備知識3.2第2課時基本不等式的應(yīng)用學(xué)案北師大版必修第一冊

PAGEPAGE7第2課時基本不等式的應(yīng)用某養(yǎng)殖場要用100米的籬笆圍成一個矩形的雞舍，怎樣設(shè)計才能使雞舍面積最大？[問題]實例中問題的實質(zhì)是什么？如何求解？知識點基本不等式與最值當(dāng)x，y均為正數(shù)時，下面的命題均成立：(1)若x＋y＝s(s為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy取得最大值eq\a\vs4\al(\f(s2,4))；(2)若xy＝p(p為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y取得最小值2eq\r(p)．eq\a\vs4\al()利用基本不等式求最值時要牢記一正、二定、三相等：(1)一正：各項必須為正；(2)二定：各項之和或各項之積為定值；(3)三相等：必須驗證取等號時條件是否具備．1．已知x＞0，則eq\f(9,x)＋x的最小值為()A．6 B．5C．4 D．3解析：選A∵x＞0，∴eq\f(9,x)＋x≥2eq\r(x·\f(9,x))＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(9,x)，即x＝3時，等號成立，此時取得最小值6.2．已知0＜x＜1，則x(1－x)的最大值為________，此時x＝________．解析：因為0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋（1－x）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)時“＝”成立，即當(dāng)x＝eq\f(1,2)時，x(1－x)取得最大值eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)eq\f(1,2)利用基本不等式求最值[例1](鏈接教科書第30頁練習(xí)1題)(1)已知x＜eq\f(5,4)，求y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值；(2)已知0＜x＜eq\f(1,2)，求y＝eq\f(1,2)x(1－2x)的最大值；(3)當(dāng)x＞0時，求函數(shù)y＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值．[解](1)∵x＜eq\f(5,4)，∴5－4x＞0，∴y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1，當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1時，等號成立，故當(dāng)x＝1時，ymax＝1.(2)∵0＜x＜eq\f(1,2)，∴1－2x＞0，∴y＝eq\f(1,4)×2x(1－2x)≤eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，∴當(dāng)且僅當(dāng)2x＝1－2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))，即x＝eq\f(1,4)時，ymax＝eq\f(1,16).(3)因為x＞0，所以eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)，即x＝1時取等號．故函數(shù)y＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值為1.eq\a\vs4\al()利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式，通過恒等變形及配湊，使“和”或“積”為定值．常見的變形方法有拆、并、配．(1)拆——裂項拆項：對分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離——分離成整式與“真分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對整式進(jìn)行拆項，為應(yīng)用基本不等式湊定積創(chuàng)造條件；(2)并——分組并項：目的是分組后各組可以單獨應(yīng)用基本不等式，或分組后先對一組應(yīng)用基本不等式，再在組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值；(3)配——配式配系數(shù)：有時為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項之和為定值．[跟蹤訓(xùn)練]1．3x2＋eq\f(6,x2＋1)的最小值是()A．3eq\r(2)－3 B．3C．6eq\r(2) D．6eq\r(2)－3解析：選D3x2＋eq\f(6,x2＋1)＝3(x2＋1)＋eq\f(6,x2＋1)－3≥2eq\r(3（x2＋1）·\f(6,x2＋1))－3＝2eq\r(18)－3＝6eq\r(2)－3，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝eq\r(2)－1時等號成立，故選D.2．已知a＞0，b＞0，則4a＋b＋eq\f(1,\r(ab))的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．5解析：選C∵a＞0，b＞0，∴4a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(4ab)＋eq\f(1,\r(ab))＝4eq\r(ab)＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(4\r(ab)·\f(1,\r(ab)))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝b，,4\r(ab)＝\f(1,\r(ab))，))即a＝eq\f(1,4)，b＝1時，等號成立，此時4a＋b＋eq\f(1,\r(ab))取得最小值4.利用基本不等式求條件最值[例2](鏈接教科書第30頁習(xí)題A組7題)已知x＞0，y＞0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．[解]∵x＞0，y＞0，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋10≥6＋10＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，即x＝4，y＝12時，上式取等號．故當(dāng)x＝4，y＝12時，x＋y的最小值為16.[母題探究]1．(變條件)本例條件變?yōu)椤皒＞0，y＞0，2x＋8y＝xy”，其余不變，求x＋y的最小值．解：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝eq\f(2x,x－8)，∴x＋y＝x＋eq\f(2x,x－8)＝x＋eq\f(（2x－16）＋16,x－8)＝(x－8)＋eq\f(16,x－8)＋10≥2eq\r(（x－8）×\f(16,x－8))＋10＝18.當(dāng)且僅當(dāng)x－8＝eq\f(16,x－8)，即x＝12時，等號成立，∴x＋y的最小值是18.2．(變條件，變設(shè)問)本例條件變?yōu)椤皒＋y＝1，x＞0，y＞0”，試求eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)的最小值．解：由eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)≥10＋2eq\r(9)＝16，當(dāng)且僅當(dāng)9x2＝y(tǒng)2即y＝3x，得x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)時，取“＝”，∴eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)的最小值為16.eq\a\vs4\al()1．常值代換法求最值的方法步驟常值代換法適用于求解條件最值問題．應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值．2．若常值代換法不適用于條件最值，則對條件變形，直接使用基本不等式，建立以目標(biāo)函數(shù)為整體的不等式，解不等式可得最值．[跟蹤訓(xùn)練]1．已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，則p＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)的最小值為()A．3 B．4C．5 D．6解析：選Cp＝x＋eq\f(x＋y,x)＋y＋eq\f(x＋y,y)＝3＋eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥3＋2＝5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時等號成立．2．若a＞0，且a＋b＝0，則a－eq\f(1,b)＋1的最小值為________．解析：由a＋b＝0，且a＞0，得b＝－a，－eq\f(1,b)＝eq\f(1,a)＞0，所以a－eq\f(1,b)＋1＝a＋eq\f(1,a)＋1≥3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，b＝－1時取等號．答案：3基本不等式在實際中的應(yīng)用[例3](鏈接教科書第29頁例5)某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一小區(qū)內(nèi)建造一個長方形公園ABCD，公園由長方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園的人行道(陰影部分)組成．已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000m2，人行道的寬分別為4m和10m(如圖所示)．(1)若設(shè)休閑區(qū)的長A1B1和寬B1C1的比值為x(x＞1)，求公園ABCD所占面積y(單位：m2)關(guān)于x的表達(dá)式；(2)要使公園ABCD所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設(shè)計？[解](1)設(shè)休閑區(qū)的寬為am，則其長為axm，由a2x＝4000，得a＝eq\f(20\r(10),\r(x)).所以y＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·eq\f(20\r(10),\r(x))＋160＝80eq\r(10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)＋\f(5,\r(x))))＋4160(x＞1)．(2)y≥80eq\r(10)×2eq\r(2\r(x)×\f(5,\r(x)))＋4160＝1600＋4160＝5760，當(dāng)且僅當(dāng)2eq\r(x)＝eq\f(5,\r(x))，即x＝eq\f(5,2)時取等號，此時a＝40，ax＝100.所以要使公園ABCD所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1應(yīng)設(shè)計為長100m，寬40m.eq\a\vs4\al()求實際問題中最值的4步驟(1)先讀懂題意，設(shè)出變量，理清思路，列出函數(shù)關(guān)系式；(2)把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮基本不等式，當(dāng)基本不等式求最值的條件不具備時，再考慮函數(shù)的單調(diào)性；(4)正確寫出答案．[跟蹤訓(xùn)練]某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，計劃建一個八邊形的休閑區(qū)域(如圖)，它的平面圖如圖所示，其中由兩個全等的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字型區(qū)域的面積為200m2.現(xiàn)計劃在正方形MNPO上建一花壇，造價為4200元/m2，在四個相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價為210元/m2，再在四個空角上鋪草坪，造價為80元/m2.(1)設(shè)該休閑區(qū)域的總造價為S元，AD邊的長為xm，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)至少要投入多少元，才能建造這個休閑區(qū)域？解：(1)設(shè)DO＝y(tǒng)，則x2＋4xy＝200，即y＝eq\f(200－x2,4x).所以S＝4200x2＋210×4xy＋80×4×eq\f(1,2)y2＝38000＋4000x2＋eq\f(400000,x2)(0＜x＜10eq\r(2))．(2)S＝38000＋4000x2＋eq\f(400000,x2)≥38000＋2eq\r(16×108)＝118000，當(dāng)且僅當(dāng)4000x2＝eq\f(400000,x2)，即x＝eq\r(10)時，等號成立，此時S取得最小值，為118000.因此，計劃至少要投入11.8萬元才能建造這個休閑區(qū)域．1．(多選)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則對于eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)()A．取得最值時a＝eq\f(2,3) B．最大值是5C．取得最值時b＝eq\f(2,3) D．最小值是eq\f(9,2)解析：選AD因為a＋b＝2，令y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\f(a＋b,2a)＋eq\f(2a＋2b,b)＝eq\f(1,2)＋eq\f(b,2a)＋eq\f(2a,b)＋2≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(b,2a)·\f(2a,b))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,2a)＝eq\f(2a,b)，且a＋b＝2，即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)時，取“＝”．2．已知實數(shù)x，y滿足x＞0，y＞0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，則x＋2y的最小值為()A．2 B．4C．6 D．8解析：選D∵x＞0，y＞0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y