-新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1第一課時(shí)空間向量的概念空間向量的加法及線性運(yùn)算學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE8第一課時(shí)空間向量的概念、空間向量的加法及線性運(yùn)算新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念數(shù)學(xué)抽象2.掌握空間向量的線性運(yùn)算直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算一天，梭子魚、蝦和天鵝發(fā)現(xiàn)路上有一輛車裝滿了好吃的東西，于是就想把車子從路上拖下來，三個(gè)家伙一齊鉚足了勁，使出了平生的力氣一起拖車，可是，無論它們?cè)鯓佑昧?，小車還是在老地方一步也不動(dòng)．原來，天鵝使勁往天上提，蝦一步步向后倒拖，梭子魚又朝著池塘拉去．[問題]同學(xué)們，你知道為什么車會(huì)一動(dòng)不動(dòng)嗎？知識(shí)點(diǎn)一空間向量1．空間向量的概念(1)定義：空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量；(2)模(或長(zhǎng)度)：向量的大小；(3)表示方法：①幾何表示法：可以用有向線段來直觀地表示向量，如始點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的向量，記為eq\o(AB,\s\up7(→))，模為|eq\o(AB,\s\up7(→))|；②字母表示法：可以用小寫字母a，b，c來表示向量，模為|a|，|b|，|c|.2．幾類特殊的向量(1)零向量：始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱為零向量，記作0；(2)單位向量：模等于1的向量稱為單位向量；(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量稱為相等向量；(4)相反向量：方向相反、大小相等的向量稱為相反向量；(5)平行(共線)向量：方向相同或者相反的兩個(gè)非零向量互相平行，此時(shí)表示這兩個(gè)非零向量的有向線段所在的直線平行或重合．通常規(guī)定零向量與任意向量平行；(6)共面向量：一般地，空間中的多個(gè)向量，如果表示它們的有向線段通過平移后，都能在同一平面內(nèi)，則稱這些向量共面．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)零向量與任意向量平行．()(2)向量eq\o(AB,\s\up7(→))的長(zhǎng)度與向量eq\o(BA,\s\up7(→))的長(zhǎng)度相等．()(3)空間向量a用幾何表示法表示時(shí)，表示該向量的有向線段的起點(diǎn)可任意選取．()答案：(1)√(2)√(3)√2.如圖，在長(zhǎng)、寬、高分別為AB＝3，AD＝2，AA1＝1的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中(1)試寫出與向量eq\o(AB,\s\up7(→))相等的所有向量；(2)向量eq\o(AB,\s\up7(→))、eq\o(CD,\s\up7(→))與eq\o(A1D1,\s\up7(→))三個(gè)向量共面嗎？解：(1)與向量eq\o(AB,\s\up7(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))及eq\o(D1C1,\s\up7(→))．(2)因eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))與eq\o(A1D1,\s\up7(→))三個(gè)向量共面．知識(shí)點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算名稱代數(shù)形式幾何形式運(yùn)算律加法eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝a＋b交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c減法eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))_＝a－b數(shù)乘當(dāng)λ＞0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(MN,\s\up7(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λbeq\a\vs4\al()與空間向量的線性運(yùn)算相關(guān)的結(jié)論(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))；(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，有eq\o(AC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))；(3)若O為空間中任意一點(diǎn)，則：①點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)的充要條件是eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))；②若G為△ABC的重心，則eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))).1．向量線性運(yùn)算的結(jié)果還是向量嗎？提示：是向量．2．λa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的λ倍嗎？提示：不是，應(yīng)是|λ|倍．1．化簡(jiǎn)eq\o(PM,\s\up7(→))－eq\o(PN,\s\up7(→))＋eq\o(MN,\s\up7(→))所得的結(jié)果是()A．eq\o(PM,\s\up7(→)) B．eq\o(NP,\s\up7(→))C．0 D．eq\o(MN,\s\up7(→))答案：C2．已知空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，則eq\o(CD,\s\up7(→))等于()A．a(chǎn)＋b－c B．c－a－bC．c＋a－b D．c＋a＋b解析：選Beq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝－eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝－a－b＋c＝c－a－b.3．化簡(jiǎn)：5(3a－2b)＋4(2b－3答案：3a－2空間向量的概念及簡(jiǎn)單應(yīng)用[例1](1)下列說法中正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的減法滿足結(jié)合律D．在四邊形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))[解析]|a|＝|b|，說明a與b模相等，但方向不確定．對(duì)于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，從而B正確．只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律；一般的四邊形不具有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，只有平行四邊形才能成立．故A、C、D均不正確．[答案]B(2)如圖所示，以長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1①試寫出與eq\o(AB,\s\up7(→))是相等向量的所有向量；②試寫出eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量；③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up7(→))的模．[解]①與向量eq\o(AB,\s\up7(→))是相等向量的(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))及eq\o(D1C1,\s\up7(→))．②向量eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up7(→))，eq\o(B1B,\s\up7(→))，eq\o(C1C,\s\up7(→))，eq\o(D1D,\s\up7(→))．③|eq\o(AC1,\s\up7(→))|＝eq\r(|eq\o(AB,\s\up7(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up7(→))|2＋|eq\o(AA1,\s\up7(→))|2)＝eq\r(22＋22＋12)＝eq\r(9)＝3.空間向量有關(guān)概念問題的解題策略(1)兩個(gè)向量的模相等，則它們的長(zhǎng)度相等，但方向不確定，即兩個(gè)向量(非零向量)的模相等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件；(2)熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量的加、減法的運(yùn)算法則及向量加法的運(yùn)算律是解決好這類問題的關(guān)鍵.[跟蹤訓(xùn)練]1．給出以下結(jié)論：①兩個(gè)空間向量相等，則它們的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；②在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(A1C1,\s\up7(→))；③若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C兩個(gè)空間向量相等，它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)不一定相同，故①不正確；在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(A1C1,\s\up7(→))成立，故②正確；③顯然正確．故選C.2．(多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，A．eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))與eq\o(OB1,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→))是一對(duì)相反向量B．eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))與eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OD1,\s\up7(→))是一對(duì)相反向量C．eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))與eq\o(OA1,\s\up7(→))＋eq\o(OB1,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→))＋eq\o(OD1,\s\up7(→))是一對(duì)相反向量D．eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))與eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OC1,\s\up7(→))是一對(duì)相反向量解析：選ACD∵O為正方體的中心，∴eq\o(OA,\s\up7(→))＝－eq\o(OC1,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))＝－eq\o(OB1,\s\up7(→))，故eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝－(eq\o(OB1,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→)))，同理可得eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝－(eq\o(OA1,\s\up7(→))＋eq\o(OD1,\s\up7(→)))，故eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝－(eq\o(OA1,\s\up7(→))＋eq\o(OB1,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→))＋eq\o(OD1,\s\up7(→)))，∴A、C正確；∵eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OD1,\s\up7(→))＝eq\o(D1A1,\s\up7(→))，∴eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))與eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OD1,\s\up7(→))是兩個(gè)相等的向量，∴B不正確；∵eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OC1,\s\up7(→))＝eq\o(C1C,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))，∴eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝－(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OC1,\s\up7(→)))，∴D正確．空間向量的加減運(yùn)算[例2](2021·濟(jì)寧一中月考)如圖，在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化簡(jiǎn)eq\o(A1F1,\s\up7(→))－eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量．[解]在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四邊形AA1F1F是平行四邊形，所以eq\o(A1F1,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))．同理eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))，eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(DD1,\s\up7(→))，eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(D1F1,\s\up7(→))，所以eq\o(A1F1,\s\up7(→))－eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＋eq\o(D1F1,\s\up7(→))＝eq\o(AF1,\s\up7(→))，如圖．[母題探究](變?cè)O(shè)問)若本例條件不變，化簡(jiǎn)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(B1D1,\s\up7(→))，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量．解：根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)知四邊形BB1C1C，DD1E1E所以eq\o(BB1,\s\up7(→))＝eq\o(CC1,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(D1E1,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(B1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(D1E1,\s\up7(→))＋eq\o(B1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1E1,\s\up7(→))＝eq\o(AE1,\s\up7(→))．如圖．eq\a\vs4\al()解決空間向量線性運(yùn)算問題的方法進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上是在正確運(yùn)用向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律的基礎(chǔ)上進(jìn)行向量求和，即通過作出向量，運(yùn)用平行四邊形法則或三角形法則求和．運(yùn)算的關(guān)鍵是將相應(yīng)的向量放到同一個(gè)三角形或平行四邊形中．[注意](1)向量減法是加法的逆運(yùn)算，減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量；(2)首尾相連的若干向量構(gòu)成封閉圖形時(shí)，它們的和向量為零向量．[跟蹤訓(xùn)練]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(C1A1,\s\up7(→)) D．eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))解析：選C在選項(xiàng)C中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(C1A1,\s\up7(→))＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算[例3]設(shè)A是△BCD所在平面外一點(diǎn)，G是△BCD的重心．求證：eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))).[證明]如圖，連接BG，延長(zhǎng)后交CD于點(diǎn)E，由G為△BCD的重心，知eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up7(→))．由題意知E為CD的中點(diǎn)，∴eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up7(→))．∴eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＋(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))]＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))).eq\a\vs4\al()利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量；(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)．[跟蹤訓(xùn)練]如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，則下列向量中與eq\o(BM,\s\up7(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c解析：選A∵eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1M,\s\up7(→))，eq\o(BB1,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，eq\o(B1M,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(B1D1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(A1D1,\s\up7(→))－eq\o(A1B1,\s\up7(→))))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(b－a)，∴eq\o(BM,\s\up7(→))＝c＋eq\f(1,2)(b－a).故選A.1．(多選)下列命題正確的是()A．同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小B．兩個(gè)相反向量的和為零向量C．只有零向量的模等于0D．空間中任意兩個(gè)單位向量必相等解析：選ABC空間向量都是即有大小又有方向的量，所以任意兩個(gè)向量不能比較大小，A正確；大小相等，方向相反的兩個(gè)向量稱為相反向量；由向量的加法可知，B正確；C顯然正確；任意兩個(gè)單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等，D不正確．2．已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則下列各式運(yùn)算結(jié)果不是eq\o(AC1,\s\up7(→))的為()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)) B．eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→)) D．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))解析：選D選項(xiàng)A中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；選項(xiàng)B中，eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\