-新教材高中數(shù)學(xué)第15章概率3第1課時(shí)互斥事件的概率學(xué)案蘇教版必修第二冊

PAGEPAGE9第1課時(shí)互斥事件的概率1．互斥事件的概念(1)互斥事件：事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生，這時(shí)，我們稱A，B為互斥事件．(2)對立事件：互斥事件A，C中必有一個(gè)發(fā)生，這時(shí)，我們稱A，C為對立事件，記作C＝eq\x\to(A)或A＝eq\x\to(C).2．互斥事件的概率(1)互斥事件的概率：如果事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B).(2)互斥事件概率的推廣如果事件A1，A2，…，An中任何兩個(gè)事件都是互斥事件，那么稱事件A1，A2，…，An兩兩互斥．如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).3．隨機(jī)事件概率的性質(zhì)(1)P(eq\x\to(A))＝1－P(A)；(2)當(dāng)AB時(shí)，P(A)≤P(B)；(3)當(dāng)A，B不互斥時(shí)，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).1．打靶3次，事件Ai表示“擊中i發(fā)”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1＋A2＋A3表示()A．全部擊中 B．至少擊中1發(fā)C．至少擊中2發(fā) D．以上均不正確【解析】選B.A1＋A2＋A3所表示的含義是A1，A2，A3這三個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生，即可能擊中1發(fā)、2發(fā)或3發(fā)．2．設(shè)事件A，B，已知P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(A＋B)＝eq\f(7,12)，則A，B之間的關(guān)系一定為()A．互斥事件 B．兩個(gè)任意事件C．非互斥事件 D．對立事件【解析】選A.因?yàn)镻(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(A＋B)＝eq\f(7,12)，所以有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)≠1，因此事件A，B是互斥事件，不是對立事件．3．若A，B為互斥事件，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，則P(B)＝________．【解析】因?yàn)锳，B為互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，所以P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.答案：0.34．從一箱蘋果中任取一個(gè)，如果其質(zhì)量小于200克的概率為0.2，質(zhì)量在[200，300]內(nèi)的概率為0.5，那么質(zhì)量超過300克的概率為________．【解析】設(shè)質(zhì)量超過300克的概率為P，因?yàn)橘|(zhì)量小于200克的概率為0.2,質(zhì)量在[200，300]內(nèi)的概率為0.5，所以0.2＋0.5＋P＝1，所以P＝1－0.2－0.5＝0.3.答案：0.35．某射手進(jìn)行一次射擊，試判斷下列事件哪些是互斥事件？哪些是對立事件？事件A：命中環(huán)數(shù)大于7環(huán)；事件B：命中環(huán)數(shù)為10環(huán)；事件C：命中環(huán)數(shù)小于6環(huán)；事件D：命中環(huán)數(shù)為6，7，8，9，10環(huán)．【解析】事件A“命中環(huán)數(shù)大于7環(huán)”包括“命中8環(huán)，命中9環(huán)，命中10環(huán)”；事件C“命中環(huán)數(shù)小于6環(huán)”包括“命中0環(huán)，命中1環(huán)，命中2環(huán)，命中3環(huán)，命中4環(huán)，命中5環(huán)”．所以事件A與事件C為互斥事件，事件B與事件C為互斥事件，事件C與事件D是對立事件．一、單選題1．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，則P(B)的取值范圍是()A．[0，0.9]B．[0.1，0.9]C．(0，0.9]D．[0，1]【解析】選A.由于事件A和B是互斥事件，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A＋B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9.2．從四雙不同的鞋中任意取出4只，事件“4只全部不成對”與事件“至少有2只成對”()A．是對立事件 B．不是互斥事件C．是互斥但不對立事件 D．都是不可能事件【解析】選A.從4雙不同的鞋中任意取出4只，可能的結(jié)果為：“恰有2只成對”“4只全部成對”“4只都不成對”，故事件“4只全部成對”的對立事件為“恰有2只成對”＋“4只都不成對”＝“至少有兩只成對”．所以事件“4只全部不成對”與事件“至少有2只成對”是對立事件．3．從一批產(chǎn)品(既有正品也有次品)中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝{三件產(chǎn)品全不是次品}，B＝{三件產(chǎn)品全是次品}，C＝{三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品}，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．A與C互斥 B．B與C互斥C．任何兩個(gè)都互斥 D．任何兩個(gè)都不互斥【解析】選D.由題意知事件A，B，C兩兩不可能同時(shí)發(fā)生，因此兩兩互斥．4．將一個(gè)骰子拋擲一次，設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過2，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于3，事件C表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，則()A．A與B是對立事件B．A與B是互斥而非對立事件C．B與C是互斥而非對立事件D．B與C是對立事件【解析】選A.事件A包含的基本事件為向上的點(diǎn)數(shù)為1，2；事件B包含的基本事件為向上的點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6；事件C包含的基本事件為向上的點(diǎn)數(shù)為1，3，5；由于事件A，B不可能同時(shí)發(fā)生，且事件A，B的和事件為必然事件，所以A與B是對立事件當(dāng)向上一面的點(diǎn)數(shù)為3時(shí)，事件B，C同時(shí)發(fā)生，則B與C不互斥也不對立．5．已知隨機(jī)事件A和B互斥，且P(A＋B)＝0.7，P(B)＝0.2，則P(eq\x\to(A))＝()A．0.5B．0.1C．0.7D．0.8【解析】選A.因?yàn)槭录嗀和B互斥，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋B))＝P(B)＋P(A)＝0.7，則P(A)＝0.7－0.2＝0.5，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(A)))＝1－P(A)＝0.5.6．盒子中有若干個(gè)紅球和黃球，已知從盒中取出2個(gè)球都是紅球的概率為eq\f(3,28)，從盒中取出2個(gè)球都是黃球的概率是eq\f(5,14)，則從盒中任意取出2個(gè)球恰好是同一顏色的概率是()A．eq\f(13,28)B．eq\f(5,7)C．eq\f(15,28)D．eq\f(3,7)【解析】選A.設(shè)“從中取出2個(gè)球都是紅球”為事件A；“從中取出2個(gè)球都是黃球”為事件B；“任意取出2個(gè)球恰好是同一顏色”為事件C，則C＝A∪B，且事件A與B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,28)＋eq\f(5,14)＝eq\f(13,28)，即任意取出2個(gè)球恰好是同一顏色的概率為eq\f(13,28).二、多選題7．下列命題：①對立事件一定是互斥事件；②若A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A與B是對立事件．其中不正確的選項(xiàng)是()A．①B．②C．③D．④【解析】選BCD.A中，根據(jù)對立事件與互斥事件的關(guān)系，可得是正確的；B中，當(dāng)A與B是互斥事件時(shí)，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，對于任意兩個(gè)事件A，B滿足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正確的；C不正確．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，還可能小于1；D不正確．例如：袋中有大小相同的紅、黃、黑、綠4個(gè)球，從袋中任摸一個(gè)球，設(shè)事件A＝{摸到紅球或黃球}，事件B＝{摸到黃球或黑球}，顯然事件A與B不互斥，但P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.8．在一個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，設(shè)A表示一個(gè)隨機(jī)事件，eq\x\to(A)表示A的對立事件．以下結(jié)論正確的是()A．P(A)＝P(eq\x\to(A))B．P(A＋eq\x\to(A))＝1C．若P(A)＝1，則P(eq\x\to(A))＝0D．P(Aeq\x\to(A))＝0【解析】選BCD.選項(xiàng)A，由對立事件的性質(zhì)P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1,P(A)＝P(eq\x\to(A))不一定正確；由對立事件的概念得A＋eq\x\to(A)＝Ω，即P(A＋eq\x\to(A))＝P(Ω)＝1，B正確；由對立事件的性質(zhì)P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1知，P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，故若P(A)＝1，則P(eq\x\to(A))＝0，C正確；由對立事件的概念得Aeq\x\to(A)＝，即P(Aeq\x\to(A))＝P()＝0，D正確．三、填空題9．事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為eq\f(2,5)，且P(A)＝2P(B)，則P(eq\x\to(A))＝________，P(eq\x\to(B))＝________．【解析】由題意得P(A)＋P(B)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，因?yàn)镻(A)＝2P(B)，所以P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(1,5)，所以P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝eq\f(3,5)，P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(3,5)eq\f(4,5)四、解答題10．某職員去開會(huì)，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)去的概率分別為0.3，0.2，0.1，0.4.(1)求他乘火車或乘飛機(jī)去的概率；(2)求他不乘輪船去的概率．【解析】(1)記“他乘火車去”為事件A1，“他乘輪船去”為事件A2，“他乘汽車去”為事件A3，“他乘飛機(jī)去”為事件A4，這四個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，故它們彼此互斥，故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.(2)設(shè)他不乘輪船去的概率為P，則P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.11．受轎車在保修期內(nèi)的維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，甲品牌車保修期為3年，乙品牌車保修期為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中分別隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)出在保修期內(nèi)出現(xiàn)故障的車輛數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障的時(shí)間x(年)0＜x≤11＜x≤22＜x≤3x＞30＜x≤11＜x≤2x＞2轎車數(shù)量(輛)213442345(1)從該廠生產(chǎn)的甲種品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；(2)從該廠生產(chǎn)的乙種品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率．(將頻率視為概率).【解析】(1)設(shè)A，B，C分別表示甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障在第1年，第2年和第3年之內(nèi)，設(shè)D表示甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障在保修期內(nèi)，因?yàn)锳，B，C是互斥的，其概率分別為P(A)＝eq\f(2,50)＝eq\f(1,25)，P(B)＝eq\f(1,50)，P(C)＝eq\f(3,50)，所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(3,25)，即首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為eq\f(3,25).(2)乙品牌轎車首次出現(xiàn)故障未發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為eq\f(45,50)＝eq\f(9,10)，故首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為eq\f(1,10).一、選擇題1．下列各組事件中，不是互斥事件的是()A．一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B．統(tǒng)計(jì)一個(gè)班的數(shù)學(xué)成績，平均分不低于90分與平均分不高于90分C．同時(shí)投擲3枚硬幣，恰有兩枚正面向上與至多一枚正面向上D．檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率低于70%【解析】選B.對于B，設(shè)事件A1為平均分不低于90分，事件A2為平均分不高于90分，則A1∩A2為平均分等于90分，A1，A2可能同時(shí)發(fā)生，故它們不是互斥事件．2．口袋中裝有一些大小相同的紅球和黑球，從中取出2個(gè)球．兩個(gè)球都是紅球的概率是eq\f(2,5)，都是黑球的概率是eq\f(1,15)，則取出的2個(gè)球中恰好一個(gè)紅球一個(gè)黑球的概率是()A．eq\f(7,15)B．eq\f(8,15)C．eq\f(3,5)D．eq\f(14,15)【解析】選B.由題意知，從袋中取出2個(gè)球的所有可能情況為2個(gè)都是紅球，2個(gè)都是黑球，1個(gè)紅球和1個(gè)黑球．由互斥事件的概率公式可得，取出的2個(gè)球中恰好一個(gè)紅球一個(gè)黑球的概率是1－eq\f(2,5)－eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).3．(多選)下列說法中正確的是()A．若事件A與事件B是互斥事件，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A∩B))＝0B．若事件A與事件B是對立事件，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A∪B))＝1C．某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，則事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件D．把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件【解析】選ABC.事件A與事件B互斥，則不可能同時(shí)發(fā)生，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A∩B))＝0，A正確；事件A與事件B是對立事件，則事件B即為事件eq\x\to(A)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A∪B))＝1，B正確；事件“至少兩次中靶”與“至多有一次中靶”不可能同時(shí)發(fā)生，且二者必發(fā)生其一，故為對立事件，C正確；“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”可能同時(shí)發(fā)生，即“丙分得的是紅牌”，故不是互斥事件，D錯(cuò)誤．二、填空題4．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出紅球或黑球的概率是________．【解析】因?yàn)槊龊谇蚴敲黾t球或摸出白球的對立事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.所以摸出紅球或黑球的概率是0.42＋0.3＝0.72.答案：0.725．已知兩個(gè)事件A和B互斥，記事件eq\x\to(B)是事件B的對立事件，且P(A)＝0.3，P(eq\x\to(B))＝0.6，則P(A＋B)＝________．【解析】由Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(B)))＝0.6得P(B)＝0.4，且事件A與B互斥，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋B))＝P(A)＋P(B)＝0.7.答案：0.76．甲射擊一次，中靶概率是p1，乙射擊一次，中靶概率是p2，已知eq\f(1,p1)，eq\f(1,p2)是方程x2－5x＋6＝0的根，且p1滿足方程x2－x＋eq\f(1,4)＝0.則甲射擊一次，不中靶概率為______；乙射擊一次，不中靶概率為________．【解析】由p1滿足方程x2－x＋eq\f(1,4)＝0知p12－p1＋eq\f(1,4)＝0，解得p1＝eq\f(1,2)，因?yàn)閑q\f(1,p1)，eq\f(1,p2)是方程x2－5x＋6＝0的根，所以eq\f(1,p1)·eq\f(1,p2)＝6，解得p2＝eq\f(1,3)，所以甲射擊一次不中靶的概率為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，乙射擊一次不中靶的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(1,2)eq\f(2,3)7．對飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈．設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)}，其中為互斥事件的是________；為對立事件的是________．【解析】由于事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生，故A與B是互斥事件；同理可得，A與C，B與C，B與D也是互斥事件．綜上可得，A與B，A與C，B與C，B與D都是互斥事件．在上述互斥事件中，再根據(jù)B，D滿足B＋D為必然事件，故B與D是對立事件．答案：A與B、A與C，B與C、B與DB與D三、解答題8．現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通曉日語，B1，B2，B3通曉俄語，C1，C2通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個(gè)小組．(1)求A1被選中的概率；(2)求B1和C1不全被選中的概率．【解析】(1)從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}由18個(gè)基本事件組成．由于每一個(gè)基本事件被抽取的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的．用M表示“A1恰被選中”這一事件，則M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}．事件M由6個(gè)基本事件組成，因而P(M)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3).(2)用N表示“B1，C1不全被選中”這一事件，則其對立事件eq\x\to(N)表示“B1，C1全被選中”這一事件，由于eq\x\