-新教材高中數(shù)學(xué)第14章統(tǒng)計(jì)4.3用頻率直方圖估計(jì)總體分布學(xué)案蘇教版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE13用頻率直方圖估計(jì)總體分布頻率直方圖(1)我們將整個(gè)取值區(qū)間的長(zhǎng)度稱為全距，分成的區(qū)間的長(zhǎng)度稱為組距．(2)把橫軸均分成若干段，每一段對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度稱為組距，然后以此段為底作矩形，它的高等于該組的eq\f(頻率,組距)，這樣得出一系列的矩形，每個(gè)矩形的面積恰好是該組的頻率，這些矩形就構(gòu)成了直方圖，我們將這種直方圖稱為頻率直方圖．1．如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本落在[15，20]內(nèi)的頻數(shù)為()A．20B．30C．40D．50【解析】選B.樣本數(shù)據(jù)落在[15，20]內(nèi)的頻數(shù)為：100×[1－5×(0.04＋0.10)]＝30.2．(教材練習(xí)改編)某商場(chǎng)在五一促銷活動(dòng)中，對(duì)5月1日9時(shí)至14時(shí)的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率直方圖如圖所示，已知9時(shí)至10時(shí)的銷售額為2.5萬(wàn)元，則11時(shí)到12時(shí)的銷售額為()A．6萬(wàn)元 B．8萬(wàn)元C．10萬(wàn)元 D．12萬(wàn)元【解析】選C.設(shè)11時(shí)至12時(shí)的銷售額為x萬(wàn)元，由于頻率分布直方圖中各小組的組距相同，故各小矩形的高度之比等于頻率之比，也等于銷售額之比，所以9時(shí)至10時(shí)的銷售額與11時(shí)至12時(shí)的銷售額的比為eq\f(0.10,0.40)＝eq\f(1,4)，所以有eq\f(2.5,x)＝eq\f(1,4)，解得x＝10.3．某中學(xué)隨機(jī)抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需時(shí)間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學(xué)路上所需時(shí)間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].(1)頻率分布直方圖中x的值為________；(2)如果上學(xué)路上所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，若招生1200名，估計(jì)新生中可以申請(qǐng)住校的學(xué)生有________名．【解析】(1)由頻率分布直方圖，可得20x＋0.025×20＋0.0065×20＋0.003×2×20＝1所以x＝0.0125.(2)新生上學(xué)路上所需時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為0.003×2×20＝0.12，因?yàn)?200×0.12＝144，所以1200名新生中約有144名學(xué)生可以申請(qǐng)住校．答案：(1)0.0125(2)1444．某校高二期末統(tǒng)一測(cè)試，隨機(jī)抽取一部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，分組統(tǒng)計(jì)如表．(1)求出表中m，n，M，N的值，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)在給出的坐標(biāo)系中畫出頻率直方圖；分組頻數(shù)頻率[0，30]30.03(30，60]30.03(60，90]370.37(90，120]mn(120，150]150.15合計(jì)MN(2)若全校參加本次考試的學(xué)生有600人，試估計(jì)這次測(cè)試中全校成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)．【解析】(1)由頻率分布表得M＝eq\f(3,0.03)＝100，所以m＝100－(3＋3＋37＋15)＝42，n＝eq\f(42,100)＝0.42，N＝0.03＋0.03＋0.37＋0.42＋0.15＝1.頻率直方圖如圖所示．(2)由題意知，全校成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生的人數(shù)約為eq\f(42＋15,100)×600＝342.一、單選題1．下列說(shuō)法不正確的是()A．頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的高就是該組的頻率B．頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的面積之和等于1C．頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的寬一樣大D．頻率分布折線圖是依次連接頻率分布直方圖的每個(gè)小矩形上邊的中點(diǎn)得到的【解析】選A.頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的高＝eq\f(頻率,組距).2．有一個(gè)容量為45的樣本數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：(12.5，15.5]，3；(15.5，18.5]，8；(18.5，21.5]，9；(21.5，24.5]，11；(24.5，27.5]，10；(27.5，30.5]，4.由此估計(jì)，不大于27.5的數(shù)據(jù)約為總體的()A．91%B．92%C．95%D．30%【解析】選A.不大于27.5的樣本數(shù)為3＋8＋9＋11＋10＝41，約占總體的百分比為eq\f(41,45)×100%≈91%.3．某班的全體學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A．45B．50C．55D．60【解析】選B.設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為n，則20×(0.005＋0.01)n＝15，n＝50.4．某工廠對(duì)一批元件進(jìn)行抽樣檢測(cè)．經(jīng)檢測(cè)，抽出的元件的長(zhǎng)度(單位：mm)全部在93至105之間．將抽出的元件的長(zhǎng)度以2為組距分成6組：[93，95)，[95，97)，[97，99)，[99，101)，[101，103)，[103，105]，得到如圖所示的頻率直方圖．若長(zhǎng)度在[97，103)內(nèi)的元件為合格品，根據(jù)頻率直方圖，估計(jì)這批元件的合格率是()A．80%B．90%C．20%D．85.5%【解析】選A.由頻率分布直方圖可知元件長(zhǎng)度在[97，103)內(nèi)的頻率為1－(0.0275＋0.0275＋0.0450)×2＝0.8，故這批元件的合格率為80%.5．對(duì)某小區(qū)100戶居民的月均用水量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率直方圖如圖所示，則估計(jì)此樣本的眾數(shù)、中位數(shù)分別為()A．2.25，2.5 B．2.25，2.02C．2，2.5 D．2.5，2.25【解析】選B.眾數(shù)是指樣本中出現(xiàn)頻率最高的數(shù)，在頻率直方圖中通常取該組區(qū)間的中點(diǎn)，所以眾數(shù)為eq\f(2＋2.5,2)＝2.25.中位數(shù)是頻率為0.5的分界點(diǎn)，由頻率直方圖，可知前4組的頻率和為(0.08＋0.16＋0.30＋0.44)×0.5＝0.49，因此中位數(shù)出現(xiàn)在第5組，設(shè)中位數(shù)為x，則(x－2)×0.5＝0.01，解得x＝2.02.二、多選題6．在某次高中學(xué)科競(jìng)賽中，4000名考生的參賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，則下列說(shuō)法正確有()A．成績(jī)?cè)赱70，80)分的考生人數(shù)最多B．不及格的考生人數(shù)為1000C．考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分為70.5分D．考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為75分【解析】選ABC.A選項(xiàng)，由頻率直方圖可得成績(jī)?cè)赱70，80)的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，故A正確；B選項(xiàng)，由頻率直方圖可得成績(jī)?cè)赱40，60)的頻率為0.25，因此，不及格的人數(shù)為4000×0.25＝1000，故B正確；C選項(xiàng)，由頻率直方圖可得平均分為45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)槌煽?jī)?cè)赱40，70)的頻率為0.45，成績(jī)?cè)赱70，80)的頻率為0.3，所以中位數(shù)為70＋10×eq\f(0.05,0.3)≈71.67(分)，故D錯(cuò)誤．7．某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，全班學(xué)生的成績(jī)都落在區(qū)間[50，100]內(nèi)，其成績(jī)的頻率直方圖如圖所示，則該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)值為()A．81.5B．75C．81.25D．85【解析】選CD.因?yàn)?0.005＋0.015＋0.025)×10＝0.45<0.5，(0.005＋0.015＋0.025＋0.040)×10＝0.85>0.5，所以該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)落在[80，90)內(nèi)．設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)?0.005＋0.015＋0.025)×10＋0.04×(x－80)＝0.5，所以所求中位數(shù)為x＝81.25.眾數(shù)為85.三、填空題8．某校從參加高一年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如圖所示的部分頻率直方圖．在統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，觀察圖形的信息，據(jù)此估計(jì)本次考試的平均分為________．【解析】在頻率直方圖中，所有小長(zhǎng)方形的面積和為1，設(shè)[70，80)的小長(zhǎng)方形面積為x，則(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.3，即該組數(shù)據(jù)的頻率為0.3，所以本次考試的平均分為45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：71四、解答題9．某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位：t)的分組及各組的頻數(shù)如下：[0，0.5)，4；[0.5，1)，8；[1，1.5)，15；[1.5，2)，22；[2，2.5)，25；[2.5，3)，14；[3，3.5)，6；[3.5，4)，4；[4，4.5)，2.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖，并根據(jù)直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(3)當(dāng)?shù)卣贫巳司掠盟繛?t的標(biāo)準(zhǔn)，若超出標(biāo)準(zhǔn)加倍收費(fèi)，當(dāng)?shù)卣f(shuō)，85%以上的居民不超過(guò)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)解釋對(duì)嗎？為什么？【解析】(1)頻率分布表分組頻數(shù)頻率[0，0.5)40.04[0.5，1)80.08[1，1.5)150.15[1.5，2)220.22[2，2.5)250.25[2.5，3)140.14[3，3.5)60.06[3.5，4)40.04[4，4.5)20.02合計(jì)1001(2)頻率分布直方圖如圖：眾數(shù)：2.25，中位數(shù)：2.02，平均數(shù)：2.02.(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例為6%＋4%＋2%＝12%，即大約有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解釋是正確的．10．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]頻數(shù)62638228(1)根據(jù)上表作出這些數(shù)據(jù)的頻率直方圖；(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？【解析】(1)頻率直方圖如圖．(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2＝(80－100)2×0.06＋(90－100)2×0.26＋(100－100)2×0.38＋(110－100)2×0.22＋(120－100)2×0.08＝104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100，方差的估計(jì)值為104.(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于該估計(jì)值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定．一、選擇題1．某養(yǎng)豬場(chǎng)定購(gòu)了一批仔豬，從中隨機(jī)抽查了100頭仔豬的體重(單位：斤)，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到如圖①的頻率直方圖，其中體重最輕的14頭仔豬的體重的莖葉圖如圖②，為了將這批仔豬分欄喂養(yǎng)，需計(jì)算頻率直方圖中的一些數(shù)據(jù)，其中a＋b的值為()A．0.144B．0.152C．0.76D．0.076【解析】選B.由題意得c＋d＝eq\f(12,100)×eq\f(1,5)＝0.024且[2(c＋d)＋a＋b]×5＝1.所以2×0.024＋a＋b＝0.2.所以a＋b＝0.152.2．為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率直方圖如圖，則這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量的中位數(shù)為()A．65B．64C．62.5D．60【解析】選C.設(shè)20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量的中位數(shù)為x，則0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.3．(多選)某次考試中，某班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖如下(每組數(shù)據(jù)包含左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn)).則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．分?jǐn)?shù)在70～80的人數(shù)最多B．該班的總?cè)藬?shù)為40C．分?jǐn)?shù)在90～100的人數(shù)最少D．及格(≥60分)的人數(shù)是26【解析】選ABC.從表中可以看出，分?jǐn)?shù)在70～80的有14人，人數(shù)最多，所以選項(xiàng)A正確；該班共有4＋12＋14＋8＋2＝40人，所以選項(xiàng)B正確；從表中可以看出，分?jǐn)?shù)在90～100的有2人，人數(shù)最少，所以選項(xiàng)C正確；及格(≥60分)的人數(shù)為12＋14＋8＋2＝36人，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．二、填空題4．將容量為n的樣本數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組的數(shù)據(jù)的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n＝________．【解析】設(shè)第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率分別為2x，3x，4x，6x，4x，x，則2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x＝1，解得x＝eq\f(1,20)，所以前三組數(shù)據(jù)的頻率分別是eq\f(2,20)，eq\f(3,20)，eq\f(4,20)，故前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,20)＋\f(3,20)＋\f(4,20)))n＝27，解得n＝60.答案：605．某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2018年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬(wàn)元)都在區(qū)間[0.3，0.9]內(nèi)，其頻率直方圖如圖所示．(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購(gòu)物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為________．【解析】(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)消費(fèi)金額在區(qū)間[0.3，0.5)內(nèi)的頻率為0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的頻率為1－0.4＝0.6.因此，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為0.6×10000＝6000.答案：(1)3(2)60006．為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對(duì)三個(gè)社區(qū)進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查．他們將調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)，記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關(guān)系為__________．(用“＞”連接)【解析】甲數(shù)據(jù)的平均值為eq\x\to(x)甲＝1250×0.0006×500＋1750×0.0004×500＋2250×0.0002×500＋2750×0.0002×500＋3250×0.0006×500＝2200，同理，乙數(shù)據(jù)的平均值為eq\x\to(x)乙＝2150，丙數(shù)據(jù)的平均值為eq\x\to(x)丙＝2250，可見甲、乙、丙三者的平均值都處在頻率分布直方圖的最中間一列，此時(shí)，若越靠近中間列所占的頻率越大，則相應(yīng)的方差越小，明顯丙的中間列及附近列所占的頻率最大，其次是乙，甲中間列及附近列所占的頻率最小，故s1>s2>s3.答案：s1>s2>s3三、解答題7．(2019·全國(guó)Ⅲ卷)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值．(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一