數(shù)學(xué)浙江省寧波市九校2022學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題

請(qǐng)關(guān)注“高中試題庫”獲取更多免費(fèi)資源！寧波市2022學(xué)年第二學(xué)期九校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題選擇題部分一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式，可求出集合，進(jìn)而與集合取交集即可.【詳解】由題意，，則，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法，考查集合的交集，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題易得,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得到答案.【詳解】由題意知,,,,,,因?yàn)?所以是函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別判斷選項(xiàng)的奇偶性和極值即可得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，為增函數(shù)，不存在極值，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，，定義域?yàn)?，為非奇非偶函?shù)，故B錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)C，，，所以不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，，定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，，.所以當(dāng)在，為增函數(shù)，在，為減函數(shù)，故當(dāng)為函數(shù)取得極值.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的極值，同時(shí)考查函數(shù)的奇偶性，屬于簡單題.4.從一副不含大小王的52張撲克牌（即不同花色的各4張）中任意抽出5張，恰有3張A的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)為抽出的5張牌中含的張數(shù)，可知服從超幾何分布，其中，進(jìn)而求出即可.【詳解】設(shè)為抽出的5張牌中含的張數(shù)，可知服從超幾何分布，其中，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求超幾何分布的概率，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)得，進(jìn)而對(duì)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，即可選出答案.【詳解】函數(shù)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，只有選項(xiàng)C符合題意.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.若函數(shù)，的定義域均為R，且都不恒為零，則（）A.若為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)B.若為周期函數(shù)，則為周期函數(shù)C.若，均為單調(diào)遞減函數(shù)，則為單調(diào)遞減函數(shù)D.若，均為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)【答案】D【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A，B，設(shè)，，代入選項(xiàng)即可判斷是錯(cuò)誤的，對(duì)選項(xiàng)C，設(shè)，，代入選項(xiàng)即可判斷C是錯(cuò)誤的，對(duì)選項(xiàng)D，利用奇函數(shù)的定義判斷即可得到D選項(xiàng)正確.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，設(shè)，，則為偶函數(shù)，而不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，設(shè)，，則為周期函數(shù)，而不是周期函數(shù)，故B錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)C，設(shè)，，則，在為增函數(shù)，為減函數(shù)，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)椋鶠槠婧瘮?shù)，則，即為奇函數(shù)，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和周期性，屬于中檔題.7.對(duì)于不等式，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：①當(dāng)時(shí)，，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，不等式成立則上述證法（）A.過程全部正確 B.的驗(yàn)證不正確C.的歸納假設(shè)不正確 D.從到的推理不正確【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的基本過程可得出結(jié)論.【詳解】在時(shí)，沒有應(yīng)用時(shí)假設(shè)，即從到的推理不正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證明過程的理解，屬于基礎(chǔ)題.8.已知隨機(jī)變量的取值為.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，可得，結(jié)合，可求出，進(jìn)而可求出方差，再結(jié)合，可求出答案.【詳解】由題意，設(shè)，則，又，解得，所以，，則，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的期望與方差，注意方差的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知字母，，各有兩個(gè)，現(xiàn)將這6個(gè)字母排成一排，若有且僅有一組字母相鄰（如），則不同的排法共有（）種A.36 B.30 C.24 D.16【答案】A【解析】分析】有且僅有一組字母相鄰，這組字母有三種情況：，利用位置分析法，可得出當(dāng)相鄰的字母為時(shí)，共有12種排法，進(jìn)而可知不同的排法共有有種.【詳解】有且僅有一組字母相鄰，這組字母有三種情況：.當(dāng)相鄰的這組字母為時(shí)，將6個(gè)位置編成1-6號(hào)，若在1號(hào)和2號(hào)，則3號(hào)和5號(hào)字母相同，4號(hào)和6號(hào)字母相同，有2種排法；若在2號(hào)和3號(hào)，則1號(hào)和5號(hào)字母相同，4號(hào)和6號(hào)字母相同，有2種排法；若在3號(hào)和4號(hào)，則1號(hào)和2號(hào)字母不相同，5號(hào)和6號(hào)字母不相同，有種排法；若在4號(hào)和5號(hào)，則2號(hào)和6號(hào)字母相同，1號(hào)和3號(hào)字母相同，有2種排法；若在5號(hào)和6號(hào)，則1號(hào)和3號(hào)字母相同，2號(hào)和4號(hào)字母相同，有2種排法，即相鄰的字母為時(shí)，共有種排法.同理，相鄰的字母為時(shí)，也都有12種排法，故共有種排法.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合，注意利用位置分析法，考查學(xué)生的推理能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.10.設(shè)，，，則下列正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知都大于0，可證明，從而可知；證明時(shí)，，再結(jié)合，可得，兩端取對(duì)數(shù)可得出，即.【詳解】易知都大于0，先來比較，，即，所以.再來比較，因?yàn)?，，所?構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得，顯然導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，恒成立，故當(dāng)時(shí)，恒成立.，代入得，取對(duì)數(shù)得，即，即.所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查幾個(gè)數(shù)的大小比較，利用構(gòu)造函數(shù)的方法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.非選擇題部分二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11.已知，，則_________，__________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化求解即可.【詳解】解：將化成對(duì)數(shù)形式得：；故化成指數(shù)形式得：.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，是基礎(chǔ)題.12.二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為_________；該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______________.（用數(shù)字作答）【答案】(1).1(2).60【解析】【分析】令，可求得各項(xiàng)系數(shù)之和；求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，令，可求出，進(jìn)而可求出該展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】令，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，即二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：1；60.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中合理利用賦值法，以及熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13.已知函數(shù)，則______________；若關(guān)于的方程在內(nèi)有唯一實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】(1).2(2).【解析】【分析】由分段函數(shù)的解析式先求出，再代入對(duì)應(yīng)解析式求出，作出函數(shù)的圖象，求出與x軸的從左向右的前兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)與的平移關(guān)系數(shù)形結(jié)合可求得t的取值范圍.【詳解】，.作出函數(shù)的圖象如圖所示：已知函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)從左向右第一個(gè)交點(diǎn)為，第二個(gè)交點(diǎn)為，與為平移關(guān)系，因?yàn)殛P(guān)于的方程在內(nèi)有唯一實(shí)根，所以數(shù)形結(jié)合知.故答案為：2；.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象的平移規(guī)則，屬于中檔題.14.已知函數(shù).若的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________；若的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】若的定義域?yàn)镽則恒成立，分類討論利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出不等式組求解；若的值域?yàn)镽，則可取遍所有正數(shù)，分類討論利用一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出不等式組求解.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，所以恒成立，①若，則，解得，不滿足題意；②若，則.綜上所述，a的取值范圍是.若的值域?yàn)镽，則可取遍所有正數(shù)，①若，可取遍所有正數(shù)，滿足題意；②若，則.綜上所述，a的取值范圍是.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與值域、二次不等式恒成立問題、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.15.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若，，則______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式得出關(guān)于和的方程組，即可解出的值.【詳解】由二項(xiàng)分布的期望和方差公式得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差求參數(shù)，考查公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16.在冬奧會(huì)志愿者活動(dòng)中，甲、乙等5人報(bào)名參加了A，B，C三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，因工作需要，每個(gè)項(xiàng)目僅需1名志愿者，且甲不能參加A，B項(xiàng)目，乙不能參加B，C項(xiàng)目，那么共有______種不同的志愿者分配方案用數(shù)字作答【答案】【解析】【分析】由題意可以分為四類，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．【詳解】解：若甲，乙都參加，則甲只能參加項(xiàng)目，乙只能參見項(xiàng)目，項(xiàng)目有3種方法，若甲參加，乙不參加，則甲只能參加項(xiàng)目，，項(xiàng)目，有種方法，若甲參加，乙不參加，則乙只能參加項(xiàng)目，，項(xiàng)目，有種方法，若甲不參加，乙不參加，有種方法，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有種．故答案為21.【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是分類，屬于中檔題．17.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則關(guān)于的方程的解集為_____________.【答案】【解析】【分析】由所給等式變形可得，則，令可求得c從而求出的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，解得，則，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以的解集為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5個(gè)題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.是否存在正實(shí)數(shù)，，使得等式對(duì)任意恒成立？若存在，求正實(shí)數(shù)，的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】存在，，證明見解析【解析】【分析】分別令，可得出關(guān)于的方程組，進(jìn)而可求出，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】假設(shè)存在滿足題意的正實(shí)數(shù)，，則，即，解得.即對(duì)任意恒成立，證明如下：當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，即左邊=右邊，所以結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.故對(duì)任意，恒成立.所以，存在正實(shí)數(shù)，使得等式對(duì)任意恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，考查學(xué)生的推理能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.19.一個(gè)袋中有10個(gè)大小相同的球，其中標(biāo)號(hào)為1的球有3個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的球有5個(gè)，標(biāo)號(hào)3的球有2個(gè).第一次從袋中任取一個(gè)球，放回后第二次再任取一個(gè)球（假設(shè)取到每個(gè)球的可能性都相等）.記兩次取到球的標(biāo)號(hào)之和為X.（1）求隨機(jī)變量X的分布列；（2）求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）分布列見解析；（2）【解析】【分析】（1）隨機(jī)變量X的可能取值為，分別求出每種情況所對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可得出X的分布列；（2）結(jié)合X的分布列，及數(shù)學(xué)期望的公式，求解即可.【詳解】（1）由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為.，，，，.則隨機(jī)變量X的分布列為：X23456P（2）由（1）可知，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.20.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）求函數(shù)的最小值.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是非奇非偶函數(shù)；（2）【解析】【分析】（1）分和兩種情況，分別討論的奇偶性，即可得出答案；（2）分情況討論的表達(dá)式，并分段求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而可求出.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以時(shí)，為偶函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，，若為偶函數(shù)，則恒成立，即，化簡得恒成立，即，與矛盾，故不是偶函數(shù)；若為奇函數(shù)，則恒成立，且，則，解得，與矛盾，故不是奇函數(shù).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是非奇非偶函數(shù).（2）由題意，，且，是連續(xù)的函數(shù)，若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)的最小值；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)的最小值；若，則在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，此時(shí)的最小值.綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性及最值，注意利用分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明：在內(nèi)存在唯一零點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，可求出，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)可求出，即可得到切線的切點(diǎn)及斜率，進(jìn)而可求出切線方程；（2），令,求出，判斷的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得：存在，使得，進(jìn)而判斷在的單調(diào)性，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，求導(dǎo)得，，則，所以切線的斜率為，切點(diǎn)為，故切線方程為，即.（2）證明：，令，則.當(dāng)時(shí)，則，在上單調(diào)遞增.又，，存在使得．即當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)．又，，，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上沒有零點(diǎn)．在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于難題.22.已知函數(shù)，，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，總存在，使得，求的最小值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別令，，解不等式，即可求出的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知，的值域?yàn)?，?duì)任意，總存在，使得，可知的值域包含，可推出方程有實(shí)數(shù)解，令，可將方程轉(zhuǎn)化為，將方程看作點(diǎn)所在的直線，則原點(diǎn)到點(diǎn)的距離，進(jìn)