2014年高考數(shù)學(xué)理真題分類匯編單元三角函數(shù)

C元C1角的概念及任意角的三角函數(shù)6MOPxf(x)y＝f(x)在[0，π]上的圖像大致為()1- C2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)16]

1

0<α2

sinα＝

22

πsinα＝

cosα＝＝所以 2＝

0<α<21

2，所 21

2×2＋2(2)因?yàn)閒(x)＝sinxcos 1＋cos ＝2sin

＝2sin2x＋2cos ＝T＝2 ＝T＝2πππ4≤2kπ＋πkπ－π＋8

.

π－ π＋8方法二：f(x)＝sinxcos 1＋cos ＝2sin

＝2sin2x＋2cos ＝2sin2x＋4

2sin 20<α<2

＝4＝從而 2 ＝

3π ＝ ＋4 (2)T＝2

2kπ2≤2x4≤2kπ＋2，k∈Zkπ－8≤x≤kπ8 π－ π＋8[2014· πφπ的圖像關(guān)于πωφ

，－2

<2＝若 3π＝

α2π，求

2

46

<3

＋2π，ω＝T＝2.πf(x)x＝3 23＋φ＝kπ＋2 2≤φ2φ＝－634(2)由(1)得?α＝ απ34

×2－6 －6 π6＜α30＜α62

4所以cosα－6 1－sin2α－6 1－4 4

＝sin

＋2 －6）＋6

α－6cos6＋cosα－6sin 3 15 ＝4×23＋

4 C3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)9．[2014·遼寧卷]

應(yīng)的函數(shù) A．在區(qū)間π7π

＋3 12，12B．在區(qū)間π7π12，12 ππ上單調(diào)遞－6，3 ππ上單調(diào)遞－6，33．[2014·卷]設(shè)a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，則( 、[2014·新課標(biāo)卷Ⅰ]如圖1-1，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上MOPxf(x)y＝f(x)在[0，π]上的圖像大致為()1- 14、[2014·新課標(biāo)卷Ⅱ]函數(shù)f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值為 17[2014· πφπ的圖像關(guān)于πωφ

，－2

<2＝若 3π＝

α2π，求

2

46

<3

＋2π，ω＝T＝2.πf(x)x＝3 23＋φ＝kπ＋2 2≤φ2φ＝－634(2)由(1)得?α＝ απ34

×2－6 －6 π6＜α30＜α62

4所以cosα－6 1－sin2α－6 1－4 4

＝sin

＋2 －6）＋6

α－6cos6＋cosα－6sin 3 15 ＝4×23＋

4 C4函數(shù)yAsin(x3．[2014·卷]為了得到函數(shù)y＝sin(2x＋1)的圖像，只需把函數(shù)y＝sin2x的圖像上 1 C1＋4 卷]＋4于y軸對稱，則φ的最小正值

πφ11.間ππ上具有單調(diào)性，且fπ＝f2π＝－fπ，則f(x)的最小正周期 6，2π

2

3

616]

0<α2

sinα＝

22

πsinα＝

cosα＝＝所以 2＝

0<α<21

2，所 21

2×2＋2(2)因?yàn)閒(x)＝sinxcos 1＋cos ＝2sin

＝2sin2x＋2cos ＝T＝2 ＝T＝2πππ4≤2kπ＋πkπ－π＋8

.

π－ π＋8方法二：f(x)＝sinxcos 1＋cos ＝2sin

＝2sin2x＋2cos ＝2sin2x＋4

2sin 20<α<2

＝4＝從而 2 ＝

3π ＝ ＋4 (2)T＝2

2kπ2≤2x4≤2kπ＋2，k∈Zkπ－8≤x≤kπ8 π－ π＋8、[2014·卷]若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4滿足 C．l1l4D．l1l4、[2014·卷]某 一天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿 f(t)＝10－ 17．解：(1)因?yàn)閒(t)＝10－2 π

2

12t＋3

π πt

3≤123<3

3當(dāng)t＝2時(shí) 12t＋3當(dāng)t＝14時(shí) 12t＋3故這一天的最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4 12＋3故有 12t＋3 37π π0≤t<246<12t3<6故在10時(shí)至18時(shí)需要降溫16()x)cθ)

πa＝2，θ＝4f(x)在區(qū)間[0，π]22

－2，216．解：(1)f(x)＝sinx＋π＋ 4 ＋2 2

2(sinx＋cosx)－2sinx＝2cosx－2sinx＝sin4

π

3π4

－4，42，(2)由2，

又 ππ，知cos－2，2 12 卷Ⅱ]設(shè)函數(shù)f(x)＝3sinm，若存

00[f(x0)]2＜m2，則m的取值范圍是( 16[2014·]f(x)的圖像過點(diǎn)π，3和點(diǎn) 3，－m，n因?yàn)閥＝f(x)的圖像過點(diǎn)π，3和點(diǎn) 3，－3＝msin6＋ncos6

3 3322＝m＋22 3 1m＝(2)由(1)f(x)＝3sin2x＋cos

.＋6.由題意知 ＋6y＝g(x)的圖像上符合題意的最高點(diǎn)為(x0，2)．由題意知，x2＋1＝1x＝0， 0<φ<πφ＝6

＋6＋2因此 π＝2cos＋2π2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Zkπ－2 ππ－2 —62．[2014·陜西卷]函數(shù) —6πA. B．πC．2π16[2014· 卷]

.＋4.若α是第二象限角 απcos2α，求cosα－sinα的值3 ＋416．解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為 π π

π，2 2＋2kπ≤3x42π π4＋3≤x≤12＋3

2kπ

－4

3，12＋3(2)由已知，得sinα ＋4 4sin

cos

π4cos

sin

π(cos2α－sin2cos4

sin4

cos4

sin4sinα＋cos

α－sinα)2(sinα＋cossinα＋cosα＝0αα＝4此時(shí)，cosα－sinα＝－sinα＋cosα≠0時(shí)，(cosα－sin

5＝－2由α是第二象限角，得cosα－sinα<0，此時(shí)cosα－sin＝－22綜上所述，cosα－sinα＝－ 2、 卷]已知函數(shù)f(x)＝cosx·sinx＋π－3cos2x＋

3 4 ππ上的最大值和最小值－4，4＋＋f(x)＝cos 3 － 3＋＋2sin 2cos 3 3＝2sinx·cosx－2cosx＋ 3 3＝4sin2x－4(1＋cos2x)＋ 3＝4sin2x－4cos ＝2sin2x－3f(x)T＝2

－4

－12，4

4

－4，f－12＝－2，f4 π 44上的最大值為44．[2014·浙江卷]為了得到函數(shù)y＝sin3x＋cos3x的圖像，可以將函數(shù)y＝2cos3x的 A4個(gè)單位B4 C．向右平移12個(gè)單位D．向左平移1217[2014·]

πφππωφ

，－2

<2＝若 3π＝

α2π，求

2

46

<3

＋2π，ω＝T＝2.πf(x)x＝3 23＋φ＝kπ＋2 2≤φ2φ＝－634(2)由(1)得?α＝ απ34

×2－6 －6 π6＜α30＜α62

4所以cosα－6 1－sin2α－6 1－4 4

＝sin

＋2 －6）＋6

α－6cos6＋cosα－6sin 3 15 ＝4×23＋

4 C5兩角和與差的正弦、余弦、正切、[2014·新課標(biāo)卷Ⅱ]函數(shù)f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值為 16a

＋＋

16A＝2B

sinA ＝2sinB

因?yàn)閎＝3，c＝1，所以a2＝12，即 (2)cos1

－3.因?yàn)?<A<π，所以sinA＝1－cos 1－9＝3 34－6 34－6故sinA＋4＝sinAcos4＋cosAsin4 ×2＋－3×2 7、[2014·卷]若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥ C．l1l4D．l1l4＝、 卷]已知函數(shù) ＝A

＋4

12 若

，2

4－17．[2014·卷]某一天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿足函 f(t)＝10－ 解：(1)因?yàn)閒(t)＝10－2 π

2

12t＋3

π πt

3≤123<3

3當(dāng)t＝2時(shí) 12t＋3當(dāng)t＝14時(shí) 12t＋3故這一天的最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4 12＋3故有 12t＋3 37π π0≤t<246<12t3<6故在10時(shí)至18時(shí)需要降溫17] (1)ac17．解：(1)由→·＝2c·a·cos 又cos a2＋c2＝b2＋2accosB，b＝3a2＋c2＝9＋2×2＝13.

解 或

2(2)在△ABC中，sinB＝ 1－3＝3由正弦定理，得sinC＝csin 4 ＝3· ＝9 9cos 9cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsin

＝3×9＋3

9A，tan 3sinAcosC＝2sinCcosA，3tanAcosC＝2sinC.因?yàn)閠an

cosC＝2sin所以tan tantanA＋tan＝tanAtan 卷Ⅰ]設(shè)

1＋sin 2

，2

＝cosβA．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝13[2014·卷]如圖1-3所示，從氣球A上測得正前方的河流的B，C的俯角分別為67°，30°，此時(shí)氣球的高度是46m，則河流的寬度BC約等于 舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)1-16[2014· 卷]

.＋4.若α是第二象限角 απcos2α，求cosα－sinα的值3 ＋416．解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為 π π

π，2 2＋2kπ≤3x42π π4＋3≤x≤12＋3

2kπ

－4

3，12＋3(2)由已知，得sinα ＋4 4sin

cos

π4cos

sin

π(cos2α－sin2cos4

sin4

cos4

sin4sinα＋cos

α－sinα)2(sinα＋cossinα＋cosα＝0αα＝4此時(shí)，cosα－sinα＝－sinα＋cosα≠0時(shí)，(cosα－sin

5＝－2由α是第二象限角，得cosα－sinα<0，此時(shí)cosα－sin＝－22綜上所述，cosα－sinα＝－ 2、 卷]已知函數(shù)f(x)＝cosx·sinx＋π－3cos2x＋

3 4 ππ上的最大值和最小值－4，4＋＋f(x)＝cos 3 － 3＋＋2sin 2cos 3 3＝2sinx·cosx－2cosx＋ 3 3＝4sin2x－4(1＋cos2x)＋ 3＝4sin2x－4cos ＝2sin2x－3f(x)T＝2

－4

－12，4

4

－4，f－12＝－2，f4 π 44上的最大值為410[2014·]

S1≤S≤2a，b，cA，B，C成立的是 B．a(chǎn)b(a＋b)>16 C6二倍角[2014·卷]直線l1和l2是圓x2＋y2＝2的兩條切線若l1與l2的交點(diǎn)為(1，3)，則l1與l2的夾角的正切值等于 4、 卷]若函數(shù)f(x)＝cos2x＋asinx在區(qū)間

πa范圍

6，216]

22(1)

0<α2

sin

22

2sin2

cos＝所以 2＝

0<α<21

2，所 21

2×2＋2(2)因?yàn)閒(x)＝sinxcos 1＋cos ＝2sin

＝2sin2x＋2cos ＝2sin2x＋4

T＝πππ4≤2kπ＋πkπ－π＋8

π－ π＋8方法二：f(x)＝sinxcos 1＋cos ＝2sin

＝2sin2x＋2cos ＝2sin2x＋4

2sin 20<α<2

＝4＝從而 2 ＝

3π ＝ ＋4 (2)T＝2

2kπ2≤2x4≤2kπ＋2，k∈Zkπ－8≤x≤kπ8 π－ π＋816[2014· 卷]

＋4..若α是第二象限角 απcos2α，求cosα－sinα的值3 ＋416．解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為 π π

π，2 2＋2kπ≤3x42π π4＋3≤x≤12＋3

2kπ

－4

3，12＋3(2)由已知，得sinα ＋4 4sin

cos

π4cos

sin

π(cos2α－sin2cos4

sin4

cos4

sin4sinα＋cos

α－sinα)2(sinα＋cossinα＋cosα＝0αα＝4此時(shí)，cosα－sinα＝－sinα＋cosα≠0時(shí)，(cosα－sin

5αcosα－sinα<0cosα－sinα＝－22綜上所述，cosα－sinα＝－ 2、 卷]已知函數(shù)f(x)＝cosx·sinx＋π－3cos2x＋

3 4 ππ上的最大值和最小值－4，4＋＋f(x)＝cos 3 － 3＋＋2sin 2cos 3 3＝2sinx·cosx－2cosx＋ 3 3＝4sin2x－4(1＋cos2x)＋ 3＝4sin2x－4cos ＝2sin2x－3f(x)T＝2

－4

－12，4

4

－4，f－12＝－2，f4 π 44上的最大值為4C7三角函數(shù)的求值、化簡與證明＝、 卷]已知函數(shù) ＝A

＋4

12 若

，2

4－、[2014·卷]某一天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似 f(t)＝10－ 解：(1)因?yàn)閒(t)＝10－2 π

2

12t＋3

π πt

3≤123<3

3當(dāng)t＝2時(shí) 12t＋3當(dāng)t＝14時(shí) 12t＋3故這一天的最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4 12＋3故有 12t＋3 37π π0≤t<246<12t3<6故在10時(shí)至18時(shí)需要降溫()＝snxθ)＋cos＋2θ)

πa＝2，θ＝4f(x)在區(qū)間[0，π]22

－2，216．解：(1)f(x)＝sinx＋π＋ 4 ＋2 2

(sinx＋cosx)－2sinx＝2cosx－2sinx＝sin4

π

3π4

－4，42，(2)由2，

又 ππ，知cos－2，2 16[2014· 卷]

＋4..若α是第二象限角 απcos2α，求cosα－sinα的值3 ＋416．解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為 π π

π，2 2＋2kπ≤3x42π π4＋3≤x≤12＋3

2kπ

－4

3，12＋3(2)由已知，得sinα ＋4 4sin

cos

π4cos

sin

π(cos2α－sin2cos4

sin4

cos4

sin4sinα＋cos

α－sinα)2(sinα＋cossinα＋cosα＝0αα＝4此時(shí)，cosα－sinα＝－sinα＋cosα≠0時(shí)，(cosα－sin

5＝－2由α是第二象限角，得cosα－sinα<0，此時(shí)cosα－sin＝－22綜上所述，cosα－sinα＝－ 2C8解三角形 卷]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知 a，2sinB＝3sinC，則cosA的值 16 ccos 16a

＋＋

解：(1)A＝2BsinA＝sin2B＝2sinBcoscos

sinA ＝2sinB

因?yàn)閎＝3，c＝1，所以a2＝12，即 (2)cos1

－3.因?yàn)?<A<π，所以sinA＝1－cos 1－9＝3

322224－6故sinA＋4＝sinAcos4＋cosAsin4 ×＋－3 322224－6π ] BD，AC1-解：(1)在△ADC中，因?yàn)閏os sin ＝7所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsin ＝7× 2＝14AB·sin

38×

sin ＝ 7

在△ABC

12．[2014·福建卷]在△ABC中 3]1-＝6求cos∠CAD＝6＝－14若 ＝－14

21

BC

27故由題設(shè)知，cos∠CAD＝ ＝77因?yàn)?2 7＝7

14sin∠CAD＝2 211－7＝7

72

3sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝ 1－14＝sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)

143 2

7

＝14

7－－14×＝2BC AC·sinBC＝sin∠CBA

7×721

sin

4．[2014·江西卷]在△ABCA，B，Ca，b，c.π＋6，C＝3，則△ABC的面積是 B.

332、[2014·遼寧卷]在△ABCA，B，Ca，b，ca>c.2 (1)ac17．解：(1)由→·＝2c·a·cos 又cos a2＋c2＝b2＋2accosB，b＝3a2＋c2＝9＋2×2＝13.

解 或

2(2)在△ABC中，sinB＝ 1－3＝3由正弦定理，得sinC＝csin 4 ＝3· ＝9 9a＝b＞cC為銳角， 9cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsin

7

＝3×9＋3

9A，tan 3sinAcosC＝2sinCcosA，3tanAcosC＝2sinC.因?yàn)閠an

cosC＝2sin1tantantanA＋tan＝tanAtan16．[2014·新課標(biāo)卷Ⅰ]已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊＝2，且(2＋b)·(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則△ABC面積的最大值 33

5 5

，[2014·山東卷]在△ABC中，已知→·→＝tanA，當(dāng)

ABC 1

＝6[2014·(1)a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA＋sin(2)a，b，ccosB的最小值．16．解：(1)∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b.sinA＋sinC＝2sinB.∵sin∴sinA＋sin(2)∵a，b，c

cos

a＝c∴cos

，[2014·卷]如圖1-3所示，從氣球A上測得正前方的河流的B，C的俯角分別為67°，30°，此時(shí)氣球的高度是46m，則河流的寬度BC約等于 舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)1-[浙江卷]在△ABCA，B，Ca，b，c.3，cos2A－cos2B＝3sinAcosA－3sinBcosC若sin

ABC

1＋cos 1＋cos 3

，即 —＝—

＝2sin

2sin

2sin2A－2cos2sin2B－2cos2B，sin2A－6＝sin2B－6 a≠bA≠BA＋B∈(0，π)2A6＋2B6 A＋B＝3C＝3(2)由c＝3，sin

a c ＝5，sin3

sin

所以，△ABCS＝2acsin

10[2014·]

S1≤S≤2a，b，cA，B，C成立的是 B．a(chǎn)b(a＋b)>16 ]sin

sin2A＋sin2B＝sin

2

sinAsinBsin AsinBsinC9單元綜合、[2014·新課標(biāo)卷Ⅱ]設(shè)點(diǎn)M(x0，1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點(diǎn)N，使 、[2014·卷]某一天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似 f(t)＝10－解：(1)因?yàn)閒(t)＝10－2 π

2

12t＋3

π πt

3≤123<3

3當(dāng)t＝2時(shí) 12t＋3當(dāng)t＝14時(shí) 12t＋3故這一天的最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4 12＋3故有 12t＋3 37π π0≤t<246<12t3<6故在10時(shí)至18時(shí)需要降溫]1-＝6求cos∠CAD＝6＝－14若 ＝－14

21

BC

27故由題設(shè)知，cos∠CAD＝ ＝77因?yàn)?2 7＝7

14sin∠CAD＝2 211－7＝7

72

3sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝ 1－14＝sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)

143 2

7