中考數(shù)學復習之線段和差最值之阿氏圓問題

中考數(shù)學復習線段和差最值系列之阿氏圓問題在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“kPA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．所謂“阿氏圓”，是指由古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯提出的圓的概念，在平面內(nèi)，到兩個定點距離之比等于定值（不為1）的點的集合叫做圓．如下圖，已知A、B兩點，點P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點P構(gòu)成的圖形為圓．下給出證明法一：首先了解兩個定理（1）角平分線定理：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，則．證明：，，即（2）外角平分線定理：如圖，在△ABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點D，則．證明：在BA延長線上取點E使得AE=AC，連接BD，則△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，則，即．接下來開始證明步驟：如圖，PA：PB=k，作∠APB的角平分線交AB于M點，根據(jù)角平分線定理，，故M點為定點，即∠APB的角平分線交AB于定點；作∠APB外角平分線交直線AB于N點，根據(jù)外角平分線定理，，故N點為定點，即∠APB外角平分線交直線AB于定點；又∠MPN=90°，定邊對定角，故P點軌跡是以MN為直徑的圓．法二：建系不妨將點A、B兩點置于x軸上且關(guān)于原點對稱，設A（-m，0），則B（m，0），設P（x，y），PA=kPB，即：解析式滿足圓的一般方程，故P點所構(gòu)成的圖形是圓，且圓心與AB共線．那么這個玩意和最值有什么關(guān)系呢？且來先看個例子：例：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以點C為圓心，2為半徑作圓C，分別交AC、BC于D、E兩點，點P是圓C上一個動點，則的最小值為__________．【分析】這個問題最大的難點在于轉(zhuǎn)化，此處P點軌跡是圓，故轉(zhuǎn)化方法與之前有所不同，如下，提供兩種思路．法一：構(gòu)造相似三角形注意到圓C半徑為2，CA=4，連接CP，構(gòu)造包含線段AP的△CPA，在CA邊上取點M使得CM=2，連接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=．問題轉(zhuǎn)化為PM+PB最小值，直接連BM即可．【問題剖析】（1）這里為什么是？答：因為圓C半徑為2，CA=4，比值是1:2，所以構(gòu)造的是，也只能構(gòu)造．（2）如果問題設計為PA+kPB最小值，k應為多少？答：根據(jù)圓C半徑與CB之比為2:3，k應為．【小結(jié)】此類問題都是構(gòu)造好的圖形搭配恰當?shù)谋壤瑯?gòu)造相似轉(zhuǎn)化線段即可解決．法二：阿氏圓模型對比一下這個題目的條件，P點軌跡是圓，A是定點，我們需要找出另一個定點M使得PM:PA=1:2，這不就是把“阿氏圓”的條件與結(jié)論互換了一下嘛！而且這種問題里，給定的圓的位置、定點A的位置、線段的比例等，往往都是搭配好的！P點軌跡圓的圓心C點和A點在直線AC上，故所求M點在AC邊上，考慮到PM：PA=1:2，不妨讓P點與D點重合，此時DM==1，即可確定M點位置．如果對這個結(jié)果不是很放心，不妨再取個特殊的位置檢驗一下，如下圖，此時PM=3，PA=6，亦滿足PM:PA=1:2．【小結(jié)】法二其實是開了上帝視角，在已知其是阿氏圓的前提下，通過特殊點找出所求M點位置，雖不夠嚴謹，卻很實用．練習題1.如圖，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D．連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是．2.如圖，已知正方ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．3.如圖，已知菱形ABCD的邊長為8，∠B＝60°，圓B的半徑為4，點P是圓B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為．4.如圖，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，則△ABC面積的最大值為．5.如圖所示，∠ACB＝60°，半徑為2的圓O內(nèi)切于∠ACB．P為圓O上一動點，過點P作PM、PN分別垂直于∠ACB的兩邊，垂足為M、N，則PM+2PN的取值范圍為．6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點，且DE＝4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為．7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以點C為圓心，3為半徑做⊙C，分別交AC，BC于D，E兩點，點P是⊙C上一個動點，則PA+PB的最小值為．8．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC的中點，以B為圓心，BE為半徑作⊙B，點P是⊙B上一動點，連接PD、PC，則PD+PC的最小值為．9．如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中點，D是OB上一點，OD＝5，P是弧AB上一動點，則PC+PD的最小值為．10．如圖所示的平面直角坐標系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限內(nèi)一動點，OP＝2，連接AP、BP，則BP+AP的最小值是．11．如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓O，P為圓O上一動點，則PA+PB的最小值為．12.如圖，P為菱形ABCD內(nèi)一點，且P到A、B兩點的距離相等，若∠C＝60°，CD＝4，則PB+PD的最小值為．13．如圖，在⊙O中，點A、點B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，點C在OA上，且OC＝2AC，點D是OB的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過A、B兩點，OA=1，OB=5，拋物線與y軸交于點C，點C的縱坐標與點B的橫坐標相同，拋物線的頂點為D.拋物線的解析式為_________________，頂點D的坐標為__________.如圖，已知⊙A的半徑為2，點M是⊙A上一動點，連接CM、MB，則CM+BM是否存在最小值？若存在，說明在何處取得最小值；若不存在，請說明理由.參考答案1.122.53.2