2017高考數(shù)學(xué) 三角函數(shù)大題綜合訓(xùn)練

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三角函數(shù)大題綜合訓(xùn)練

一．解答題（共30小題）

1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分不為a，b，c，已知=

（1）求角C的大小，

（2）若c=2，求使△ABC面積最大時a，b的值．

2．（2016?廣州模擬）在△ABC中，角A、B、C對應(yīng)的邊分不是a、b、c，已知

3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．

（I）求角A的大??；

（Ⅱ）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值．

3．（2016?成都模擬）已知函數(shù)f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）取得最大值時x的集合；

（Ⅱ）設(shè)A、B、C為銳角三角形ABC的三個內(nèi)角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．

4．（2016?臺州模擬）已知a，b，c分不是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，且c2=a2+b2﹣ab．

（1）求角C的值；

（2）若b=2，△ABC的面積，求a的值．

5．（2016?惠州模擬）如圖所示，在四邊形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．

（Ⅰ）求△ACD的面積；

（Ⅱ）若BC=2，求AB的長．

6．（2015?山東）△ABC中，角A，B，C所對的邊分不為a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．

7．（2015?新課標(biāo)I）已知a，b，c分不是△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）設(shè)B=90°，且a=，求△ABC的面積．

8．（2015?湖南）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分不為a，b，c，a=btanA．

（Ⅰ）證明：sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B為鈍角，求A，B，C．

9．（2015?新課標(biāo)II）△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．

（1）求；

（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的長．

10．（2015?湖南）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分不為a、b、c，a=btanA，且B為鈍角．

（Ⅰ）證明：B﹣A=；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范圍．

11．（2015?四川）已知A、B、C為△ABC的內(nèi)角，tanA，tanB是對于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）兩個實根．

（Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

12．（2015?河西區(qū)二模）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的內(nèi)角對邊分不為a，b，c，滿腳（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．

（Ⅰ）求B．

（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．

13．（2015?浙江）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分不為a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．

（1）求tanC的值；

（2）若△ABC的面積為3，求b的值．

14．（2015?陜西）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分不為a，b，c．向量=（a，b）與=（cosA，sinB）平行．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面積．

15．（2015?江蘇）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．

（1）求BC的長；

（2）求sin2C的值．

16．（2015?天津）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分不為a，b，c，已知△ABC的面積為3，b﹣c=2，cosA=﹣．

（Ⅰ）求a和sinC的值；

（Ⅱ）求cos（2A+）的值．

17．（2015?懷化一模）已知a，b，c分不為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，c=asinC﹣ccosA．

（1）求角A；

（2）若a=2，△ABC的面積為，求b，c．

18．（2015?甘肅一模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分不為a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．

（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）若，且，求a和c的值．

19．（2015?衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分不為a，b，c，函數(shù)f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=處取得最大值．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)f（x）的值域；

（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面積．

20．（2015?濰坊模擬）已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．

（Ⅰ）當(dāng)x∈[0，]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分不為a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=

（1，sinA）與向量=（2，sinB）共線，求a，b的值．

21．（2015?濟(jì)南二模）已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），

函數(shù)f（x）=．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分不為a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面積S．

22．（2015?和平區(qū)校級三模）在△ABC中，角A、B、C的對邊分不為a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．

（1）求cosB的值；

（2）求sin2A+sinC的值．

23．（2015?洛陽三模）在銳角△ABC中，=

（1）求角A；

（2）若a=，求bc的取值范圍．

24．（2015?河北區(qū)一模）在△ABC中，a，b，c分不是角A，B，C的對邊，且

2cosAcosC+1=2sinAsinC．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若，，求△ABC的面積．

25．（2015?云南一模）在△ABC中，a，b，c分不是內(nèi)角A，B，C的對邊，且=（sinA+sinB+sinC，

sinC），=（sinB，sinB+sinC﹣sinA），若

（1）求A的大?。?/p>

（2）設(shè)為△ABC的面積，求的最大值及此刻B的值．26．（2015?歷下區(qū)校級四模）已知向量，，

若．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊分不為a、b、c，且a=3，

（A為銳角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．

27．（2015?高安市校級模擬）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分不為a、b、c，已知sin（A+）+2cos（B+C）=0，

（1）求A的大小；

（2）若a=6，求b+c的取值范圍．

28．（2015?威海一模）△ABC中，A，B，C所對的邊分不為a，b，c，，

sin（B﹣A）=cosC．

（Ⅰ）求A，B，C；

（Ⅱ）若S△ABC=3+，求a，c．

29．（2015?新津縣校級模擬）已知向量

，函數(shù)f（x）=．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分不為a，b，c，若f（B）=1，b=，sinA=3sinC，求△ABC的面積．

30．（2015?和平區(qū)二模）在△ABC中，角A，B，C為三個內(nèi)角，已知cosA=，cosB=，

BC=5．

（Ⅰ）求AC的長；

（Ⅱ）設(shè)D為AB的中點，求CD的長．

三角函數(shù)大題綜合訓(xùn)練

參考答案與試題解析

一．解答題（共30小題）

1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分不為a，b，c，已知=

（1）求角C的大小，

（2）若c=2，求使△ABC面積最大時a，b的值．

【考點】正弦定理；余弦定理．

【專題】解三角形．

【分析】（1）已知等式左邊利用正弦定理化簡，右邊利用誘導(dǎo)公式變形，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，依照sinA別為0求出cosC的值，即可確定出C

的度數(shù)；

（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將c與cosC的值代入并利用基本別等式求出ab的最大值，進(jìn)而確定出三角形ABC面積的最大值，以及此刻a與b的值即可．

【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，

∴由正弦定理化簡已知等式得：=，

整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，

∵sinA≠0，

∴cosC=﹣，

∵C為三角形內(nèi)角，

∴C=；

（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，

∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，

∴ab≤，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時成立），

∵S=absinC=ab≤，

∴當(dāng)a=b時，△ABC面積最大為，此刻a=b=，

則當(dāng)a=b=時，△ABC的面積最大為．

【點評】此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及基本別等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．

2．（2016?廣州模擬）在△ABC中，角A、B、C對應(yīng)的邊分不是a、b、c，已知

3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值．

【考點】正弦定理；余弦定理．

【專題】解三角形．

【分析】（I）利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡

3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得到cosA的值，即可求解A．

（II）經(jīng)過三角形的面積求出b、c的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可．

【解答】解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得

2cos2A+3cosA﹣2=0，﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0．

解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

因為0＜A＜π，因此A=．﹣﹣﹣﹣（6分）

（II）由S=bcsinA=bc?=bc=5，得bc=20．

又b=5，因此c=4．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故a=．﹣﹣﹣（10分）

又由正弦定理，得sinBsinC=sinA?sinA=?sin2A=×=．﹣﹣﹣﹣（12分）

【點評】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．

3．（2016?成都模擬）已知函數(shù)f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）取得最大值時x的集合；

（Ⅱ）設(shè)A、B、C為銳角三角形ABC的三個內(nèi)角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的

值．

【考點】正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形．

【分析】（Ⅰ）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的值域求得函數(shù)f（x）取得最大值時x的集合．

（Ⅱ）由條件求得cos（2C+）=﹣，C=，求出sinB的值，再依照sinA=sin（B+C）求得它的值．

【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sinxcosx+（cos2x﹣sin2x）

=﹣sin2x+cos2x=+cos（2x+），

故函數(shù)取得最大值為，此刻，2x+=2kπ時，即x的集合為{x|x=kπ﹣，k∈Z}．

（Ⅱ）設(shè)A、B、C為銳角三角形ABC的三個內(nèi)角，若cosB=，f（C）=+cos（2C+）=﹣，

∴cos（2C+）=﹣，又A、B、C為銳角三角形ABC的三個內(nèi)角，∴2C+=，∴C=．∵cosB=，∴sinB=，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．

【點評】本題要緊考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的值域，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題．

4．（2016?臺州模擬）已知a，b，c分不是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，且c2=a2+b2﹣ab．

（1）求角C的值；

（2）若b=2，△ABC的面積，求a的值．

【考點】余弦定理；三角形的面積公式．

【專題】解三角形．

【分析】（1）利用余弦定理，可求角C的值；

（2）利用三角形的面積公式，可求a的值．

【解答】解：（1）∵c2=a2+b2﹣ab，∴cosC==，

∵0°＜C＜180°，∴C=60°；

（2）∵b=2，△ABC的面積，

∴=，

解得a=3．

【點評】本題考查余弦定理的運用，考查三角形面積的計算，正確運用公式是關(guān)鍵．

5．（2016?惠州模擬）如圖所示，在四邊形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．

（Ⅰ）求△ACD的面積；

（Ⅱ）若BC=2，求AB的長．

【考點】余弦定理的應(yīng)用；正弦定理．

【專題】解三角形．

【分析】（Ⅰ）利用已知條件求出D角的正弦函數(shù)值，然后求△ACD的面積；

（Ⅱ）利用余弦定理求出AC，經(jīng)過BC=2，利用正弦定理求解AB的長．

【解答】（共13分）

解：（Ⅰ）因為∠D=2∠B，，

因此．…（3分）

因為∠D∈（0，π），

因此．…（5分）

因為AD=1，CD=3，

因此△ACD的面積．…（7分）

（Ⅱ）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD?DC?cosD=12．

因此．…（9分）

因為，，…（11分）

因此．

因此AB=4．…（13分）

【點評】本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，基本知識的考查．

6．（2015?山東）△ABC中，角A，B，C所對的邊分不為a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．

【考點】正弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)．

【專題】解三角形．

【分析】①利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式以及基本關(guān)系式，解方程可得；

②利用正弦定明白之．

【解答】解：①因為△ABC中，角A，B，C所對的邊分不為a，b，c已知cosB=，

sin（A+B）=，ac=2，因此sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，

因此sinA+cosA=，結(jié)合平方關(guān)系sin2A+cos2A=1，

得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，

解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；

②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，

因此a=2c，又ac=2，因此c=1．

【點評】本題考查了利用三角函數(shù)知識解三角形，用到了兩角和與差的正弦函數(shù)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、正弦定理等知識．

7．（2015?新課標(biāo)I）已知a，b，c分不是△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）設(shè)B=90°，且a=，求△ABC的面積．

【考點】正弦定理；余弦定理．

【專題】解三角形．

【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面積計算公式即可得出．

【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，

由正弦定理可得：＞0，

代入可得（bk）2=2ak?ck，

∴b2=2ac，

∵a=b，∴a=2c，

由余弦定理可得：cosB===．

（II）由（I）可得：b2=2ac，

∵B=90°，且a=，

∴a2+c2=2ac，解得a=c=．

∴S△ABC==1．

【點評】本題考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

8．（2015?湖南）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分不為a，b，c，a=btanA．

（Ⅰ）證明：sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B為