（全國通用）2023屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十二章概率、隨機變量及其分布12.1隨機事件的概率學(xué)案

PAGEPAGE1§12.1隨機事件的概率最新考綱考情考向分析1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別．2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.以考查隨機事件、互斥事件與對立事件的概率為主，常與事件的頻率交匯考查．本節(jié)內(nèi)容在高考中三種題型都有可能出現(xiàn)，隨機事件的頻率與概率的題目往往以解答題的形式出現(xiàn)，互斥事件、對立事件的概念及概率常常以選擇、填空題的形式出現(xiàn).1．概率和頻率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對于給定的隨機事件A，在相同條件下，隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個常數(shù)來刻畫隨機事件A發(fā)生的可能性的大小，并把這個常數(shù)稱為隨機事件A的概率，記作P(A)．2．事件的關(guān)系與運算定義符號表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，那么事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系假設(shè)B?A且A?BA＝B并事件(和事件)假設(shè)某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)假設(shè)某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，那么稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件假設(shè)A∩B為不可能事件(A∩B＝?)，那么稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件假設(shè)A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?，P(A)＋P(B)＝13.概率的幾個根本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對立事件的概率假設(shè)事件A與事件B互為對立事件，那么P(A)＝1－P(B)．知識拓展互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系互斥事件與對立事件都是兩個事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件．題組一思考辨析1．判斷以下結(jié)論是否正確(請在括號中打“√〞或“×〞)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(×)(2)隨機事件和隨機試驗是一回事．(×)(3)在大量重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(√)(4)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生．(×)(5)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．(√)(6)兩互斥事件的概率和為1.(×)題組二教材改編2．[P121T5]一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶〞的對立事件是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶答案D解析“至少有一次中靶〞的對立事件是“兩次都不中靶〞．3．[P82B組T1]有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在[27.5,43.5]內(nèi)的概率約是________．答案eq\f(1,2)解析由條件可知，落在[27.5,43.5]內(nèi)的數(shù)據(jù)有11＋12＋7＋3＝33(個)，故所求概率約是eq\f(33,66)＝eq\f(1,2).題組三易錯自糾4．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次〞是()A．必然事件 B．隨機事件C．不可能事件 D．無法確定答案B解析拋擲10次硬幣正面向上的次數(shù)可能為0～10，都有可能發(fā)生，正面向上5次是隨機事件．5．(2022·洛陽統(tǒng)考)安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至周六的公益活動，每天只需一人參加，其中甲參加三天活動，乙、丙、丁每人參加一天，那么甲連續(xù)三天參加活動的概率為()A.eq\f(1,15) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)答案B解析由題意可得，甲連續(xù)三天參加活動的所有情況為：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四種情況，∴所求概率P＝eq\f(4·A\o\al(3,3),C\o\al(3,6)·A\o\al(3,3))＝eq\f(1,5).應(yīng)選B.6．(2022·濟南模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，那么事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品〞的概率為______．答案0.35解析∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品〞的概率為P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.題型一事件關(guān)系的判斷1．從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取2個球，以下給出了四組事件：①至少有1個白球與至少有1個黃球；②至少有1個黃球與都是黃球；③恰有1個白球與恰有1個黃球；④恰有1個白球與都是黃球．其中互斥而不對立的事件共有()A．0組B．1組C．2組D．3組答案B解析①中“至少有1個白球〞與“至少有1個黃球〞可以同時發(fā)生，如恰好1個白球和1個黃球，故兩個事件不是互斥事件；②中“至少有1個黃球〞說明可以是1個白球和1個黃球或2個黃球，故兩個事件不互斥；③中“恰有1個白球〞與“恰有1個黃球〞都是指有1個白球和1個黃球，故兩個事件是同一事件；④中兩事件不能同時發(fā)生，也可能都不發(fā)生，因此兩事件是互斥事件，但不是對立事件，應(yīng)選B.2．在5張卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，假設(shè)事件“2張全是移動卡〞的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡答案A解析至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡〞，“兩張全是聯(lián)通卡〞兩個事件，它是“2張全是移動卡〞的對立事件．3．口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出兩個球，事件A＝“取出的兩個球同色〞，B＝“取出的兩個球中至少有一個黃球〞，C＝“取出的兩個球中至少有一個白球〞，D＝“取出的兩個球不同色〞，E＝“取出的兩個球中至多有一個白球〞．以下判斷中正確的序號為____________．①A與D為對立事件；②B與C是互斥事件；③C與E是對立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．答案①解析當(dāng)取出的兩個球中一黃一白時，B與C都發(fā)生，②不正確；當(dāng)取出的兩個球中恰有一個白球時，事件C與E都發(fā)生，③不正確；顯然A與D是對立事件，①正確；C∪E不一定為必然事件，P(C∪E)≤1，④不正確；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正確．思維升華(1)準(zhǔn)確把握互斥事件與對立事件的概念①互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但可以同時不發(fā)生．②對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生．(2)判斷互斥、對立事件的方法判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件假設(shè)有且僅有一個發(fā)生，那么這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．題型二隨機事件的頻率與概率典例(2022·全國Ⅲ)某超市方案按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨本錢每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購方案，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，假設(shè)最高氣溫不低于25，那么Y＝6×450－4×450＝900；假設(shè)最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，那么Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；假設(shè)最高氣溫低于20，那么Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的所有可能值為900,300，－100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.因此Y大于零的概率的估計值為0.8.思維升華(1)概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值．(2)隨機事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率．跟蹤訓(xùn)練(2022·沈陽模擬)某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購置甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√〞表示購置，“×〞表示未購置.商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估計顧客同時購置乙和丙的概率；(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購置3種商品的概率；(3)如果顧客購置了甲，那么該顧客同時購置乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？解(1)從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時購置了乙和丙，所以顧客同時購置乙和丙的概率可以估計為eq\f(200,1000)＝0.2.(2)從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時購置了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購置了甲、乙、丙，其他顧客最多購置了2種商品．所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購置3種商品的概率可以估計為eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)與(1)同理，可得顧客同時購置甲和乙的概率可以估計為eq\f(200,1000)＝0.2，顧客同時購置甲和丙的概率可以估計為eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顧客同時購置甲和丁的概率可以估計為eq\f(100,1000)＝0.1.所以，如果顧客購置了甲，那么該顧客同時購置丙的可能性最大．題型三互斥、對立事件的概率命題點1互斥事件的概率典例(2022·北京改編)A，B，C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了局部學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)試估計C班的學(xué)生人數(shù)；(2)從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機選取1人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙．假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相互獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率．解(1)由題意及分層抽樣可知，C班學(xué)生人數(shù)約為100×eq\f(8,5＋7＋8)＝100×eq\f(8,20)＝40.(2)設(shè)事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人〞，i＝1,2，…，5，事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人〞，j＝1,2，…，8.由題意可知P(Ai)＝eq\f(1,5)，i＝1,2，…，5；P(Cj)＝eq\f(1,8)，j＝1,2，…，8.P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,8)＝eq\f(1,40)，i＝1,2，…，5，j＝1，2，…，8.設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長〞，由題意知，E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×eq\命題點2對立事件的概率典例一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．解方法一(利用互斥事件求概率)記事件A1＝{任取1球為紅球}，A2＝{任取1球為黑球}，A3＝{任取1球為白球}，A4＝{任取1球為綠球}，那么P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(A4)＝eq\f(1,12).根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球是紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).方法二(利用對立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4，所以取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4).(2)因為A1∪A2∪A3的對立事件為A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).思維升華求復(fù)雜事件的概率的兩種方法求概率的關(guān)鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的，求解時通常有兩種方法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．(2)假設(shè)將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難那么反〞．它常用來求“至少〞或“至多〞型事件的概率．跟蹤訓(xùn)練某保險公司利用簡單隨機抽樣方法對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)假設(shè)每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．解(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元〞，B表示事件“賠付金額為4000元〞，以頻率估計概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是賠付金額為3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元〞，由，可得樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計概率得P(C)＝0.24.用正難那么反思想求對立事件的概率典例(12分)某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)11.522.53這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)思想方法指導(dǎo)假設(shè)某一事件包含的根本領(lǐng)件多，而它的對立事件包含的根本領(lǐng)件少，那么可用“正難那么反〞思想求解．標(biāo)準(zhǔn)解答解(1)由得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.[2分]該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．[6分](2)記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘〞，A1，A2分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2.5分鐘〞，“該顧客一次購物的結(jié)算時間為3分鐘〞，將頻率視為概率，得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).[9分]P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).[11分]故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為eq\f(7,10).[12分]1．有一個游戲，其規(guī)那么是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每人一個方向．事件“甲向南〞與事件“乙向南〞是()A．互斥但非對立事件 B．對立事件C．相互獨立事件 D．以上都不對答案A解析由于每人一個方向，故“甲向南〞意味著“乙向南〞是不可能的，故是互斥事件，但不是對立事件．2．4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，那么周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為()A.eq\f(1,8)B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8)D.eq\f(7,8)答案D解析4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動的情況有24＝16(種)，其中僅在周六(周日)參加的各有1種，∴所求概率為1－eq\f(1＋1,16)＝eq\f(7,8).3．(2022·唐山模擬)兩個工人每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，那么這兩個零件中恰有一個一等品的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)答案B解析記兩個零件中恰好有一個一等品的事件為A，那么P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12)，應(yīng)選B.4．(2022·湖南衡陽八中、長郡中學(xué)等十三校二模)同學(xué)聚會上，某同學(xué)從?愛你一萬年?、?十年?、?父親?、?單身情歌?四首歌中選出兩首歌進行表演，那么?愛你一萬年?未被選取的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案B解析分別記?愛你一萬年?、?十年?、?父親?、?單身情歌?為A1，A2，A3，A4，從這四首歌中選出兩首歌進行表演的所有可能的結(jié)果為A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，共6個，其中A1未被選取的結(jié)果有3個，所以所求概率P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).應(yīng)選B.5．以下命題：①將一枚硬幣拋兩次，設(shè)事件M：“兩次出現(xiàn)正面〞，事件N：“只有一次出現(xiàn)反面〞，那么事件M與N互為對立事件；②假設(shè)事件A與B互為對立事件，那么事件A與B為互斥事件；③假設(shè)事件A與B為互斥事件，那么事件A與B互為對立事件；④假設(shè)事件A與B互為對立事件，那么事件A∪B為必然事件．其中的真命題是()A．①②④ B．②④C．③④ D．①②答案B解析對于①，一枚硬幣拋兩次，共出現(xiàn){正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四種結(jié)果，那么事件M與N是互斥事件，但不是對立事件，故①錯；對于②，對立事件首先是互斥事件，故②正確；對于③，互斥事件不一定是對立事件，如①中的兩個事件，故③錯；對于④，事件A，B為對立事件，那么在這一次試驗中A，B一定有一個要發(fā)生，故④正確．故B正確．6．?dāng)S一個骰子的試驗，事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點〞，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點〞，假設(shè)eq\x\to(B)表示B的對立事件，那么一次試驗中，事件A＋eq\x\to(B)發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案C解析擲一個骰子的試驗有6種可能的結(jié)果．依題意知P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，∵eq\x\to(B)表示“出現(xiàn)5點或6點〞，因此事件A與eq\x\to(B)互斥，從而P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).7．(2022·武漢模擬)某運發(fā)動每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運發(fā)動三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計，該運發(fā)動三次投籃恰有兩次命中的概率為________．答案0.25解析20組隨機數(shù)中表示三次投籃恰好有兩次命中的是191,271,932,812,393，其頻率為eq\f(5,20)＝0.25，以此估計該運發(fā)動三次投籃恰有兩次命中的概率為0.25.8．假設(shè)隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，那么實數(shù)a答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))解析由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1，,0<PB<1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<4a－5<1，,3a－3≤1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<a<2，,\f(5,4)<a<\f(3,2)，,a≤\f(4,3)，))所以eq\f(5,4)<a≤eq\f(4,3).9．甲、乙兩人玩數(shù)字游戲，先由甲任想一數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛剛想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)字記為b，且a，b∈{1,2,3}，假設(shè)|a－b|≤1，那么稱甲、乙“心有靈犀〞．現(xiàn)任意找兩個人玩這個游戲，那么他們“心有靈犀〞的概率為______．答案eq\f(7,9)解析甲想一數(shù)字有3種結(jié)果，乙猜一數(shù)字有3種結(jié)果，根本領(lǐng)件總數(shù)為3×3＝9.設(shè)甲、乙“心有靈犀〞為事件A，那么A的對立事件B為“|a－b|>1”，即|a－b|＝2包含2個根本領(lǐng)件，∴P(B)＝eq\f(2,9)，∴P(A)＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).10．經(jīng)統(tǒng)計，在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點鐘排隊等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表：排隊人數(shù)01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04那么該營業(yè)窗口上午9點鐘時，至少有2人排隊的概率是________．答案0.74解析由表格可得至少有2人排隊的概率P＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.11．(2022·深圳模擬)有編號為1,2,3的三個白球，編號為4,5,6的三個黑球，這六個球除編號和顏色外完全相同，現(xiàn)從中任意取出兩個球．(1)求取出的兩個球顏色相同的概率；(2)求取出的兩個球顏色不相同的概率．解從六個球中取出兩個球的根本領(lǐng)件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15個．(1)記事件A為“取出的兩個球是白球〞，那么這個事件包含的根本領(lǐng)件有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3個，故P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)；記“取出的兩個球是黑球〞為事件B，同理可得P(B)＝eq\f(1,5).記事件C為“取出的兩個球的顏色相同〞，A，B互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(2,5).(2)記事件D為“取出的兩個球的顏色不相同〞，那么事件C，D對立，根據(jù)對立事件概率之間的關(guān)系，得P(D)＝1－P(C)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).12．某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．解(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事件A，B，C的概率分別為eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設(shè)“1張獎券中獎〞這個事件為M，那么M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎券的中獎概率為eq\f(61,1000).(3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎〞為事件N，那么事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎〞為對立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).13．某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39,32,33個成員，一些成員參加了不止一個小組，具體情況如下圖．現(xiàn)隨機選取一個成員，他屬于至少2個小組的概率是________，他屬于不超過2個小組的概率是________．答案eq\f(3,5)eq\f(13,15)解析“至少2個小組〞包含“2個小組〞和“3個小組〞兩種情況，故他屬于至少2個小組的概率為P＝eq\f(11＋10＋7＋8,6＋7＋8＋8＋10＋10＋11)＝eq\f(3,5).“不超過2個小組〞包含“1個小組〞和“2個小組〞，其對立事件是“3個小組〞．故他屬于不超過2個小組的概率是P＝1－eq\f(8,6＋7＋8＋8＋10＋10＋11)＝eq\f(13,15).14．袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為eq\f(1,7).現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有1人取到白球時終止．每個球在每一次被取出的時機是等可能的．(1)求袋中原有白球的個數(shù)；(2)求取球2次即終止的概率；(3)求甲取到白球的概率．解(1)設(shè)袋中原有n個白球，從袋中任取2個球都是白球有Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(nn－1,2)(種)結(jié)果，從袋中任取2個球共有Ceq\o\al(2,7)＝21(種)結(jié)果．由題意知eq\f(1,7)＝eq\f(\f(nn－1,2),21)＝eq\f(nn－1,42)，所以n(n－1)＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3個白球．(2)記“取球2次即終止〞為事件A