2021-2022學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、填空題1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______.【答案】【分析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求解出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：.2．直線的傾斜角的取值范圍是_______.【答案】【分析】根據(jù)直線斜率，可知，結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】由知：直線斜率，設(shè)直線傾斜角為，則，又，.故答案為：.3．圓的過點(diǎn)的切線方程為_____________.【答案】【分析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以過點(diǎn)的切線和(圓心)垂直，求出斜率，用點(diǎn)斜式求出方程.【詳解】根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑，點(diǎn)在圓上,則,則切線的斜率,則切線的方程為,變形可得;故答案為:4．若雙曲線(，)的漸近線方程為，則雙曲線的離心率______．【答案】【分析】由題知，再根據(jù)離心率公式求解即可.【詳解】解：雙曲線(，)的漸近線方程為，所以，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且所以，雙曲線的離心率．故答案為：5．已知點(diǎn)，則點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是__．【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱的幾何性質(zhì)列出方程組，即可求得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，，故點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：6．已知直線，，，若它們不能圍成三角形，則的取值所構(gòu)成的集合為______【答案】【詳解】通過三條直線兩兩平行或重合，以及三條線經(jīng)過同一點(diǎn)計(jì)算的取值即可.【點(diǎn)睛】當(dāng)與平行或重合時(shí)，，當(dāng)與平行或重合時(shí)，，得，當(dāng)與平行或重合時(shí)，，此時(shí)無解；當(dāng)三條線經(jīng)過同一點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立得，將代入得，解得故的取值所構(gòu)成的集合為故答案為：7．方程表示的曲線可能為__（填序號(hào)）①兩條直線；②圓；③橢圓；④雙曲線【答案】①③④【分析】根據(jù)，討論取不同范圍內(nèi)的值時(shí)，方程表示的曲線類型，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，即，方程表示橢圓；當(dāng)時(shí)，即，方程表示雙曲線；當(dāng)時(shí)，，方程表示兩條直線，由于，故不可能表示圓，故答案為：①③④．8．已知是橢圓上的一點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的面積是______.【答案】【分析】利用橢圓的定義、余弦定理求出的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】在橢圓中，，，，由橢圓的定義可得，，在中，，由余弦定理可得，解得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知、是短軸長(zhǎng)為的橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積為.9．帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，則共有__種不同放法．【答案】【分析】先選出2個(gè)球，分成4組，再放進(jìn)4個(gè)盒子即可.【詳解】五個(gè)不同的球，放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種不同的放法．故答案為：240.10．若、是拋物線上的不同兩點(diǎn)，弦（不平行于軸）的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)，則弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為___________.【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再求出弦AB的垂直平分線的方程，將代入計(jì)算作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、，則，，兩式相減得，因，即有，設(shè)直線的斜率是，弦的中點(diǎn)是，則，從而的垂直平分線的方程為，又點(diǎn)在直線上，所以，而，解得，弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.故答案為：211．3個(gè)男生和3個(gè)女生排成一排，要求男生互不相鄰，女生不全相鄰，則不同的排列方法有___________種.【答案】144【分析】考慮三男三女均不相鄰，與3男不相鄰且3女中有2女相鄰兩種情況，進(jìn)而根據(jù)排列組合方法求得答案.【詳解】若3男3女均不相鄰，則先排男生，出現(xiàn)4個(gè)空位，進(jìn)而將女生排入前3個(gè)或后3個(gè)空位，有種情況；若3男不相鄰，3女中有2女相鄰，出現(xiàn)4個(gè)空位，進(jìn)而將女生排入中間2個(gè)空位，有種情況.所以，一共有144種情況.故答案為：144.12．若實(shí)數(shù)，滿足，且的最大值為，則實(shí)數(shù)的值是______.【答案】【分析】根據(jù)象限取絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)的幾何意義，然后數(shù)形結(jié)合可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線為橢圓在第一象限的圖象，當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線在第四象限的圖象，當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線在第二象限的圖象，當(dāng)時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)解.因?yàn)橹本€是雙曲線和的漸近線，令，則表示曲線上的點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以的最大值為由圖知，曲線上到直線距離最大的點(diǎn)在橢圓上，設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式得因?yàn)?，所以要想有最大值，直線需向上平移，使得平移后的直線與直線的距離為，即直線與直線的距離為，所以，解得，故答案為：二、單選題13．圓上有5個(gè)點(diǎn)，過每3個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，則一共可以畫的三角形個(gè)數(shù)為（

）A．10 B．15 C．30 D．60【答案】A【分析】利用組合知識(shí)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】圓上有5個(gè)點(diǎn)，過每3個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，屬于組合問題，故一共可以畫的三角形個(gè)數(shù)為.故選：A14．命題p：直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1；命題q：動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】求出平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，結(jié)合充分、必要條件的定義判定得答案．【詳解】解：p：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1.當(dāng)命題成立時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,兩邊平方并整理得.當(dāng)時(shí)，,兩邊平方并整理得則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為或；q：動(dòng)點(diǎn)滿足方程，可知p不能推出q，q能夠推出p，則p是q的必要不充分條件．故選：B．15．已知，設(shè)直線，其中，給出下列結(jié)論：①直線的方向向量與向量共線；②若，則直線與直線的夾角為；③直線與直線一定平行；上述結(jié)論是真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】對(duì)①，寫出方向向量，由向量共線與坐標(biāo)的關(guān)系即可判斷；對(duì)②，由斜率及傾斜角的關(guān)系求得兩直線傾斜角，即可求得夾角；對(duì)③，兩直線平行需進(jìn)一步判斷是否存在重合.【詳解】對(duì)于①，直線的方向向量是，它與向量共線，是真命題；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，直線的斜率是，傾斜角是，直線的斜率是1，傾斜角是，兩直線的夾角為，是真命題；對(duì)于③，直線的斜率是，在軸上的截距是，直線的斜率是，且在軸上的截距是，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不平行，是假命題.綜上，真命題的序號(hào)是①②.故選：B．16．一個(gè)平面斜截一個(gè)足夠高的圓柱，與圓柱側(cè)面相交的圖形為橢圓.若圓柱底面圓半徑為，平面與圓柱底面所成的銳二面角大小為，則下列對(duì)橢圓的描述中，錯(cuò)誤的是（

）A．短軸為，且與大小無關(guān) B．離心率為，且與大小無關(guān)C．焦距為 D．面積為【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，結(jié)合題中的數(shù)據(jù)對(duì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】由題意得橢圓短軸長(zhǎng)，而長(zhǎng)軸長(zhǎng)隨變大為變長(zhǎng)且，所以，故，焦距為，由橢圓在底面投影即為底面圓，則等于圓的面積與橢圓面積的比值，所以橢圓面積為，綜上，ACD正確，B錯(cuò)誤，故選:B．三、解答題17．已知直線和的交點(diǎn)為，求：(1)以點(diǎn)為圓心，且與直線相交所得弦長(zhǎng)為12的圓的方程；(2)直線過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】(1)求出兩直線交點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)弦長(zhǎng)求出所求圓的半徑，即可得答案；（2）設(shè)出所求直線的方程，求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積列出方程，解方程，即可求得答案.【詳解】（1）直線和的交點(diǎn)為，由，得，即，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)所求圓的半徑為，由垂徑定理得弦長(zhǎng)，解得，所以所求圓的方程為；（2）設(shè)過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為的直線的斜率為，則，所以的方程為，即，它與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，，則，解得或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，綜上，直線的方程為或．18．我們稱（）元有序?qū)崝?shù)組為維向量，為該向量的范數(shù)，已知維向量，其中，，記范數(shù)為奇數(shù)的維向量的個(gè)數(shù)為，這個(gè)向量的范數(shù)之和為.(1)求和的值；(2)當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由定義用列舉法求、即可；（2）按照含0個(gè)數(shù)為1，3，…，進(jìn)行討論，可得，結(jié)合、的展開式，即可得的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)有，它們的范數(shù)依次為1，1，1，1，所以，.（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在向量的個(gè)坐標(biāo)中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)，所以可按照含0個(gè)數(shù)為1，3，…，進(jìn)行討論：的個(gè)坐標(biāo)中含1個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或，共有個(gè)，每個(gè)的范數(shù)為；的個(gè)坐標(biāo)中含3個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或，共有個(gè)，每個(gè)的范數(shù)為；…的個(gè)坐標(biāo)中含個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或，共有個(gè)，每個(gè)的范數(shù)為1；所以，

因?yàn)棰?，②，?②得，.19．如圖，，是某景區(qū)的兩條道路（寬度忽略不計(jì)，為東西方向），Q為景區(qū)內(nèi)一景點(diǎn)，A為道路上一游客休息區(qū)，已知，（百米），Q到直線，的距離分別為3（百米），（百米），現(xiàn)新修一條自A經(jīng)過Q的有軌觀光直路并延伸至道路于點(diǎn)B，并在B處修建一游客休息區(qū).（1）求有軌觀光直路的長(zhǎng)；（2）已知在景點(diǎn)Q的正北方6百米的P處有一大型組合音樂噴泉，噴泉表演一次的時(shí)長(zhǎng)為9分鐘，表演時(shí)，噴泉噴灑區(qū)域以P為圓心，r為半徑變化，且t分鐘時(shí)，（百米）（，）.當(dāng)噴泉表演開始時(shí)，一觀光車S（大小忽略不計(jì)）正從休息區(qū)B沿（1）中的軌道以（百米/分鐘）的速度開往休息區(qū)A，問：觀光車在行駛途中是否會(huì)被噴泉噴灑到，并說明理由.【答案】（1）；（2）噴泉的水流不會(huì)灑到觀光車上，理由見解析【分析】（1）建立如圖平面直角坐標(biāo)系，易得，直線的方程為，，由點(diǎn)到直線距離，求出，從而直線的方程為，聯(lián)產(chǎn)方程組求出的坐標(biāo)，由此能求出軌道的長(zhǎng)；（2）將噴泉記為圓，由題意得，生成分鐘時(shí)，觀光車在線段AB上的點(diǎn)C處，則，，從而，若噴泉不會(huì)灑到觀光車上，則對(duì)恒成立，由此能求出噴泉的水流不會(huì)灑到觀光車上.【詳解】（1）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.則由題設(shè)得：，直線的方程為，（）.由，解得，所以.故直線的方程為，由得即，故，答：水上旅游線的長(zhǎng)為.（2）將噴泉記為圓P，由題意可得，生成t分鐘時(shí)，觀光車在線段上的點(diǎn)C處，則，，所以.若噴泉不會(huì)灑到觀光車上，則對(duì)恒成立，即，當(dāng)時(shí)，上式成立，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，所以恒成立，即噴泉的水流不?huì)灑到觀光車上.答：噴泉的水流不會(huì)灑到觀光車上.【點(diǎn)睛】本題考查軌道長(zhǎng)的求法，考查噴泉的水流能否灑到觀光車上的判斷，考查函數(shù)性質(zhì)有生產(chǎn)生活中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題.20．已知，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.斜率為的直線過點(diǎn)，且與軌跡相交于兩點(diǎn).（1）求軌跡的方程；（2）求斜率的取值范圍；（3）在軸上是否存在定點(diǎn)，使得無論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，總有成立？如果存在，求出定點(diǎn)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義即可求得方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，轉(zhuǎn)化成方程有解問題；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，聯(lián)立直線和雙曲線整理成二次方程，根據(jù)結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）因?yàn)?，點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支，設(shè)其方程，則，所以軌跡的方程：；（2）斜率為的直線過點(diǎn)，直線方程為，代入，，即有兩個(gè)不等正根，，由得，當(dāng)時(shí)，且即不等式組的解：所以；（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)，使，由（2）：斜率為的直線過點(diǎn)，直線方程為，代入，，即有兩個(gè)不等正根，，，所以，，對(duì)恒成立，所以，解得，即，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程，此時(shí)，，仍然滿足，所以這樣的點(diǎn)存在，.【點(diǎn)睛】此題考查求雙曲線方程，注意考慮圖象限制范圍，通過直線與雙曲線位置關(guān)系求參數(shù)范圍，結(jié)合韋達(dá)定理解決相關(guān)定點(diǎn)問題.21．曲線與曲線在第一象限的交點(diǎn)為.曲線是()和()組成的封閉圖形.曲線與軸的左交點(diǎn)為?右交點(diǎn)為.（1）設(shè)曲線與曲線具有相同的一個(gè)焦點(diǎn)，求線段的方程；（2）在（1）的條件下，曲線上存在多少個(gè)點(diǎn)，使得，請(qǐng)說明理由.（3）設(shè)過原點(diǎn)的直線與以為圓心的圓相切，其中圓的半徑小于1，切點(diǎn)為.直線與曲線在第一象限的兩個(gè)交點(diǎn)為..當(dāng)對(duì)任意直線恒成立，求的值.【答案】（1）或；（2）一共2個(gè)，理由見解析；（3）答案見解析.【分析】（1）先求曲線的焦點(diǎn)，再求點(diǎn)的坐標(biāo)，分焦點(diǎn)為左焦點(diǎn)或右焦點(diǎn)，求線段的方程；（2）分點(diǎn)在雙曲線或是橢圓的曲線上，結(jié)合條件，說明點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）首先設(shè)出直線和圓的方程，利用直線與圓相切，以及直線與曲線相交，分別表示，并計(jì)算得到的值.【詳解】（1）兩個(gè)曲線相同的焦點(diǎn)，，解得：，即雙曲線方程是，橢圓方程是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是,聯(lián)立兩個(gè)曲線，得，，即，當(dāng)焦點(diǎn)是右焦點(diǎn)時(shí)，線段的方程當(dāng)焦點(diǎn)