弧度制及弧度制與角度制的換算

關(guān)于弧度制及弧度制與角度制的換算第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四

在初中幾何里，我們學(xué)習(xí)過角的度量，1度的角是怎樣定義的呢？

周角的

為1度的角。

這種用1o角作單位來度量角的制度叫做角度制，今天我們來學(xué)習(xí)另一種在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中常用的度量角的制度——弧度制。第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四1.圓心角、弧長(zhǎng)和半徑之間的關(guān)系：

角是由射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的，在旋轉(zhuǎn)的過程中射線上的點(diǎn)必然形成一條圓弧，不同的點(diǎn)所形成的圓弧的長(zhǎng)度是不同的，但都對(duì)應(yīng)同一個(gè)圓心角。第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四=定值，設(shè)α=no，弧長(zhǎng)為l，半徑OA為r，則，可以看出，等式右端不含半徑，表示弧長(zhǎng)與半徑的比值跟半徑無關(guān)，只與α的大小有關(guān)。第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論：可以用圓的半徑作單位去度量角。2.定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad。這種以弧度為單位來度量角的制度叫做弧度制。注：今后在用弧度制表示角的時(shí)候，弧度二字或rad可以略去不寫。第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四3.弧度制與角度制相比：(1)弧度制是以“弧度”為單位的度量角的單位制，角度制是以“度”為單位來度量角的單位制；1弧度≠1o；

（2）1弧度是弧長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角的大小，而1度是圓周的所對(duì)的圓心角的大小；第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四（3）弧度制是十進(jìn)制，它的表示是用一個(gè)實(shí)數(shù)表示，而角度制是六十進(jìn)制；（4）以弧度和度為單位的角，都是一個(gè)與半徑無關(guān)的定值。第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四4.公式：，表示的是在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角是αrad。第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四5.弧度制與角度制的換算①用角度制和弧度制度量角，零角既是0o角，又是0rad角，同一個(gè)非零角的度數(shù)和弧度數(shù)是不同的.②平角、周角的弧度數(shù)：平角=rad、周角=2rad.第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四③正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.④角的弧度數(shù)的絕對(duì)值:

（l為弧長(zhǎng)，r為半徑）第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四⑤∵360=2rad，∴180=rad∴1=1rad第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四6.用弧度制表示弧長(zhǎng)及扇形面積公式：

弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對(duì)值與半徑的積.①弧長(zhǎng)公式：由公式：比公式簡(jiǎn)單.第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四②扇形面積公式其中l(wèi)是扇形弧長(zhǎng)，R是圓的半徑。證明：設(shè)扇形所對(duì)的圓心角為no(αrad)，則又αR=l，所以第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四證明2：因?yàn)閳A心角為1rad的扇形面積是而弧長(zhǎng)為l的扇形的圓心角的大小是rad.所以它的面積是第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例1.（1)把112o30′化成弧度(精確到0.001)；（2）把112o30′化成弧度（用π表示）。解：（1）112o30′=112.5o，

所以112o30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.(2)112o30′=112.5×=.第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例2.把化成度。解：1rad=第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例3.填寫下表：角度0°30°45°60°90°120°弧度角度135°150°180°210°225°240°弧度角度270°300°315°330°360°弧度0π2π第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例4.扇形AOB中，所對(duì)的圓心角是60o，半徑是50米，求的長(zhǎng)l（精確到0.1米）。解：因?yàn)?0o=,所以l=α·r=×50≈52.5.答：的長(zhǎng)約為52.5米.第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例5.在半徑為R的圓中，240o的中心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為

，面積為2R2的扇形的中心角等于

弧度。解：（1）240o=，根據(jù)l=αR，得（2）根據(jù)S=lR=αR2，且S=2R2.所以α=4.第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例6.與角－1825o的終邊相同，且絕對(duì)值最小的角的度數(shù)是＿＿＿，合＿＿＿弧度。解：－1825o=－5×360o－25o，

所以與角－1825o的終邊相同，且絕對(duì)值最小的角是－25o.合第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例7.已知一半徑為R的扇形，它的周長(zhǎng)等于所在圓的周長(zhǎng)，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面積是多少？解：周長(zhǎng)=2πR=