交通規(guī)劃設(shè)計之重力模型法

重力模型法

（GravityModel）主要內(nèi)容理論概述參數(shù)標定無約束模型（簡單模型）單約束模型雙約束模型模型理論解釋重力模型特點分布模型選擇思考題一、重力模型理論GM模型描述：交通區(qū)i、j之間出行量與交通區(qū)i的產(chǎn)生量、交通區(qū)j的吸引量的乘積成正比，與交通區(qū)i、j之間的交通阻抗R（時間、費用、距離等）成反比。1955年Casey第一次將重力模型用于地域內(nèi)兩個城鎮(zhèn)之間購物出行預(yù)測。GM模型：模擬物理學(xué)中的牛頓的萬有引力定律，即：兩物體間的引力與兩物體的質(zhì)量之積成正比，與它們之間距離的平方成反比。

重力模型法（GM）認為交通區(qū)i到j(luò)的出行分布量不僅與社會經(jīng)濟因素有關(guān)（驅(qū)動因素），而且還與時間、空間等阻礙因素有關(guān)，考慮較全面。重力模型的基本公式為：其中，Pi，Pj——小區(qū)i，j的人口數(shù)；

Oi，Dj——小區(qū)i，j的產(chǎn)生交通量與吸引交通量；

R——小區(qū)i，j間的阻抗（距離、費用等）；

k,α,,——模型參數(shù)。Casey模型模型式分子：產(chǎn)生分布交通量的驅(qū)動因素，α,通常稱為潛能系數(shù)，在0.5-1.0取值，一般取1；模型式分母：阻抗，為阻抗系數(shù),表示道路建設(shè)水平指標，=0.5~3.5

。當Cij0時，tij

+∞，與實際不符！

f（Cij）稱為阻抗函數(shù)，它是減函數(shù)，當出行阻抗Cij（距離、時間、費用等）增加時函數(shù)值降低。常用的阻抗函數(shù)形式有：（1）指數(shù)形式（2）冪形式（3）綜合函數(shù)對于公式：在現(xiàn)狀OD表已知的條件下，Oi,Dj,Cij和tij已知，k,α,,可以用最小二乘法求得。對（7.3.1）式取對數(shù):已知多元回歸分析式二、重力模型參數(shù)標定（7.3.1）已知tij123O（∑j）120010010040021502502006003100150150400D（∑i）4505004501400現(xiàn)狀OD表小區(qū)之間阻抗表Cij123114324023216223402212假設(shè)α,均為1，請標定重力模型的參數(shù)k和

。例題：參數(shù)標定解：一元線性回歸公式令則：Y=采用最小二乘法求解得：b0=-5.627;b1=-0.5224由此求得：k=0.0036;

=0.5224-6.8-7.6-7.5-7.5-7.1-7.2-7.5-7.2-7.12.643.473.693.472.773.093.693.092.48X=不考慮未來P、A的約束，直接用公式和標定的參數(shù)對未來的Tij進行預(yù)測。例如：將未來的P、A、Cij代入前面公式：即可得到未來年份的出行分布矩陣。三、無約束重力模型無約束模型的計算結(jié)果，由于不考慮未來P、A的約束，可能與給定的產(chǎn)生量P、吸引量A差別很大，需要借助于增長系數(shù)法迭代后才能使用。見課本P140-143例題。為了避免預(yù)測與理論數(shù)值差別過大的情況，需對重力模型進行約束。通常有單約束、雙約束、三約束等。只服從其中的一個約束，就稱為單約束重力模型。如果兩個條件約束都服從，則稱為雙約束重力模型。注意事項四、單約束重力模型推導(dǎo)過程烏爾希斯模型美國公路局模型S.t.或1、推導(dǎo)過程2、烏爾希斯模型S.t.S.t.P、A——預(yù)測年份的產(chǎn)生和吸引量。P、A——預(yù)測年份的產(chǎn)生和吸引量。約束P約束A求解思路：（1）用現(xiàn)狀OD矩陣和阻抗矩陣標定阻抗參數(shù)γ；（2）用未來的P、A、距離矩陣、參數(shù)γ計算未來的分布矩陣。（3）此處采用約束P的方法。解：假設(shè)阻抗函數(shù)為小區(qū)1總體可達性（1）假設(shè)γ=1，首先檢驗γ=1是否合理。交通區(qū)1：根據(jù)計算小區(qū)1到各小區(qū)出行量：交通區(qū)2：交通區(qū)3：81410可以看出，由于采用單約束，只滿足了現(xiàn)狀產(chǎn)生量O約束，沒有滿足現(xiàn)狀吸引力D約束。D（2）計算未來的交通分布矩陣。交通區(qū)1：∑A1/C1j=16/2+28/4+40/4=25

T(1,1)=16*8/25=5.12 T(1,2)=16*7/25=4.48 T(1,3)=16*10/25=6.4交通區(qū)2：∑A2/C2j=16/4+28/1+40/2=52

T(2,1)=28*4/52=2.15 T(2,2)=28*28/52=15.08 T(2,3)=28*20/52=10.77交通區(qū)3：∑A3/C3j=16/4+28/2+40/2=38

T(3,1)=40*4/38=4.21 T(3,2)=40*14/38=14.74 T(3,3)=40*20/38=21.05未來OD矩陣為：123P15.124.486.41622.1515.0810.772834.2114.7421.0540A11.4834.338.22由于為單約束P，此處A約束不滿足.3、美國公路局重力模型S.t.

Kij為調(diào)整系數(shù)，采用試算法確定。當Kij

=1時，即為烏爾希斯重力模型。

λij—i小區(qū)到j(luò)小區(qū)的實際分布交通量與計算分布交通量之比，λij=tij/t’ij；

Yij—i小區(qū)到j(luò)小區(qū)的實際分布交通量與i小區(qū)的出行產(chǎn)生量之比，Yij=tij/Oi。五、雙約束重力模型雙約束重力模型公式參數(shù)標定方法例題現(xiàn)狀阻抗函數(shù)S.t.1、雙約束重力模型公式S.t.推導(dǎo)過程：2、雙約束重力模型計算步驟第一步，給參數(shù)γ取初值。γ可用最小二乘法標定，若無法標定，則令γ

=1；第二步，用迭代法求約束系數(shù)。以冪指數(shù)交通阻抗為例（1）令m=0，m為計算次數(shù)。（2） 令（3）求出第三步，將求得參數(shù)代入，用現(xiàn)狀OD值求現(xiàn)狀理論分布表｛｝第四步，計算現(xiàn)狀實際OD分布表的平均交通阻抗，再計算理論分布表中的平均交通阻抗： ，求兩者相對誤差。（4）

收斂判定。若下式滿足，則結(jié)束計算；反之，令m+1=m，返回第（3）步重復(fù)計算。

第五步，如果滿足要求(<3%)，則接受γ的求解，否則：

①若，則理論分布量小于實際，應(yīng)減少γ的值，可令γ＝γ／2；

②若，則理論分布量大于實際，應(yīng)增大γ的值，令γ＝2γ；

③返回第一步，重新計算。

DO345∑j1150100503002400100200700∑i5502002501000現(xiàn)狀OD表小區(qū)之間現(xiàn)狀阻抗表Cij34513252354假設(shè)α,均為1，求雙約束重力模型的公式

。3、例題解：第一步，給出參數(shù)γ初始值，令γ=1。第二步，采用迭代法求約束系數(shù)ai，bj。第一次迭代。令b3=b4=b5=1，則：用a1，a2的數(shù)值求解b3，b4，b5

，則：第二次迭代。求解新的a1，a2數(shù)值，則：用a1，a2的數(shù)值再次求解b3，b4

，b5

，為：b3=0.8957，b4=1.0643，b5

=1.2618第三次迭代。求解新的a1，a2，b3，b4

，b5數(shù)值，結(jié)果與第二次迭代相同，滿足收斂條件（<3%)，停止迭代。第三步，根據(jù)求出的參數(shù)計算現(xiàn)狀分布理論值?！? 求出各交通區(qū)之間的理論分布值為：

DO345∑j1147.5995.756.73002402.4104.3193.3700∑i5502002501000第四步，檢驗。根據(jù)實際OD和理論OD表求得平均交通阻抗：認為γ=1可以接受。六、三維約束重力模型

（Tri-proportionalGravityModels）OD矩陣或阻抗矩陣中的某些單元格滿足附加條件。例如，某個區(qū)域中有四類出行，如下表所示：

DO12341ABCD2BCDA3CDAB4DABC如果各類出行總量已知，例如:

∑A=XXX

或∑B=XX

或∑C=X

或∑D=XXXX則可看作對雙約束又增加一維約束。不僅重力模型可以有三維約束，增長系數(shù)法也可以有三維約束，原理同三維重力模型法。七、模型理論解釋概率論解釋信息論解釋了解即可，詳細見課本P146頁。優(yōu)點：①直觀上容易理解；②能考慮路網(wǎng)的變化和土地利用對出行的影響；③特定區(qū)的現(xiàn)有OD交通量為零時，也能預(yù)測；④能比較敏感地反映交通小區(qū)之間行駛時間變化的情況。缺點：

①雖考慮路網(wǎng)變化和土地利用對出行的影響，但沒有考慮出行者的個體因素影響；②交通區(qū)內(nèi)出行交通量無法求出；③若交通小區(qū)之間的距離非常小時，有夸大預(yù)測的可能性。八、重力模型的特點九、交通分布模型的選用重力模型法能夠考慮路網(wǎng)阻抗的變化，要求數(shù)據(jù)不苛刻，可用于封閉區(qū)域各種交通規(guī)劃。增長系數(shù)法可以作為重力模型法的補充，在重力模型法無法滿足約束條件時，可以輔助應(yīng)用（例如課本P142）；也可以用于預(yù)測城市外部交通量及公路鐵路交通量。DO123合計預(yù)計117.07.04.028.038.627.038.06.051.091.934.05.017.026.036.0合計28.050.027.0105.0預(yù)計39.390.336.9166.51、根據(jù)現(xiàn)狀OD表、將來產(chǎn)生生與吸引交通量、現(xiàn)狀及將來阻抗矩陣，分別采用無約束、單約束、雙約束重力模型，求出將來OD表。收斂標準ε=1%。假設(shè)重力模型公式如下：答案：

現(xiàn)狀行駛時間將來行駛時間Cij12318.017.022.0217.015.023.0322.023.07.0Cij12314.09.011.029.08.012.0311.012.04.0現(xiàn)狀OD與未來PA十、思考與習題2、