控制工程基礎(chǔ)第四章

控制工程基礎(chǔ)

2007

頻率響應(yīng)是時(shí)間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。頻率特性是系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性。頻率特性分析法(頻域法)

是利用系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性等，是工程上廣為采用的控制系統(tǒng)分析和綜合的方法。

頻率特性分析法是一種圖解的分析方法。

不必直接求解系統(tǒng)輸出的時(shí)域表達(dá)式，可以間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根。

系統(tǒng)的頻域指標(biāo)和時(shí)域指標(biāo)之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系。頻率特性分析中大量使用簡(jiǎn)潔的曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀。第四章控制系統(tǒng)的頻率特性

一、機(jī)電系統(tǒng)頻率特性的概念及其基本實(shí)驗(yàn)方法

二、極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）

三、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）

四、由頻率特性曲線求系統(tǒng)傳遞函數(shù)

五、由單位脈沖響應(yīng)求系統(tǒng)的頻率特性

六、控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻響

七、機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)剛度的概念八、MATLAB在頻率特性分析中的應(yīng)用頻率特性的物理背景電路網(wǎng)絡(luò)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一、頻率特性概述RC電路網(wǎng)絡(luò)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)已知求穩(wěn)態(tài)時(shí)穩(wěn)態(tài)時(shí)，其中，穩(wěn)態(tài)輸出其中，輸入

對(duì)于一般線性系統(tǒng)均有類似的性質(zhì)。當(dāng)輸入正弦信號(hào)時(shí)，線性系統(tǒng)輸出穩(wěn)定后也是正弦信號(hào)，其輸出正弦信號(hào)的頻率與輸入正弦信號(hào)的頻率相同；輸出幅值和輸出相位按照系統(tǒng)傳遞函數(shù)的不同隨著輸入正弦信號(hào)頻率的變化而有規(guī)律的變化，如下圖所示。線性系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)線性系統(tǒng)頻率特性的定義

設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為。定義系統(tǒng)輸出信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相對(duì)其正弦輸入信號(hào)的幅值之比為系統(tǒng)的幅頻特性。幅頻特性描述系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時(shí)在幅值上的增益特性（衰減或放大）。

定義系統(tǒng)輸出信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相對(duì)其正弦輸入信號(hào)的相移為系統(tǒng)的相頻特性。相頻特性描述系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時(shí)在相位上產(chǎn)生的滯后（）或超前（）特性。

上述定義的幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性，它描述了系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

線性系統(tǒng)周期信號(hào)輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)線性系統(tǒng)

當(dāng)輸入為非正弦的周期信號(hào)時(shí)，其輸入可利用傅立葉級(jí)數(shù)展開成正弦波的疊加，其輸出為相應(yīng)的正弦波輸出的疊加。傅里葉反變換式傅里葉正變換式

當(dāng)輸入為非周期信號(hào)時(shí)，可將該非周期信號(hào)看做周期T→∞的周期信號(hào)。

傅氏變換與拉氏變換傅氏正變換式拉氏正變換式傅氏變換與拉氏變換是類似的。

除了積分下限不同外，只要將

換成

，就可將已知的拉氏變換式變成相應(yīng)的傅氏變換式。

拉氏變換可看作是一種單邊的廣義的傅氏變換，其積分區(qū)間是從0

到+∞。函數(shù)適合進(jìn)行拉氏變換的條件比傅氏變換的條件弱一些，因此適合函數(shù)的范圍也寬一些。大多數(shù)機(jī)電系統(tǒng)可簡(jiǎn)單地將拉氏變換中的

換成

而直接得到相應(yīng)的傅氏變換式。

系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)是一種復(fù)變函數(shù)，可以表示成如下形式：系統(tǒng)頻率特性的表示形式

是

的實(shí)部，稱為實(shí)頻特性。

是

的虛部，稱為虛頻特性。頻率特性函數(shù)也可以表示成如下形式：

是

的模，稱為幅頻特性。

是

的相角，稱為相頻特性。

矢量圖表示如下

：

系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求得。將s平面的復(fù)變量的取值范圍限定在虛軸上，即所得到的傳遞函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)是在特定情況下的傳遞函數(shù)。頻率特性的求取——解析法

如下圖所示系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為

將

代之以

，即得到系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)為例例試求的幅頻特性和相頻特性。解：乃奎斯特（H.Nyquist)1889~1976，美國(guó)Bell實(shí)驗(yàn)室著名科學(xué)家二、頻率特性的極坐標(biāo)圖（乃奎斯特圖，或乃氏圖）極坐標(biāo)圖是反映頻率特性的幾何表示。當(dāng)

從

0逐漸增長(zhǎng)至

時(shí)，頻率特性作為一個(gè)矢量，其端點(diǎn)在復(fù)平面相對(duì)應(yīng)的軌跡就是頻率特性的極坐標(biāo)圖。極坐標(biāo)圖也稱為乃氏圖或乃奎斯特曲線。

典型環(huán)節(jié)的乃氏圖1.比例環(huán)節(jié)

2.積分環(huán)節(jié)

3.微分環(huán)節(jié)

4.一階慣性環(huán)節(jié)

5.二階振蕩環(huán)節(jié)

相角0o～－180o，與負(fù)虛軸有交點(diǎn)。令

或

得為與負(fù)虛軸交點(diǎn)。6.延遲環(huán)節(jié)

相角0o～－∞o，與實(shí)軸和虛軸有無窮多交點(diǎn)。(1)寫出和表達(dá)式；(2)分別求出

和

時(shí)的；(3)求乃氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn)，可利用的關(guān)系式求出，也可以利用關(guān)系式（其中n為整數(shù)）求出；(4)求乃氏圖與虛軸的交點(diǎn)，可利用的關(guān)系式求出，也可利用關(guān)系式（其中n為奇數(shù)）求出；(5)必要時(shí)畫出乃氏圖中間幾點(diǎn)；(6)勾畫出大致曲線。乃氏圖的一般作圖方法當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，其乃氏圖與實(shí)軸和虛軸有無窮多交點(diǎn)，隨著的增加，曲線距離原點(diǎn)越來越近，相角越來越負(fù)。例例：

-0.50.51-0.80.4例當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，其相角范圍從-90o~-270o，因此必有與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。例解方程即兩邊取正切，得所以曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率為該交點(diǎn)距原點(diǎn)的距離為-3-10-12-60其乃氏圖如下圖所示：-1-0.50-0.100.1(-0.67,j0)

例機(jī)電系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性一般可表示為當(dāng)λ=0時(shí)，稱該系統(tǒng)為

0型系統(tǒng)；當(dāng)λ=1時(shí)，稱該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)；當(dāng)λ=2時(shí)，稱該系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)；……系統(tǒng)的型次各型乃氏圖的低頻段乃氏圖的高頻段

通常，機(jī)電系統(tǒng)頻率特性分母的階次大于分子的階次，故當(dāng)時(shí)，乃氏圖曲線終止于坐標(biāo)原點(diǎn)處；而當(dāng)頻率特性分母的階次等于分子的階次，當(dāng)時(shí)，乃氏圖曲線終止于坐標(biāo)實(shí)軸上的有限值。一般在系統(tǒng)頻率特性分母上加極點(diǎn)，使系統(tǒng)相角滯后；而在系統(tǒng)頻率特性分子上加零點(diǎn)，使系統(tǒng)相角超前。乃氏圖的負(fù)頻段

的乃氏圖令從增長(zhǎng)到0，相應(yīng)得出的乃氏圖是與從0增長(zhǎng)到

得出的乃氏圖以實(shí)軸對(duì)稱的。伯德（H.W.Bode)，1905~1982，美國(guó)Bell實(shí)驗(yàn)室著名科學(xué)家三、頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（伯德圖）對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖是將幅值對(duì)頻率的關(guān)系和相位對(duì)頻率的關(guān)系分別畫在兩張圖上，用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙繪制，頻率坐標(biāo)按對(duì)數(shù)分度，幅值和相角坐標(biāo)則以線性分度。對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖也稱伯德圖(Bode圖)。伯德圖幅值

所用的單位

分貝(dB)定義為幅頻特性坐標(biāo)若，則稱從

到

為十倍頻程，以dec.(decade)表示。相頻特性坐標(biāo)

典型環(huán)節(jié)的伯德圖1.比例環(huán)節(jié)

L()/dBφ()10-1100101102010-1100101102-180-90020lgK2.積分環(huán)節(jié)

L()/dBφ()10-1100101-40-200204010-1100101-270-180-900-20dB/dec.二重積分環(huán)節(jié)

L()/dBφ()10-1100101-40-200204010-1100101-270-180-900-40dB/dec.3.一階慣性環(huán)節(jié)

在低頻段，在高頻段，用低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示。

10-1100101-20-1001010-1100101-180-900903dB精確曲線漸近線漸近線轉(zhuǎn)角頻率橫坐標(biāo)單位為1/T

L()/dBφ()4.一階微分環(huán)節(jié)

在低頻段，在高頻段，5.二階振蕩環(huán)節(jié)

在低頻段，在高頻段，6.延遲環(huán)節(jié)

一般系統(tǒng)伯德圖的作圖方法則

對(duì)一般系統(tǒng)

可見，系統(tǒng)幅頻特性的伯德圖可由各典型環(huán)節(jié)的幅頻特性伯德圖疊加得到。同理，系統(tǒng)相頻特性的伯德圖亦可用各典型環(huán)節(jié)的相頻特性伯德圖疊加得到。例：即

該系統(tǒng)可認(rèn)為由下列五個(gè)典型環(huán)節(jié)組成：

例

該系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示：

-20dB/dec.-60dB/dec.-60dB/dec.-80dB/dec.20lg7.5

L()/dBφ()

由此，可以看出伯德圖可由如下步驟形成：(1)將系統(tǒng)頻率特性化為典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積;(2)根據(jù)組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)確定轉(zhuǎn)角頻率及相應(yīng)斜率，并畫近似幅頻折線和相頻曲線;(3)必要時(shí)對(duì)近似曲線作適當(dāng)修正。真正畫伯德圖時(shí)，并不需要先畫出各環(huán)節(jié)伯德圖，可根據(jù)靜態(tài)放大倍數(shù)和各環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)直接畫出整個(gè)系統(tǒng)伯德圖。對(duì)于相同階次的基本環(huán)節(jié)，當(dāng)頻率從0

變到時(shí)，最小相位的基本環(huán)節(jié)造成的相移是最小的。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在S

右半平面上既無極點(diǎn)、又無零點(diǎn)的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)；否則，為非最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的相頻特性和幅頻特性是一一對(duì)應(yīng)的，知道了系統(tǒng)幅頻特性，其相頻特性就唯一確定。最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)幅頻、相頻特性對(duì)應(yīng)關(guān)系例設(shè)有下列兩個(gè)系統(tǒng)，其中系統(tǒng)1為最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)2為非最小相位系統(tǒng)。

兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性一樣，均為

而其相頻特性分別為

幅頻特性相頻特性

許多系統(tǒng)的物理模型很難抽象得很準(zhǔn)確，其傳遞函數(shù)很難用純數(shù)學(xué)分析的方法求出。對(duì)于這類系統(tǒng)，可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)出系統(tǒng)的頻率特性曲線，進(jìn)而求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

時(shí)間常數(shù)靜態(tài)放大倍數(shù)頻率特性曲線傳遞函數(shù)由伯德圖的作圖過程可知，幅頻曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率是時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。下面討論如何確定靜態(tài)放大倍數(shù)。四、由頻率特性曲線求傳遞函數(shù)在低頻時(shí)，很小可見，0型系統(tǒng)幅頻特性伯德圖在低頻處的高度為。

0型系統(tǒng)伯德圖低頻段高度的確定

I型系統(tǒng)伯德圖低頻段高度的確定可見，如果系統(tǒng)各轉(zhuǎn)角頻率均大于1，I型系統(tǒng)幅頻特性伯德圖在

處的高度為

；如果系統(tǒng)有的轉(zhuǎn)角頻率小于1，則首段-20dB/dec.斜率線的延長(zhǎng)線與

線的交點(diǎn)高度為

。在低頻時(shí)，很小11II型系統(tǒng)伯德圖低頻段高度的確定

在低頻時(shí)，很小可見，如果系統(tǒng)各轉(zhuǎn)角頻率均大于1，II型系統(tǒng)幅頻特性伯德圖在

處的高度為

；如果系統(tǒng)有的轉(zhuǎn)角頻率小于1，則首段-40dB/dec.斜率線的延長(zhǎng)線與

線的交點(diǎn)高度為

。100101102-100102030Magnitude/dB例某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)頻響數(shù)據(jù)如下，試畫出其對(duì)數(shù)幅頻特性，并確定其傳遞函數(shù)。f(Hz)0.10.20.30.71.01.52.0G(dB)342824.614.281.5-3.5f(Hz)2.54.05.06.09.02035G(dB)-7.2-12.5-14.7-16.0-17.5-17.5-17.5系統(tǒng)的幅頻特性曲線：L()

/dB/rad/s-20dB/dec.-40dB/dec.用折線逼近曲線得：由得：由圖測(cè)得轉(zhuǎn)角頻率：則：所以所測(cè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)近似為：例下圖實(shí)線是某系統(tǒng)用實(shí)驗(yàn)測(cè)出的頻率特性伯德圖，試求改系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。由幅頻特性低頻段可見，該系統(tǒng)為0

型系統(tǒng),且。由上可知，該系統(tǒng)為二階。又相頻特性小于

-180°，故系統(tǒng)存在延遲環(huán)節(jié)。用折線作為漸近線逼近幅頻特性曲線，其高頻段斜率為-40dB/dec.，兩個(gè)轉(zhuǎn)角頻率為系統(tǒng)頻率特性具有如下形式：由圖可見，

取則系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

頻率特性函數(shù)的求取方法(1)如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可將系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的

代之以，即得到系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)。(2)如果已知系統(tǒng)的微分方程，可將輸入變量以正弦函數(shù)代入，求系統(tǒng)的輸出變量的穩(wěn)態(tài)解，輸出變量的穩(wěn)態(tài)解與輸入正弦函數(shù)的復(fù)數(shù)比即為系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)。(3)可以通過實(shí)驗(yàn)的手段求出。頻率特性的實(shí)驗(yàn)求取

五、由單位脈沖響應(yīng)求系統(tǒng)的頻率特性單位脈沖函數(shù)的傅氏變換象函數(shù)等于1，即

說明隱含著幅值相等的各種頻率。如果對(duì)某系統(tǒng)輸入一個(gè)單位脈沖，則相當(dāng)于用等單位強(qiáng)度的所有頻率去激發(fā)系統(tǒng)。系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的傅氏變換即為系統(tǒng)的頻率特性。單位脈沖響應(yīng)簡(jiǎn)稱為脈沖響應(yīng)，脈沖響應(yīng)函數(shù)又稱為權(quán)函數(shù)。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)傳函等于其輸出象函數(shù)

對(duì)于漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)隨時(shí)間增長(zhǎng)逐漸趨于零。因此，可以對(duì)響應(yīng)采樣足夠多的點(diǎn)，借助計(jì)算機(jī)，用多點(diǎn)求和的方法即可近似求出系統(tǒng)頻率特性，即

為了識(shí)別系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，我們可以產(chǎn)生一個(gè)近似的單位脈沖信號(hào)

作為系統(tǒng)的輸入，記錄系統(tǒng)響應(yīng)的曲線,則系統(tǒng)的頻率特性為六、控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻響由開環(huán)頻率特性估計(jì)閉環(huán)頻率特性系統(tǒng)頻域指標(biāo)應(yīng)用開環(huán)Bode圖估計(jì)閉環(huán)頻率特性應(yīng)用開環(huán)乃氏圖求閉環(huán)頻率特性低頻時(shí)高頻時(shí)應(yīng)用開環(huán)Bode圖估計(jì)閉環(huán)頻率特性對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)開環(huán)及閉環(huán)幅頻特性對(duì)照對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，設(shè)前向通道傳遞函數(shù)為

，則其閉環(huán)傳遞函數(shù)為應(yīng)用開環(huán)乃氏圖求閉環(huán)頻率特性

在求取閉環(huán)頻率特性時(shí)，在尼柯爾斯圖上畫出的軌跡，由軌跡與M軌線和N軌線的交點(diǎn)，就可得到的某一頻率下的幅值和相角。

對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)頻率特性可寫為非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性用乘以就可得到系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性。系統(tǒng)頻域指標(biāo)

開環(huán)剪切頻率：開環(huán)頻率特性幅值為1對(duì)應(yīng)的頻率。閉環(huán)諧振頻率

：產(chǎn)生諧振峰對(duì)應(yīng)的頻率。閉環(huán)諧振峰值：諧振頻率處幅值的大小。閉環(huán)截止頻率

：對(duì)數(shù)幅頻特性的幅值下降到-3dB時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率。

一個(gè)典型的由質(zhì)量-彈簧-阻尼構(gòu)成的機(jī)械系統(tǒng)的質(zhì)量塊在輸入力

作用下產(chǎn)生的輸出位移為，其傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的頻率特性為該式反映了動(dòng)態(tài)作用力

與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變形

之間的關(guān)系，如下圖所示。七、機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)剛度的概念

實(shí)質(zhì)上表示的是機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔度

，也就是它的動(dòng)剛度

的倒數(shù)，即當(dāng)時(shí)

即該機(jī)械結(jié)構(gòu)的靜剛度為

k。當(dāng)時(shí)，我們可以寫出動(dòng)剛度的幅值其動(dòng)剛度曲線如下圖所示。對(duì)求偏導(dǎo)等于零，即

可求出二階系統(tǒng)的諧振頻率，即

將其代入幅頻特性，可求出諧振峰值

此時(shí)，動(dòng)柔度最大，而動(dòng)剛度具有最小值由，得二階系統(tǒng)截止頻率為

可見，增加機(jī)械結(jié)構(gòu)的阻尼比，能有效提高系統(tǒng)的動(dòng)剛度。上述有關(guān)頻率特性、機(jī)械阻尼、動(dòng)剛度等概念及其分析具有普遍意義，并在工程實(shí)踐中得到了應(yīng)用。

八、MATLAB在頻率特性分析中的應(yīng)用Bode圖的繪制

bode(sys)或

bode(sys,w)

bode(num,den)

或

bode(num,den,w)

精確繪制系統(tǒng)的Bode圖

其中sys是由函數(shù)tf()、zpk()、ss()中任意一個(gè)建立的系統(tǒng)模型；num和den分別為系統(tǒng)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量；w為希望計(jì)算相位、幅值的頻率點(diǎn)，需定義為行向量或范圍[win,wmax]。2.[mag,phase]=bode(sys,w)或

[mag,phase,w]=bode(sys)

計(jì)算系統(tǒng)的幅值mag與相位phase(°)

可通過公式Magdb＝20log(mag)

轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)幅值。Nyquist圖的繪制nyquist(sys,w)

精確繪制系統(tǒng)的Nyquist圖2.[r