二倍角在平面幾何中的應(yīng)用

二倍角在平面幾何中的應(yīng)用類型1：構(gòu)造等腰三角形已知:如圖,在ABC中,1=2,B=2C,求證:AC=AB+BD.方法1:在AC上取一點(diǎn)E使AE=AB,可證ADEADB,BD=DE,B=AED=C+EDC,B=2C,故C=EDC,DE=EC,EC=BD,故AC=AB+BD方法2:延長(zhǎng)AB上至點(diǎn)E使BE=BD,ABC=2E,B=2C,故E=C可證ADCADE,AC=AE,故AC=AB+BD.方法3:延長(zhǎng)CB上至點(diǎn)E使BE=AB,ABC=2E,B=2C,故E=C,故AC=AE,而EAD=EDA,AE=ED,故AC=AB+BD.2.在ABC中,ABC=2C,BD平分ABC交AC于D,AEBD于E,求證:AC=2BE.方法1:作AF||BC,ADF、BDC為等腰三角形,AF=2BF,AF=AC,故AC=2BE,方法2:延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G,過(guò)E作EM||BC交AC于M，BCME為等腰梯形，BE＝MC，E為中點(diǎn)，故M為AC中點(diǎn)，AC＝2MC故AC＝2BE.3.在ABC中,ABC=2C,角平分線BD,AED=60,AE=4,AC=10,求AD.方法1:作AGBD,由上題所得結(jié)論可得BF=5,則CM=5,設(shè)AD=,則DF=5-,(5-x)+12=,=方法2:作AGBD,AF||BC,由上題所得結(jié)論可得BG=5,則GF=5,設(shè)AD=,則DF=,D=5-,(5-)+12=,=方法3:AG=GC,AFBD,GHAC,ABFGCH,GH=AF=2,AB=AG=,ABD～ACB得AD＝4.正ABC內(nèi)接MED,ME、DC延長(zhǎng)線交于N,BM=CN,MED=60,DMN=2N,求證:DME=60方法1：作等邊BMP,易得E為PC中點(diǎn),延長(zhǎng)EM至G,使GM=MD,設(shè)ME=m,MH=n,是EN=m+n,GH=2m+n,MG=ME=2m=DE,故MDE為正三角形,故DME=60方法2：作等邊BMP,易得E為PC中點(diǎn),方法2:作正DEG,證DMEGEN,故DME=60方法3：作等邊BMP,易得E為PC中點(diǎn),作DG=DM,MF=NH,MFGNHD,DME為正三角形,故DME=60方法4：作等邊BMP,易得E為PC中點(diǎn)，G、N關(guān)于DE對(duì)稱,ME=EN=EG,得正MEG,正MDE,故DME=60方法5：作等邊BMP,易得E為PC中點(diǎn),M、G關(guān)于DE對(duì)稱,易得正EGN,正DEG、正DEM,故DME=60方法6:作等邊BMP,易得E為PC中點(diǎn),作高DH,取MD中點(diǎn)G,則EG||AN,得正ADME,故DME=60.矩形ABCD,E、F分別在AB、AD上,EFB=2AFE=2BCE,CD＝9，CE=20,則AF=?取CE中點(diǎn)G,作EH||BC,由PE=PF,PB=PG,BF=EG=10,AF=2.直角三角形斜邊中線出等腰矩形ABCD，E在CB延長(zhǎng)線上,F為AE中點(diǎn),G為BC中點(diǎn),FG交DE于H,求證:HE=HG.方法1:取DE中點(diǎn)K,連FK、CK,GFKC為平行四邊形,故EH=GH.方法2:取AD的中點(diǎn)，連接IF并延長(zhǎng)交于K，IDEK為平行四邊形,故EH=GH.方法3:作CK=BE,ACKDBE,得FG為AKE的中位線,故EH=GH.方法4:取AD中點(diǎn)K,連FK、FB,AFKBFG,又FK為ADE的中位線,故EH=GH.方法5:AE=2BE,AD=2BG,ADE~BGF,故EH=GH.方法6:DC=AB=2FK,EC=2KG,DCE~FKG,故EH=GH.方法7:構(gòu)中位線FK為梯形AEGP的中位線,故EH=GH.方法8:全等CDENMG,故EH=GH.方法9:作CK=BE,ABKDCE,故EH=GH.正方形ABCD,E在CD的中點(diǎn),F為CE的中點(diǎn),求證:BAF=2DAE.方法1:作FAB的平分線,ABGAHG、ABGADE,故BAF=2DAE.方法2:設(shè)CF=2a,則AB=8a,取DN=3a,則AN=EN=5a,故BAF=2DAE.方法3:作CG=4a,故BAF=2DAE.練習(xí)題：ABC,正ADE,D、E在邊BC上,C=2BAD,BE=5,EC=2,則AC=_______.解：延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，AC=CF，連接AF，∠CAF=∠F，而∠ACB=2∠BAD,∠ACB=∠CAF+∠F=2∠F，△