《志鴻優(yōu)化設(shè)計》2023屆高考數(shù)學(xué)（蘇教版）一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案：第11章概率與統(tǒng)計11．3幾何概型

第頁11.3幾何概型eq\a\vs4\al(考綱要求)了解幾何概型的意義，會求與幾何概型相交匯的線性規(guī)劃、圓及其他圖形的概率．1．幾何概型的概念對于一個隨機(jī)試驗，我們將每個根本領(lǐng)件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的時機(jī)都一樣；而一個隨機(jī)事件的發(fā)生那么理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點．這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等．用這種方法處理的隨機(jī)試驗，稱為幾何概型．2．幾何概型的特點(1)無限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(根本領(lǐng)件)有______個；(2)等可能性：每個根本領(lǐng)件出現(xiàn)的________．3．幾何概型的計算公式一般地，在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)〞為事件A，那么事件A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(d的測度,D的測度).這里要求D的測度不為0，其中“測度〞的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應(yīng)的“測度〞分別是長度、面積和體積．1．一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，那么某人到達(dá)路口時看見的是紅燈的概率是__________．2．(2023江蘇泰州期末)ABCD是半徑為2的圓的內(nèi)接正方形，現(xiàn)在圓的內(nèi)部隨機(jī)取一點P，點P落在正方形ABCD內(nèi)部的概率為__________．3．(2023江蘇連云港測試卷)設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個點，那么此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是__________．4．正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O，那么在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取點M，點M在球O5．直線y＝x＋b，b[－2,3]，那么直線在y軸上的截距大于1的概率是__________．古典概型與幾何概型的區(qū)別是什么？提示：古典概型與幾何概型中根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求根本領(lǐng)件有有限個，幾何概型要求根本領(lǐng)件有無限個．一、與長度、角度有關(guān)的幾何概型問題【例1】(2023江蘇南京金陵中學(xué)預(yù)測卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－3x－4，x[－3,6]，那么對任意x0[－3,6]，使f(x0)≤0的概率為__________．方法提煉解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍．當(dāng)考察對象為點，點的活動范圍在線段上時，用線段長度比計算；當(dāng)考察對象為線時，一般用角度比計算．事實上，當(dāng)半徑一定時，由于弧長之比等于其所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)之比，所以角度之比實際上是所對的弧長(曲線長)之比．請做針對訓(xùn)練1二、與面積有關(guān)的幾何概型【例2】(2023江蘇高考名校名師押題卷)甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人15分鐘，過時即可離去．那么兩人能會面的概率是__________．方法提煉幾何概型的概率計算公式中的“測度〞，既包含面積，又包含線段的長度、幾何體的體積等，而且這個“測度〞只與“大小〞有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．請做針對訓(xùn)練2三、與體積有關(guān)的幾何概型【例3】在鑄鐵過程中，經(jīng)常出現(xiàn)鑄件里面混入氣泡的情況，但是如果在加工過程中氣泡不暴露在外表，對產(chǎn)品就不會造成影響，否那么產(chǎn)品就會不合格．在一個棱長為4cm的正方體鑄件中不小心混入一個半徑為0.1cm的球形氣泡，在加工這個鑄件的過程中，如果將鑄件去掉0.5cm的厚度后產(chǎn)品外皮沒有麻眼(即沒有露出氣泡)，產(chǎn)品就合格，問產(chǎn)品合格的概率是多少？方法提煉解決幾何概型問題，當(dāng)考察對象為點，點的活動范圍在空間區(qū)域內(nèi)時，常用體積比計算．請做針對訓(xùn)練3從近三年高考試題來看，對幾何概型考查較少，屬中檔題，主要考查根底知識．幾何概型的根本領(lǐng)件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們占據(jù)的區(qū)域是有限的，根據(jù)等可能性，這些點落在某區(qū)域的概率與該區(qū)域的測度成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān)．1．某人欲從某車站乘車出差，該站發(fā)往各站的客車均為每小時一班，此人等車時間不多于10分鐘的概率為________．2．如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，假設(shè)在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個點Q，那么點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于__________．3．三棱錐SABC，在三棱錐內(nèi)任取一點P，使得VPABC＜eq\f(1,2)VSABC的概率是__________．

參考答案根底梳理自測知識梳理2．(1)無限(2)可能性相等根底自測1.eq\f(2,5)解析：以時間的長短進(jìn)行度量，故P＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).2.eq\f(2,π)解析：利用幾何概型計算公式即得．3.eq\f(4－π,4)D解析：設(shè)事件A：點到坐標(biāo)原點的距離大于2.如圖，P(A)＝eq\f(S2,S)＝eq\f(S－S1,S)＝eq\f(4－π,4).4.eq\f(π,6)解析：設(shè)正方體棱長為a，那么正方體的體積為a3，內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))3＝eq\f(π,6)a3，故M在球O內(nèi)的概率為eq\f(\f(π,6)a3,a3)＝eq\f(π,6).5.eq\f(2,5)解析：區(qū)域D為區(qū)間[－2,3]，d為區(qū)間(1,3]，而兩個區(qū)間的長度分別為5,2.故所求概率P＝eq\f(2,5).考點探究突破【例1】eq\f(5,9)解析：函數(shù)f(x)＝x2－3x－4＝(x＋1)(x－4)，因此當(dāng)x∈[－1,4]時，f(x)≤0，所以對任意x0∈[－3,6]，使f(x0)≤0的概率為eq\f(4－－1,6－－3)＝eq\f(5,9).【例2】eq\f(7,16)解析：以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點的時間，那么兩人能夠會面的充要條件是|x－y|≤15.在如下圖的平面直角坐標(biāo)系下，(x，y)的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形區(qū)域，而事件A“兩人能夠會面〞的可能結(jié)果由圖中的陰影局部表示．由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(SA,S)＝eq\f(602－452,602)＝eq\f(3600－2025,3600)＝eq\f(7,16).所以兩人能會面的概率是eq\f(7,16).【例3】解：記產(chǎn)品合格為事件A，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域是棱長為4cm的正方體的體積．由條件可以發(fā)現(xiàn)要使產(chǎn)品合格，球心距離正方體外表要0.6cm，所以球心必須在正方體內(nèi)的一個棱長為2.8cm的正方體內(nèi)部才符合題意，所以構(gòu)成事件A的區(qū)域是棱長為2.8cm的正方體的體積，這樣產(chǎn)品合格的概率P(A)＝eq\f(2.83,43)＝0.343.演練穩(wěn)固提升針對訓(xùn)練1.eq\f(1,6)解析：設(shè)A＝{等待的時間不多于10分鐘}，我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車的時刻位于[50,60]這一時間段內(nèi)，由幾何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(60－50,60)＝eq\f(1,6).∴所求的概率為eq\f(1,6).2.eq\f(1,2)解析：這是一道幾何概型的概率問題，點Q取自△ABE內(nèi)部的概率為eq\f(S△ABE,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(1,2)·|AB|·|AD|,|AB|·|AD|)＝eq\f(1,2).3.eq\f(7,8)解析：假設(shè)VPABC＝eq\f(1,2)VSABC，那么P點到面ABC的距離與S點到面ABC的距離之比為eq\f(1,2).