初二數(shù)學(xué)圖形輔助線常見做法

時間：二O二一年七月二十九日八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練題之邯鄲勺丸創(chuàng)作時間：二O二一年七月二十九日補形法的應(yīng)用班級________姓名__________分?jǐn)?shù)_______一些幾何題的證明或求解,由原圖形闡發(fā)研究,有時顯得十分簡易,若經(jīng)過適合的“補形”來進(jìn)行,即添置適合的幫助線,將原圖形填充成一個完好的、特別的、簡單的新圖形,則能使原問題的實質(zhì)獲得充分的顯示,經(jīng)過對新圖形的闡發(fā),使原問題順利獲解.這類辦法,我們稱之為補形法,它能培育思想能力和解題技巧.我們學(xué)過的三角形、特別四邊形、圓等都能夠作為“補形”的對象.現(xiàn)就稀有的添加的圖形舉比以下,以供參照.一、補成三角形補成三角形例1.如圖1,已知E為梯形ABCD的腰CD的中點；證明：△ABE的面積等于梯形ABCD面積的一半.闡發(fā)：過一極點和一腰中點作直線,交底的延伸線于一點,機關(guān)等面積的三角形.這也是梯形中常常使用的幫助線添法之一.略證：補成等腰三角形例2如圖2.已知∠A＝90°,AB＝AC,∠1＝∠2,CE⊥BD,求證：BD＝2CE闡發(fā)：由于角是軸對稱圖形,角均分線是對稱軸,故依據(jù)對稱性作出幫助線,不難發(fā)明CF＝2CE,再證BD＝CF即可.略證：補成直角三角形例3.如圖3,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B＋∠C＝90°,F、G鑒別是AD、BC的中點,若BC＝18,AD＝8,求FG的長.闡發(fā)：從∠B、∠C互余,考慮將它們變?yōu)橹苯侨切蔚慕?故延伸BA、CD,要求FG,需求PF、PG.略解：

圖3補成等邊三角形例4.圖4,△ABC是等邊三角形,延伸BC至D,延伸BA至E,使AE時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日BD,連接CE、ED.證明：EC＝ED闡發(fā)：要證明EC＝ED,往常要證∠ECD＝∠EDC,但難以實現(xiàn).這樣可采納補形法即延伸BD到F,使BF＝BE,連接EF.略證：二、補成特別的四邊形補成平行四邊形例5.如圖5,四邊形ABCD中,E、F、G、H鑒別是AB、CD、AC、BD的中點,而且E、F、G、H不在同一條直線上,求證：EF和GH相互均分.闡發(fā)：由于平行四邊形的對角線相互均分,故要證結(jié)論,需考慮四邊形GEHF是平行四邊形.略證：補成矩形例6.如圖6,四邊形ABCD中,∠A＝60°,∠B＝∠D＝90°,AB＝200m,CD＝100m,求AD、BC的長.闡發(fā)：矩形擁有很多特別的性質(zhì),奇妙地機關(guān)矩形,可使問題轉(zhuǎn)變?yōu)榻庵苯侨切?于是一些四邊形中較難的計算題不難獲解.略解：補成菱形例7.如圖7,凸五邊形ABCDE中,∠A=∠B＝120°,EA＝ABBC＝2,CD＝DE＝4,求其面積闡發(fā)：延伸EA、CB交于P,依據(jù)題意易證四邊形PCDE為菱形.

圖6略解：補成正方形例8.如圖8,在△ABC中,AD⊥BC于D,∠BAC＝45°,BD3,DC＝2.求△ABC的面積.闡發(fā)：此題要想從已知條件直接求出此三角形的面積的確有些困難,假如從題設(shè)∠BAC＝45°,AD⊥BC出發(fā),可以捕捉到利用軸對稱性質(zhì)機關(guān)一個正方形的信息,那么問題立刻能夠獲解.略解：補成梯形

圖7圖8時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日例9．如圖9,已知：G是△ABC中BC邊上的中線的中點,L是△ABC外的一條直線,自A、B、C、G向L作垂線,垂足鑒別1為A1、B1、C1、G1.求證：GG1＝4

(2AA1＋BB1＋CC1).闡發(fā)：此題從已知條件可知,中點多、垂線多特色,聯(lián)想到機關(guān)直角梯形來加以解決比較適合,故過D作DD1⊥L于D1,則DD1既是梯形BB1C1C的中位線,又是梯形DD1A1A的一條底邊,因此,可想到運用梯形中位線定理打破,使要證的結(jié)論顯然地顯示出來,進(jìn)而使問題迅速獲證.

圖9略證：三、練習(xí)1、在△ABC中,AC=BC,D是AC上一點,且AE垂直BD的延伸線于E,又AE=1BD,求證：BE均分∠ABC.22、如圖,已知：在△ABC內(nèi),∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q鑒別在BC、CA上,而且AP、BQ鑒別是∠BAC、∠ABCA的角均分線,求證：BQ+AQ=AB+BP3、已知：∠BAC=90°,AB=AC,AD=DC,AE⊥BD,Q求證：∠ADB=∠CDEB4、設(shè)正三角形ABC的邊長為2,