一類解析幾何模擬試題的課本淵源

一類解析幾何試題的課本淵源張雄(華南師大附中汕尾學(xué)校516600)課本是教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的主要材料，同時，也是命題素材的重要源泉.縱觀歷屆高考數(shù)學(xué)試題、競賽試題和模擬題，源于課本的試題比比皆是.本文將以一道課本例題為源題談?wù)勔活惤馕鰩缀卧囶}的命題特點.1.源題呈現(xiàn)源題：如圖1所示，直線與拋物線相交于點、，求證：.(《全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第二冊(上)》P130例2)證明：設(shè)、兩點的坐標(biāo)分別為，，則，.將代入中，得，由韋達定理，可知，.，，圖1，，.2問題探究該題是一道內(nèi)涵豐富、具有教學(xué)價值的好題，利用幾何畫板對其進行深入研究，如圖2所示，當(dāng)動弦和相互垂直時，弦過恒定點.于是，可將源題推廣得到結(jié)論1.圖2結(jié)論1：直線與拋物線交于、兩點（不同于頂點），則的充要條件是直線過定點.證明：必要性：設(shè)、，則，，，.，設(shè)直線的方程為，當(dāng)時，，可得直線過定點.充分性：設(shè)直線：與交于點，，可得，則，.，.橢圓、雙曲線和拋物線都屬于圓錐曲線，它們往往有著相通的性質(zhì)，利用幾何畫板研究類似的問題，如圖3和圖4所示，當(dāng)動弦和相互垂直時，弦過恒定點.于是，可類比得到如下結(jié)論.圖3圖4結(jié)論2：直線與橢圓交于、兩點（不同于右頂點），則的充要條件是直線過定點.證明：設(shè)直線：與橢圓相交于點，，將代入可得，，由韋達定理得，，.，.，，，則或（舍去），可知，直線過定點.反之也成立.同理可證結(jié)論3.結(jié)論3：直線與拋物線交于、兩點（不同于頂點），則的充要條件是直線過定點.源題和結(jié)論1都映射出一個事實：如果弦過定點，則.如果弦過焦點，是否為定值？通過研究這個問題，可將源題推廣得到結(jié)論4.結(jié)論4：直線與拋物線交于、兩點（不同于頂點），如果弦過焦點，則.證明：設(shè)直線：與交于點，，可得，則，..3命題實例剖析例1(2022.北京春季卷.文.18)為坐標(biāo)原點，過點且斜率為的直線交拋物線于、兩點.（=1\*ROMANI）寫出直線的方程；（=2\*ROMANII）求與的值；（=3\*ROMANIII）求證：.【評析】源題和該題的問題本質(zhì)完全一致，而且具體數(shù)字都相同.由結(jié)論1可知，減少源題條件，使直線變成過的動直線，再設(shè)置階梯問，源題就簡單變形為該題.例2(2022.重慶卷.理.21)設(shè)是一常數(shù)，過點的直線與拋物線交于相異兩點、，以線段為直徑作圓（為圓心）.試證拋物線頂點在圓的圓周上；并求圓的面積最小時直線的方程.【評析】源題和該題的問題本質(zhì)也完全一致，減少源題條件,并將其推廣到結(jié)論1，可得，用“拋物線頂點在以線段為直徑的圓周上”對此進行等價替換，這樣源題就改造成該題.例3(2000.北京春季卷.22)如圖5所示，設(shè)點和為拋物線上原點以外的兩個動點，已知，.求點的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.【評析】按照結(jié)論1對源題進行推廣，由得，弦必過點.再增加條件，如圖5圖5所示，點的軌跡是除點外以為直徑的圓.按照這種思路，可將源題改造成該題.例4(2022.廣東卷.17)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上異于坐標(biāo)原點的兩不同動點、滿足.（=1\*ROMANI）求的重心（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；（=2\*ROMANII）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.【評析】設(shè)，，由源題類比可得，弦必過拋物線的對稱軸上點.設(shè)弦的方程為，可得，，則可得重心的坐標(biāo)，，，這樣重心的軌跡方程為.如此，通過類比、增設(shè)條件和改變結(jié)論就可將源題改造成該題.例5(2022.山東卷.理.21)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為.（=1\*ROMANI）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（=2\*ROMANII）若直線：與橢圓相交于、兩點（、不是左、右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo).【評析】將源題類比得到結(jié)論2，構(gòu)造橢圓，其中，，將右頂點的弦互相垂直替換為“以為直徑的圓過橢圓的右頂點”.由結(jié)論2可得，直線必過點，按照這種思路，就可將源題改造成該題.例6(2022新知杯上海市高中競賽)已知為雙曲線的右頂點，過的兩條互相垂直的直線分別與雙曲線的右支交于點、.是否一定過軸上一定點，如果是，求出定點坐標(biāo).【評析】將源題類比得到結(jié)論3，構(gòu)造雙曲線，其中，，設(shè)置已知條件.由結(jié)論3可得，直線必過點，如此一來，源題就改造成該題.例7(2022南京市高三一模試題)已知拋物線，過焦點的動直線交拋物線于、兩點，為坐標(biāo)原點，求證：為定值.【評析】將源題推廣到結(jié)論2，弦過定點，則.由此類比可得結(jié)論4，如果弦過焦點，則.從源題入手，按照上述思路可將源題改造成該題.綜上，在高考復(fù)習(xí)過程中，廣大一線教育工作者應(yīng)該圍繞課本展開復(fù)習(xí)，盡可能排除各種復(fù)習(xí)資料的干擾，不能舍本逐末.復(fù)習(xí)要以課本為主,但不能只停留在表面，而應(yīng)該挖掘知識的深層背景和知識間的聯(lián)系，利用常用的命題方法命制題目進行變式訓(xùn)練，使學(xué)生對知識有更深刻的認(rèn)識.參考文獻：張景中.繞來繞去的向量法[M].北京：科學(xué)出版社，2022,09人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室