2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)三角?？紗栴}第2講余弦定理正弦定理

08/807/8/第2講余弦定理、正弦定理典型例題【例1】在中,設(shè)角所對的邊分別為.若邊上的高為,則的最大值是（）A.2B. C. D.4【答案】D【解析】由三角形面積公式得,即.所以.【例2】在△ABC中，已知，則的最大值是________.【答案】【解析】因?yàn)?即,且,角為鈍角,所以,即,角為銳角.故【例3】如果滿足∠ABC=60°，AB=8，AC=k的△ABC有且只有一個(gè)，那么k的取值范圍是________.【答案】或【解析】解法1(圖象法)由正弦定理得,即.由題意知,滿足條件的有一個(gè),則或,即或解法2(幾何法)當(dāng)滿足條件的有兩個(gè)時(shí),,或,由此得到的取值范圍.如圖,,當(dāng)或時(shí),以為半徑的圓弧與切于點(diǎn),或與交于點(diǎn).由于只有一個(gè),可得或.【例4】在△ABC中，已知，則△ABC的形狀是________.【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】由得所以或,所以或,故是等腰三角形或直角三角形.【例5】在銳角三角形ABC中，已知，求的最小值.【解析】在中,有,于是,故,等號兩邊同除以,可得,.于是.【例6】在△ABC中，設(shè)角所對的邊分別為，已知.（1）若△ABC的面積等于，求.（2）若，且，求△ABC的面積.【解析】(1)因?yàn)?所以,即.又,即,解得.(2)因?yàn)?即,即,所以或,即或.又，取，則由得.【例7】在△ABC中，設(shè)角，所對的邊分別為.已知，且.（1）當(dāng)時(shí)，求的值.（2）若角B為銳角，求p的取值范圍.【解析】(1)由已知條件和正弦定理得可知為方程的兩個(gè)根,進(jìn)而求得或.(2)由余弦定理得,即.因?yàn)?所以.由知,是正數(shù).故.【例8】在銳角三角形ABC中，設(shè)角所對的邊分別為，且.（1）求角B.（2）求的取值范圍.【解析】(1)由得,所以.又為銳角三角形,故.(2)結(jié)合(1)的結(jié)論有.由得,則故的取值范圍是.【例9】在△ABC中，設(shè)角所對的邊分別為，已知.（1）求角B的大小.（2）若，求b的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)?所以,,,又,所以.在中,.(2)解法1：因?yàn)?所以.又,所以.解法2：利用正弦定理可求得 【例10】滿足條件的△ABC面積的最大值是________.【解析】解法1：設(shè),則.設(shè),則消去得,故.解法2：(阿氏圓法)建立直角坐標(biāo)系,設(shè),,由得,即,即,所以.【例11】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，在y軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上給定兩點(diǎn).試在x軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上求點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值.【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,再設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為,則有當(dāng)時(shí),取得最大值.因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù),所以當(dāng)時(shí),取最大值.故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.【例12】如圖，當(dāng)測量河對岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D.現(xiàn)測得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=20m，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為30°，則塔高AB=________.【答案】【解析】在中,,則.由正弦定理得.在Rt中,.【例13】已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足，求的值.【解析】解法1：由題設(shè)條件知.因?yàn)?所以.將上式化為.利用和差化積及積化和差公式,上式可化為將代入