2022學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)綜合檢題

綜合檢測試題(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于(B)(A)40 (B)42 (C)43 (D)45解析:由a1=2,a2+a3=13,所以2×2+3d=13,所以d=3,所以a4+a5+a6=3a1+12d=42.故選B.2.在△ABC中,∠A=60°,a=43,b=42,則B等于(C)(A)45°或135° (B)135°(C)45° (D)以上答案都不對解析:由題△ABC中,∠A=60°,a=43,b=42,則由正弦定理asinA=sinB=bsinAa=42sin60°43=22.結(jié)合0°3.等比數(shù)列{an}中,若a2=3,a7·a10=36,則a15等于(B)(A)-12 (B)12 (C)-6 (D)6解析:由等比數(shù)列的性質(zhì)得a2·a15=a7·a10,所以a15=3634.已知數(shù)列{an},若點{n,an}(n∈N*)在直線y-2=k(x-5)上,a5=2,則數(shù)列{an}的前9項和S9等于(B)(A)16 (B)18 (C)20 (D)22解析:因為點{n,an}(n∈N*)在直線y-2=k(x-5)上,所以an-2=k(n-5),即an=k(n-5)+2=kn+2-5k,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以數(shù)列{an}的前9項和S9=9(a1+a9因為a5=2,所以S9=2×9=18,故選B.5.已知點(a,3)和點(3,a)在直線x-2y=0的兩側(cè),則a的取值范圍是(D)(A)（32,6(B)（-6,32(C)(-∞,-6)∪（32,+∞(D)（-∞,32）∪(6,+∞解析:因為點(a,3)和點(3,a)在直線x-2y=0的兩側(cè),所以(a-2×3)(3-2a)<0,即(a-6)(2a-3)>0,即a>6或a<32即實數(shù)a的取值范圍是（-∞,32）∪(6,+∞6.若正實數(shù)x,y滿足不等式2x+y<4,則x-y的取值范圍是(B)(A)[-4,2] (B)(-4,2)(C)(-2,2] (D)[-2,2)解析:由約束條件x>0令z=x-y,化為y=x-z,由圖可知當(dāng)直線y=x-z過A時,z=-4;當(dāng)直線y=x-z過B時,z=2.所以x-y的取值范圍是(-4,2).故選B.7.已知函數(shù)f(x)=x

(A)2+2 (B)8 (C)4 (D)0解析:令x-1=t,則x=t+1(t>0),y=(t+1)2t當(dāng)且僅當(dāng)t=1即x=2時“=”成立.故選C.8.在△ABC中,三邊a,b,c成等差數(shù)列,B=30°,且△ABC的面積為12(A)1+3 (B)2+3(C)3+3 (D)3+解析:因為a,b,c成等差數(shù)列,所以b=a+又12acsinB=1又b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-3ac,3b2=4+23,b2=4+233,所以b=故選D.9.在如下數(shù)表中,已知每行,每列中的數(shù)都成等差數(shù)列,那么,位于表中的第n行,第(n+1)列的數(shù)是(C)第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………(A)n2-n+1 (B)n2-n(C)n2+n (D)n2+n+2解析:因為第n行第一個數(shù)為n,第n行的數(shù)構(gòu)成以n為公差的等差數(shù)列,所以第n行的第(n+1)項為n+n·n=n2+n.故選C.10.設(shè)a>0,b>0,若3是3a與3b的等比中項,則1a+(A)8 (B)4 (C)1 (D)1解析:因為3a3b=(3)2所以a+b=1,1a+1b=(a+b)（1a=2+ba+ab≥=4,當(dāng)且僅當(dāng)ba=a即a=b=12時“=”11.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且asin2B+bsinA=0,若△ABC的面積S=3b,則△ABC面積的最小值為(B)(A)1 (B)123 (C)83 (D)12解析:因為asin2B+bsinA=0,所以sinA·2sinBcosB+sinBsinA=0,所以2cosB+1=0,所以cosB=-12所以B=2π因為S=3b,所以12acsinB=3所以12acsin2π3所以ac=4b.因為b2=a2+c2-2accos2π3=a2+c2+ac≥所以b≥12,因此S=3b≥123,所以△ABC面積的最小值為123.故選B.12.設(shè)M是△ABC內(nèi)一點,且AB→·AC→=23,∠BAC=30(m,n,p)=m+n+p,其中m,n,p分別是△MBC,△MCA,△MAB的面積.當(dāng)f(M)=（12,x,y）時,1x+(A)8 (B)9 (C)16 (D)18解析:因為AB→·AC→=|AB→||AC→|cos所以|AB→||AC→|=所以S△ABC=12|AC→||AB→所以m+n+p=1,即x+y+12所以x+y=12所以1x+4y=2·（1x+4y）(x+y)=2（5+yx+4xy）≥二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知ax2+bx+c>0的解集為{x|1<x<2},則不等式cx2+bx+a<0的解集為.

解析:不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|1<x<2},所以1,2是方程ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根,且a<0,所以1+2=解得b=-3a,c=2a.所以不等式cx2+bx+a<0可化為2ax2-3ax+a<0,2x2-3x+1>0,解得x<12所以所求不等式的解集為｛x|x<12或x>1｝答案:｛x|x<12或x>114.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),則數(shù)列｛1an｝前10項的和為解析:由已知得a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,…,an-an-1=n-1+1(n≥2),則有an-a1=2+3+…+n=n2+n-22(n≥2),因為a1=1,所以an=n2+n2(n≥2),又當(dāng)n=1時,a1=1也適合上式,故an=n2+n2(n∈N*),所以1an=2n2+n=2（1n-1n+1）,從而1a1+1a2+1a3+…+1a10=2×（1-12）答案:2015.已知點A(m,n)在直線x+2y-1=0上,則2m+4n的最小值為.解析:點A(m,n)在直線x+2y-1=0上,可得m+2n=1,則2m+4n≥22m·4n當(dāng)且僅當(dāng)m=2n=12所以2m+4n的最小值為22答案:2216.在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a2=b2+c2+bc,a=3,S為△ABC的面積,則S+3cosBcosC的最大值為.

解析:因為a2=b2+c2+bc,所以cosA=b2+c所以A=2π由正弦定理得c=a·sinCsinA=3所以S=acsinB2=3所以S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos(B-C)≤3.答案:3三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)等差數(shù)列{an}中,前三項分別為x,2x,5x-4,前n項和為Sn,且Sk=2550.(1)求x和k的值;(2)求T=1S1+1S2+1S解:(1)由4x=x+5x-4,得x=2,所以an=2n,Sn=n(n+1),所以Sk=k(k+1)=2550,得k=50.(2)因為Sn=n(n+1),所以1Sn=1n(n所以T=(1-12)+(12-13)+…+(1=1-1=nn18.(本小題滿分12分)在△ABC中,角A,B,C對邊分別為a,b,c.設(shè)向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求證:△ABC為等腰三角形;(2)已知c=2,C=π3,若m⊥p,求△(1)證明:因為m∥n,向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),所以asinA=bsinB,由正弦定理可得a2=b2,即a=b,所以△ABC為等腰三角形.(2)解:因為m⊥p,所以a(b-2)+b(a-2)=0,可得a+b=ab①,又因為c=2,C=π3所以由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC,可得a2+b2-ab=4,所以(a+b)2-3ab=4,把①代入可得(ab)2-3ab-4=0,解得ab=4,或ab=-1(舍去).所以△ABC的面積S=12absinC=319.(本小題滿分12分)已知等比數(shù)列{an}中,a2=19,a3+a4=481,且a1>a(1)求數(shù)列{an}的前n項和Sn;(2)設(shè)bn=log3(a1a2)+log3(a2a3)+…+log3(anan+1),求數(shù)列{b公式.解:(1)因為a2=19所以a3+a4=481=a2(q+q2所以q=13或q=-4所以a1=a2q=19所以Sn=13(1-13n)(2)由(1)可知an=13·13n所以anan+1=13n·13所以bn=log3(a1a2)+log3(a2a3)+…+log3(ana=log3133+log3135+=-3-5-…-(2n+1)=-n(20.(本小題滿分12分)某客運公司用A,B兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地的長途客運業(yè)務(wù),每車每天往返一次.A,B兩種型號的車輛的載客量分別是32人和48人,從甲地到乙地的營運成本依次為1500元/輛和2000元/輛.公司擬組建一個不超過21輛車的車隊,并要求B種型號的車不多于A種型號的車5輛.若每天從甲地運送到乙地的旅客不少于800人,為使公司從甲地到乙地的營運成本最小,應(yīng)配備A,B兩種型號的車各多少輛?并求出最小營運成本.解:設(shè)應(yīng)配備A種型號的車x輛、B種型號的車y輛,營運成本為z元.則有32即2目標(biāo)函數(shù)為z=1500x+2000y.如圖,作出不等式組所表示的可行域,把z=1500x+2000y,變形為y=-34x+z其中z2當(dāng)直線z=1500x+2000y經(jīng)過可行域上A點時,截距z2最小,解方程組2得x=7,y=12,即A(7,12).所以zmin=1500x+2000y=34500(元).答:應(yīng)配備A種型號的車7輛、B種型號的車12輛,最小營運成本為萬元.21.(本小題滿分12分)已知A,B分別在射線CM,CN(不含端點C)上運動,∠MCN=23π,在△(1)若a,b,c依次成等差數(shù)列,且公差為2.求c的值;(2)若c=3,∠ABC=θ,試用θ表示△ABC的周長,并求周長的最大值.解:(1)因為a,b,c成等差數(shù)列,且公差為2,所以a=c-4,b=c-2.又因為∠MCN=23π所以cosC=-12所以a2+b所以(c-4恒等變形得c2-9c+14=0,解得c=7,或c=2.又因為c>4,所以c=7.(2)在△ABC中,由正弦定理可得bsin∠ABC=a所以bsinθ=asin(b=2sinθ,a=2sin(π3-θ).所以△ABC的周長f(θ)=b+a+c=2sinθ+2sin（π3-θ）+=2[12sinθ+32cosθ]=2sin(θ+π3)+3因為θ∈(0,π3)所以π3<θ+π3<所以當(dāng)θ+π3=π2,即θ=π6時,f(θ22.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=12,且[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n(n∈N*).(1)求a3,a4,a5,a6的值及數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=a2n-1·a2n,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解:(1)a3=3,a4=14,a5=5,a6=1當(dāng)n為奇數(shù)時,an+2=an+2,即數(shù)列{an}的奇數(shù)項成等差數(shù)列.所以a2n-1=a1+(n-1)·2=2n-1,當(dāng)n為偶數(shù)時,an+2=12an即數(shù)列{an}的