高中數(shù)學人教A版(選修1-1)課時同步教案3.3.1函數(shù)的單調性與導數(shù)

教學目標：．了解可導函數(shù)的單調性與其導數(shù)的關系；．能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次；教學重點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間教學難點：用導研究函數(shù)的單調性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間教學過程：一．創(chuàng)設情景函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的贈與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質是非常重要的．通過研究函數(shù)的這些性質，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解．下面，我們運用導數(shù)研究函數(shù)的性質，從中體會導數(shù)在研究函數(shù)中的作用．二．新課講授圖3.3-1（它表示跳水運動中高度

隨時間

t

變化的函數(shù)t)t

t

的圖像，圖（）表示高臺跳水運動員的速度v隨間變化的函數(shù)

vt)

t)t6.5

的圖像．運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：（1運動員從起點到最高點，離水面的高度隨間增加而增加，即h(t)

是增函數(shù)．相應地，

v(t)

(t)

．（2從最高點到入水，運動員離水面的高度隨間

的加減，即h(t)

是減函數(shù)．相應地，

v(t)'(t)

．

．函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調性與其導數(shù)正負的關系．如圖3.3-3，導數(shù)

'

()0

表示函數(shù)f(x)

在點()0

處的切線的斜率．在

x

處，'(x)0

，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)()

在0

附近單調遞增；在

x

處，f

'

()0

，切線是“上右下”式的，這時，函數(shù)()在x附近單調遞減．1結論：函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系在某個區(qū)間(b

內，如果

f'()

，那么函數(shù)f()

在這個間單遞；果f

(x

，那么函數(shù)f()

在這個區(qū)間內單調遞減．說明）別的，如果

f

(x

，那么函數(shù)y(x)

在這個區(qū)內常數(shù)．．求解函數(shù)y()

單調區(qū)間的步驟：（1確定函數(shù)f(x)

的定義域；（2求導數(shù)

y

f'

(x)

；（3解不等式

f'()

，解集在定義域內的部分為增區(qū)間；

（4解不等式三．典例分析

f'()

，解集在定義域內的部分為減區(qū)間．例．已知導函數(shù)

f

(x)

的下列信息：當

x

時，

f

(x

；當

x

，或

x時，f')

；當x，x時f

(x試畫出函數(shù)y()

圖像的大致形狀．解：當

x時f'()

，可知y(x)

在此區(qū)間內單調遞增；當x，x時，f')

；可知y(x)

在此區(qū)間內單調遞；當x，x時f

(x

，這兩點比較特殊，我們把它稱“臨界點綜上，函數(shù)y()

圖像的大致形狀如圖3.3-4所．例．判斷下列函數(shù)的單調性，并求出單調區(qū)間．（1

f)（2）f()（3()

)

；（4

fx)x

x解）為

f)

x

，所以，f'(x)xx因此，

f)

x

在上單調遞增，如圖3.3-51）所示．（2因為

f()2x

，所以，

f'(x)x當

f'()，x時函數(shù)()x2x

單調遞增；

當

f'()

，即

x

時，函數(shù)

f()2x

單調遞減；函數(shù)

f()2x

的圖像如圖（）所示．（3因為f)

)

，所以，

f

(x)因此，函數(shù)f(xsin在

單調遞減，如圖3.3-5（）所示．（4因為

f)x3x2

，所以．當當

ff

(x(x

，即，即

時，函數(shù)時，函數(shù)

f()f()

xx

；；函數(shù)

f)x3x2

的圖像如圖（4所示．注練例3

如圖，以常速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，分找出與各容器對應的水的高度與間t的數(shù)關系圖像．分析：以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況．解：

思考3表通過函數(shù)圖像僅以看出函數(shù)的增減可以看出其變化的快慢合圖像，你能從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？一般的，如果個函數(shù)在一范圍內導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭

反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．如圖3.3-7所，函數(shù)fx)

在

內的圖像“陡峭在

內的圖像“平緩例4

求證：函數(shù)

y2x

在區(qū)間

證明：因為

'

x

x

x

當

所函數(shù)

y

x

2

在間

內是減函數(shù)．說明：證明可導函數(shù)

f

內的單調性步驟：（1求導函數(shù)

f

'

；（2判斷

f

'

內的符號；（3做出結論：

f'

為增函數(shù)，

f'

為減函數(shù)．例5

已知函數(shù)

f)x

x3()在間

上增數(shù)數(shù)a的值范圍．四．課堂練