假設(shè)檢驗(yàn)-正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)

一、單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)二、兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)三、正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)第二節(jié)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

例2(同上節(jié))某工廠生產(chǎn)的一種螺釘,標(biāo)準(zhǔn)要求長(zhǎng)度是毫米.實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長(zhǎng)度X假定服從正態(tài)分布N(μ,σ2),σ2未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件,得尺寸數(shù)據(jù)如下:問這批產(chǎn)品是否合格?(α

=0.01)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的三種基本形式(θ0是個(gè)已知數(shù)):在同一問題中,這三種假設(shè)所采用的統(tǒng)計(jì)量相同,拒絕域存在差別.常見的假設(shè)檢驗(yàn)還有(1)(2)為單側(cè)檢驗(yàn)(3)為雙側(cè)檢驗(yàn)

(1)與(4);(2)與(5)的拒絕域形式相同.一、單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)方差σ2是否已知對(duì)檢驗(yàn)有影響,分兩情況分析.設(shè)x1,…,xn是來自N(μ,σ2)的樣本,關(guān)于μ的三種檢驗(yàn)問題是(μ0是個(gè)已知數(shù))1.σ2已知時(shí)，關(guān)于μ的檢驗(yàn)（u檢驗(yàn)）由于μ的點(diǎn)估計(jì)為,且,故選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)于檢驗(yàn)問題因?yàn)镠0中的μ全部都比H1中的要小,從直觀上看,較合理的檢驗(yàn)法則應(yīng)是：若觀測(cè)值與μ0的差過分地大,即,則我們拒絕H0而接受H1.因此拒絕域的形式為:故此檢驗(yàn)法稱為u檢驗(yàn)法。取顯著性水平為α，使c滿足由于μ

=μ0時(shí)，u~N(0,1),故c=u1-α,如圖因此拒絕域?yàn)?αXφ(x)否定域

u1-α或等價(jià)地:注:由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的單調(diào)性得到上述檢驗(yàn)的勢(shì)函數(shù)為即勢(shì)函數(shù)為μ的增函數(shù),所以只要g(μ0)=α,則有當(dāng)μ≤μ0時(shí),g(μ)≤g(μ0)=α.即上述求出的檢驗(yàn)是水平為

α的檢驗(yàn).仍選用u統(tǒng)計(jì)量對(duì)于檢驗(yàn)問題相應(yīng)的拒絕域的形式為:取顯著性水平為α，使c滿足由于μ

=μ

0時(shí)，u~N(0,1),故c=uα,如圖因此拒絕域?yàn)?Xφ(x)

α否定域

uα或等價(jià)地:注:該檢驗(yàn)的勢(shì)函數(shù)為即勢(shì)函數(shù)為μ的減函數(shù),所以只要g(μ0)=α,則有當(dāng)μ≥μ0時(shí),g(μ)≤g(μ0)=

α.即上述求出的檢驗(yàn)是水平為

α的檢驗(yàn).仍選用u統(tǒng)計(jì)量對(duì)于雙側(cè)檢驗(yàn)問題相應(yīng)的拒絕域的形式為:取顯著性水平為α

，使c滿足由于μ=μ0時(shí)，u~N(0,1),故c=u1-α/2,如圖因此拒絕域?yàn)?否定域否定域Xφ(x)

α/2

α/2u1-α/2

-u1-α/2或等價(jià)地:注:該檢驗(yàn)的勢(shì)函數(shù)為綜上,對(duì)三種假設(shè)檢驗(yàn)問題,只要在μ=μ0處控制犯第一類的錯(cuò)誤,則檢驗(yàn)就是水平為α的顯著性檢驗(yàn).μ=μ0時(shí),g(μ)=g(μ0)=α,故上述求出的檢驗(yàn)是水平α為的檢驗(yàn).例1.從甲地發(fā)送一個(gè)訊號(hào)到乙地.設(shè)乙地接收到的訊號(hào)值是一個(gè)服從正態(tài)分布N(μ2)的隨機(jī)變量,其中μ為甲地發(fā)送的真實(shí)訊號(hào)值.現(xiàn)甲地發(fā)送同一訊號(hào)5次,乙地接收到的訊號(hào)值為該接收方是否有理由認(rèn)為甲地發(fā)送的訊號(hào)值為8?(取顯著性水平為α

=0.05)(P338)2.σ2未知,關(guān)于μ的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）由于s2是σ2的無偏估計(jì)，用s來代替σ,采用

作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.由于在μ

=μ0時(shí),t~t(n-1)，所以對(duì)于檢驗(yàn)問題拒絕域?yàn)?對(duì)于檢驗(yàn)問題拒絕域?yàn)?拒絕域?yàn)?對(duì)于檢驗(yàn)問題利用t統(tǒng)計(jì)量得出得檢驗(yàn)法稱為t檢驗(yàn)法.例3某種電子元件的壽命X（以小時(shí)計(jì)）服從正態(tài)分布，σ2未知?，F(xiàn)測(cè)得16只元件的壽命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170問是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225（小時(shí)）？(α

=0.05)例2某廠生產(chǎn)的某種鋁材的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，其均值設(shè)定為240cm.現(xiàn)從該廠抽取5件產(chǎn)品,測(cè)得其長(zhǎng)度(cm)如下：試判斷該廠此類鋁材的長(zhǎng)度是否滿足設(shè)定要求？(α=0.05)(P339)現(xiàn)在α，n=16,查表得解：由已知X~N(μ,σ2),拒絕域?yàn)榧吹糜捎趖未落入拒絕域，故接受H0，即認(rèn)為元件的平均壽命不大于225小時(shí)。又由樣本觀測(cè)值計(jì)算得:需檢驗(yàn)的假設(shè)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為∵

σ2未知,∴用t檢驗(yàn)，3.統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的關(guān)系(1)利用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)可建立區(qū)間估計(jì),反之亦然設(shè)x1,…xn為取自正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本,方差σ2未知接受域?yàn)?亦即將μ0改成μ,便可得到μ的置信度為1-α的置信區(qū)間.其中α為顯著性水平.從而注:在單側(cè)檢驗(yàn)問題中,接受的條件分別相應(yīng)地與置信下限和置信上限一一對(duì)應(yīng).(教材中有誤!)將μ改成μ0,便可得到原假設(shè)的接受條件,從而也就得到了的拒絕條件(檢驗(yàn)水平為α).反之,若我們先確定了μ的置信度為1-α的區(qū)間估計(jì):接受域與置信區(qū)間等價(jià)簡(jiǎn)單地說，即(2)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)的結(jié)果,在解釋上可以有差別對(duì)不同的樣本值,以下幾種情況都可能出現(xiàn):(Ⅰ)接受=0,區(qū)間估計(jì)為(-0.001,0.002);(Ⅱ)接受=0,區(qū)間估計(jì)為(-1000,1500);(Ⅲ)拒絕=0,區(qū)間估計(jì)為(1000,2000);(Ⅳ)拒絕=0,區(qū)間估計(jì)為(0.001,0.002).例如檢驗(yàn)假設(shè)(顯著性水平為α)及作μ的區(qū)間估計(jì)(置信度為1-α).一般說來,用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)作出的結(jié)論,不如區(qū)間估計(jì)那么精細(xì).這一點(diǎn)的根由就在于統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)這種形式固有的粗糙性.二.兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，是來自正態(tài)總體的樣本,兩樣本獨(dú)立。分別記它們的樣本均值為，記樣本方差為。

考慮檢驗(yàn)問題1、σ1,σ2已知時(shí)的兩樣本u檢驗(yàn)故選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:由于當(dāng)μ1=μ2時(shí)，u

~N(0,1).對(duì)于給定的顯著性水平α:的拒絕域?yàn)?的拒絕域?yàn)?的拒絕域?yàn)?2、σ1=σ2=σ但未知時(shí)的兩樣本t檢驗(yàn)由于,且由故選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:當(dāng)μ

1=μ

2時(shí)，t~t(m+n-2).對(duì)于給定的顯著性水平α:的拒絕域?yàn)?的拒絕域?yàn)?的拒絕域?yàn)?設(shè)這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，且分別來自正態(tài)總體N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2),μ1,μ2,σ2均未知。問建議的新操作方法能否提高得率？（取α)

例5在平爐進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)以確定改變操作方法的建議是否會(huì)增加鋼的得率，試驗(yàn)是在同一只平爐上進(jìn)行的。每煉一爐鋼時(shí)除操作方法外，其它條件都盡可能做到相同。先用標(biāo)準(zhǔn)方法煉一爐，然后用建議的新方法煉一爐，以后交替進(jìn)行，各煉了10爐，其得率分別為:標(biāo)準(zhǔn)方法新方法79.181.077.379.180.079.1（1）、m,n充分大時(shí)的大樣本u檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?的拒絕域?yàn)?的拒絕域?yàn)?對(duì)于給定的顯著性水平α:故選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:3、σ12,σ22均未知,但σ12≠σ22

對(duì)于給定的顯著性水平α:其中（2）、m,n不是很大時(shí)的近似t檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?的拒絕域?yàn)?的拒絕域?yàn)?故選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:1、單個(gè)總體方差的χ2檢驗(yàn).設(shè)總體通常假定μ未知，是來自X的樣本,考慮如下三種檢驗(yàn)問題:三、正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)取作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.稱之為χ2檢驗(yàn)法.上述三種檢驗(yàn)問題的拒絕域具有以下形式：Xp(x)α否定域Xf(x)α/2α/2否定域否定域例6某類鋼板每塊的重量X服從正態(tài)分布，其一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)是鋼板的重量的方差不得超過2.現(xiàn)從某天生產(chǎn)的鋼板中隨機(jī)地抽取25塊,得其樣本方差s22,問該天生產(chǎn)的鋼板重量的方差是否滿足要求?（取顯著性水平為α）？(P344)注:若取顯著性水平為α=0.01,則接受H0.這說明顯著性水平對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果有影響!希望找到一個(gè)能“拒絕H0”的最小顯著性水平2、兩個(gè)正態(tài)總體方差比的F檢驗(yàn)此處均未知，考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題:設(shè)來自總體的樣本，是來自總體的樣本，且兩樣

本獨(dú)立。其樣本方差分別為。,故當(dāng)時(shí)，由于的獨(dú)立性及知因此取作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。稱之為F檢驗(yàn)法.設(shè)檢驗(yàn)水平為α,上述三種檢驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)?注:其圖形如χ2檢驗(yàn)法.例7兩機(jī)器加工某種零件，零件的直徑服從正態(tài)分布,總體的方差反映了機(jī)床的加工精度.現(xiàn)從兩機(jī)床各抽取7件和8件產(chǎn)品,直徑數(shù)據(jù)如下,試比較兩機(jī)床精度有無差別?(P345)甲機(jī)床:乙機(jī)床:

例8研究?jī)膳娮蛹碾娮柚担W姆）各6件。設(shè)兩樣本相互獨(dú)立且分別服從正態(tài)分布,,這里均未知。經(jīng)測(cè)：試檢驗(yàn)兩總體均值是否相等？(取α）(取α）例為觀察A,B兩種藥品對(duì)某種疾病的治療效果,(1)選擇n1+n2名患者.n1名用A,n2名用B.(2)選擇n對(duì)患者,每對(duì)患者在條件上盡可能一致,每對(duì)中一名用A,另外一名用B.顯然,方法(2)的觀察效果更準(zhǔn)確.它排除了諸多不可控因素的影響.四.成對(duì)數(shù)據(jù)比較檢驗(yàn)法(補(bǔ)充內(nèi)容)一般模型:設(shè)有兩個(gè)需要進(jìn)行比較的“處理”,選擇n對(duì)“實(shí)驗(yàn)單元”,每對(duì)中兩個(gè)實(shí)驗(yàn)單元條件盡可能一致,而不同對(duì)之間則不要求一致.在每一對(duì)內(nèi),隨機(jī)分配實(shí)驗(yàn)單元給處理1和處理2.xi和yi分別表示第i對(duì)實(shí)驗(yàn)單元對(duì)處理1和處理2的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.假定di=xi-yi

~N(μ,σ2),則μ表示處理1平均優(yōu)于處理2的量.兩個(gè)處理的比較歸結(jié)為對(duì)μ的檢驗(yàn)問題.處理1平均優(yōu)于處理2的量為μ0,對(duì)應(yīng)的假設(shè)檢驗(yàn)為:處