2023年新高考復(fù)習(xí)講練必備第27講橢圓（解析）

2023年新高考復(fù)習(xí)講練必備

第27講篇圓

一、知識(shí)梳理

1.橢圓的定義

如果為，尸2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，a是一個(gè)常數(shù)，且2a>「正21,則平面內(nèi)滿足m±imi

=2a的動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡稱為橢圓,其中兩個(gè)定點(diǎn)6稱為橢圓的焦點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距

離尸尸21稱為橢圓的焦距.

其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合M={P||PB|+|PW|=2a},|FIF2|=2C,其中子>0,c>0,且a,c為常

數(shù)：

(1)若a>c,則點(diǎn)P的軌跡為橢圓；

(2)若。=小則點(diǎn)P的軌跡為線段；

(3)若a<c,則點(diǎn)P的軌跡不存在.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

:=l(a泌>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

y

B2

圖形BR慟用

S^A2X

BI

一aWxW。一bWxWb

范圍

-bWyWb-

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)

A\(~a90),A2(a，0),Ai(0,—a)942(0,a)9B\(—

頂點(diǎn)

性S(0,—b),B2(0,b)b,0),&(〃，0)

質(zhì)軸長(zhǎng)軸A\Ai的長(zhǎng)為2a；短軸B\B2的長(zhǎng)為2b

焦距|FIF2|=2C

離心率e=~g(0>1)

a,b,c的關(guān)

c2=a2—b2

系

二、考點(diǎn)和典型例題

1、橢圓的定義及應(yīng)用

【典例1-1】已知耳,K是兩個(gè)定點(diǎn),且陽(yáng)例|=2?（4是正常數(shù)）,動(dòng)點(diǎn)P滿足|歷|+-閭=/+1,則

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）

A.橢圓B.線段C.橢圓或線段D.直線

【答案】C

【詳解】

解：因?yàn)閕+L2a（當(dāng)且僅當(dāng)。=1時(shí)，等號(hào)成立），所以|尸甲+|也|...|月鳥|,

當(dāng)。>0且441時(shí)?，\PFl\+\PF2\>\FiF2\,此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓；

當(dāng)4=1時(shí)，|「耳+|尸耳|=|丁」|,此時(shí)動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是線段耳心.

故選：C.

-）2

【典例1-2】已知橢圓上+匯=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為月，尸2,過(guò)行的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若△匕MN

43

的周長(zhǎng)為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【詳解】

X2y2

由F—=l^>a=2.

43

因?yàn)镸，N是橢圓的上的點(diǎn)，月、鳥是橢圓的焦點(diǎn)，

所以加6+Mg=2a,NFy+NF2=2af

因此△耳MN的周長(zhǎng)為MfJ+MV+NK=叫+知5+”+%與=2Q+2a=4〃=8,

故選：D

）2

【典例1-3】已知橢圓C:￡+g=l（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，工,P是橢圓上一點(diǎn)，

歸用+歸巴卜10,且離心率為4，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

D-fe+30=1

【答案】B

【詳解】

根據(jù)橢圓定義可得|尸￡|+歸聞=2a=10,

所以〃=5,

山離心率e=￡=，所以c=\[5，

a5

由b?=a2-c2=25—5=20,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡+￡=1.

2520

故選：B

【典例1"4】已知橢圓片+￡=1的左、右焦點(diǎn)分別為石，8，點(diǎn)”在橢圓上，若1〃[1=4,則/月加工=

92

（）

A.30°B.60°C120°D.150°

【答案】C

【詳解】

解：由題意，橢圓方程總+]=1,可得4=3力=及,C=x/7二尸="，

所以焦點(diǎn)耳（一行,0）,月（。,0）,

又由橢圓的定義，可得|M用+|M閭=2?=6,因?yàn)镮用41=4,所以|用司=2,

在△石〃工中，由余弦定理可得|百用2TM用2+阿用2一2眼用眼閭cosN不明，

22

所以（2療>=4+2-2x4x2cosZFtMF2,解得cosN￡Mg=-g,

又由/耳用工€（0,180）,所以NRM居=120.

故選:C.

【典例⑸已知點(diǎn)P在橢畦上，1與鳥分別為左、右焦點(diǎn)，若/月尸乙=胃27r，則△月2工的

面積為（）

A.4也B.6GC.8上D.1373

【答案】A

【詳解】

]PM|+|P閭=8

由，c°s”PF一陷「+隨舊阜小,又忸瑪|=4",解得|P耳歸國(guó)=16,

耳吟4困陷

5刖”=1|P/*||P/s|sinZFlP^=ixl6x21=4V3.

故選：A.

2、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

?>2

【典例2-1】橢圓「+:=1的左右焦點(diǎn)分別為￡,八，右頂點(diǎn)為B,點(diǎn)A在橢圓上，滿足

a~b~

6=4B?=60。，則橢圓的離心率為（）

A.3B.V13-3

2

C.2x/3-3D.V3-1

【答案】B

【詳解】

由？￡4乙1ABFZ,?AFtF2?"3得?酒區(qū)4,故|Af；「=|耳用彳B制，即|A￡|=J2c(a+c),故

|A段=2a-J2c(a+c),|耳劇=2c,在AA/^中，由余弦定理可得：

22

FtF^=AFt+AF2-2AFtAF2cofi60,

4c2=(J2c(a+c))+氟-J2c(a+c)-(J2c(a+c))氟-J2c(a+c),化簡(jiǎn)得

一(a-c)——?(a.——c),即2+e=3.----,則e3+5e2-lOe+4=0,

32Na+cY1+e

e3+5e2-10e+4=0?(e31)+5仰-2e+l)=0?5(e1)仔+6e-4)=0,因?yàn)閑wl,JWtte2+6e-4=0

角笨得e=Vi5-3或-g-3(舍)，

故選：B.

9222

【典例2-2】橢圓C|：三+二=1與雙曲線G：「-1=1的離心率之積為1,則雙曲線G的兩條漸近

43a2b-

線的傾斜角分別為（）

7t7t?7t7t一兀57tc兀2兀

A.一，--B.——C.一,—D.—

66336633

【答案】D

【詳解】

2222

因?yàn)闄E圓G：—?■?匕=1與雙曲線。2：—j■-5~=1的禺心率之積為1，

43a1b~

所以彳I?-3心:=]=〃=3〃2=匕=百〃，

2a

因此雙曲線C2的兩條漸近線方程為：y=±2xn），=土氐，

a

TT27r

所以雙曲線G的兩條漸近線的傾斜角分別為三，y.

故選：D

22

【典例2-3】已知點(diǎn)A、B為橢圓E:「+烏=1（">"0）的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若直線出，PB

ab~

的斜率之積的范圍為則橢圓E的離心率的取值范圍是（）

因?yàn)槠矫鍹N&L平面MN￡,平面平面MN5=MN,3鳥u平面M叫,

BF2上MN,「.Bf；_L平面MNE，

???36u平面MN耳，/.BF2lBF]t又因?yàn)锳^J_MN,

平閭2=|明「+|明2中娟氣四川叫2

=9cos26+(3sin。-2cosO)?+4sin2^=13-12sin0cos^=13-6sin2^,

則0<2夕<萬(wàn)，故當(dāng)2。竹時(shí)，即當(dāng)"5時(shí)，|明取得最小值近,

則在翻折前，在△用耳工中，MN為N”"E的角平分線，

4_幽_幽二3

所以,5.一|阿一版「2’即"天

故選:A.

3、橢圓的綜合應(yīng)用

22

【典例3-1］（多選）已知橢圓C:二+二=1的左，右焦點(diǎn)分別為耳，鳥，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為

62

A,B.若P,。兩點(diǎn)都在橢圓C上，且尸，Q關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則（）

A.伊。|的最大值為"

B.IP用+IQ用為定值

C.橢圓上不存在點(diǎn)M,使得5

D.若點(diǎn)尸在第一象限，則四邊形AP8。面積的最大值為2指

【答案】BD

【詳解】

如圖所示：

A.的最大值為長(zhǎng)軸長(zhǎng)26，故錯(cuò)誤；

B.易知「我衛(wèi)工是平行四邊形，則「鳥=。-，因?yàn)樾?%=2"，所以用+。6=2幾，故正確；

C.因?yàn)閠an/耳AO=E=J5>1,所以f<N￡AO<g,則［</f；A居<乃，故橢圓上存在點(diǎn)M,使得

b422

MFJM%故錯(cuò)誤；

D.直線A3所在直線方程為：丁=一方（工一卡），QPx+x/3y->/6=0,設(shè)P（>/^cose,asine）,則點(diǎn)尸到

直線A8的距離為，五國(guó)巾+彳尸，其最大值為=網(wǎng)6-1）,同理點(diǎn)。到直線A8的最大

a=------------------a

292

值為“，=四句）,所以四邊形AP8。面積的最大值為

max2

=1M.（”皿+CJ=g?2近?=2幾，故正確.

故選：BD

【典例3-2］（多選）過(guò)桶圓卷+］=1的中心任作一直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，耳，居是橢圓的左、右焦

2510

點(diǎn)，A,8是橢圓的左、右頂點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.AP。6周長(zhǎng)的最小值為18

B.四邊形2片。鳥可能為矩形

-2Q"1「X2-

C.若直線以斜率的取值范圍是,則直線PB斜率的取值范圍是

D.麗?麗的最小值為-1

【答案】AC

【詳解】

A：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，|叫+|「閭+|。閭=|「。|+|尸耳+|尸耳|=|尸。+10,當(dāng)P0為橢圓的短軸時(shí)，|尸。

有最小值8,所以APQ鳥周長(zhǎng)的最小值為18,正確;

B；若四邊形PFQg為矩形，則點(diǎn)尸，Q必在以耳鳥為直徑的圓上，但此圓與橢圓《+《=1無(wú)交點(diǎn)，錯(cuò)

2516

誤;

C設(shè)P（"。），則5%16,因?yàn)橹本€外斜率的范圍是

%+5XQ—5xj—25xj—2525

2882

，所以直線P8斜率的范圍是，正確;

D：設(shè)P伍,為）,則

麗方=（-3-與,一%）.（5-%,-％）=心2%-15+巾=片-2%-15+16（1總）總卜。-高二￡.因

為-54/45,所以當(dāng)天=富時(shí)，西.而最小值為一學(xué)，錯(cuò)誤.

故選：AC.

【典例3-3］（多選）已知橢圓C:二+匯=1的左，右焦點(diǎn)分別為耳，心，A,8兩點(diǎn)都在C上，且A,B

關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則（

A.|AB|的最大值為26|A周+怛用為定值

C.C的焦距是短軸長(zhǎng)的2倍存在點(diǎn)4,使得心

【答案】ABD

【詳解】

解：由題意,cr=6,b2=2,c2=a2-b2=4,

所以。=卡,。=夜,c=2,|AB區(qū)2〃=2#,-7=V2,所以A正確，C錯(cuò)誤;

由橢圓的對(duì)稱性知，恒6|+忸用=|A婿+|AB|=2a=2遙，所以B正確;

6+6—42

當(dāng)人在八，軸上時(shí)，cos/^A居二<0,則NKAK為鈍角，所以存在點(diǎn)八，使得A耳，A鳥，所以D

2x6

正確.

故選：ABD.

22

【典例3-4】已知橢圓C:￡+￡=1（“>b>0）的兩焦點(diǎn)分別為耳（-1,0）和區(qū)（1,0）,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為

伍詞.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

（2）橢圓C上是否存在一點(diǎn)P,使得Pf；_LP耳？若存在，求△/,耳心的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】⑴

由焦點(diǎn)坐標(biāo)知c=l,由短軸端點(diǎn)（0，@知b=G，所以片=/+。2=3+1=4,

故所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為《+￡=1.

假設(shè)橢圓C上存在一點(diǎn)P?,%