山東省淄博市沂源縣2022年中考二模數學試題（含答案與解析）

2022年初中學業(yè)水平模擬考試

數學試題

X注意事項：

L本試卷滿分為150分,考試時間為120分鐘.

2.答題前，考生先將自己的“姓名”、“考號”、“考場”、“座位號”在答題卡上填寫清

楚，將“條形碼”準確粘貼在條形碼區(qū)域內.

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草

稿紙、試題紙上答題無效.

4.選擇題必須使用25鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工

整、筆跡清楚.

5.保持卡面整潔，不要折疊、不要弄臟、不要弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

一、選擇題：本題共12小題，在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正

確的選項選出來.每小題5分，共60分，錯選、不選或選出的答案超過一個，均記0分.

1.下列四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）.

2.下列圖形中，由/1=/2能得到AB//C。的是（）

3.使J三有意義x的取值范圍是（)

A.x<3B.x<3C.x>3D.x>3

4.下列說法不正確的是（）

A.了解玉米新品種“農大108”的產量情況適合作抽樣調查

B.了解本校八年級2班學生業(yè)余愛好適合作普查

C.明天的天氣是晴天是隨機事件

D.為了解A市20000名學生中考成績，抽查了500名學生成績進行統(tǒng)計分析，樣本容量是500名

5.命題“關于x的一元二次方程/+法+1=（）,必有實數解.”是假命題.則在下列選項中，可以作為

反例的是（）.

A.b=-3B.b=-2C.b=-lD.b=2

6.為了參加全校文藝演出，某年級組建了46人的合唱隊和30人的舞蹈隊，現根據演出需要，從舞蹈隊中

抽調了部分同學參加合唱隊，使合唱隊的人數恰好是舞蹈隊的人數的3倍.設從舞蹈隊中抽調了x人參加合

唱隊，可得正確的方程是（）

A.3（46-x）=30+xB.46+x=3（30-x）

C.46-3x=30+xD.46-x=3（30-x）

7.如圖，四邊形ABC。中，ZA=90°,AB=S,A￡>=6,點N分別為線段8C,A8上的動點

（含端點，但點M不與點8重合），點E，F分別為DM，MN的中點，則所長度的最大值為（）

8.如圖1,已知平行四邊形ABCD中，點E是AB邊上的一動點（與點A不重合），設AE=x,DE的延長

線交CB的延長線于點F,設BF=y,且y與x之間的函數關系圖象如圖2所示，則下面的結論中不正確的

是（）

D

AAD=2B.當x=l時，y=6

4

C.若AD=DE，則BF=EF=1D.若BF=2BC,則AE=—

3

9.如圖，要在寬為22米的九州大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CO長2米，且與燈柱成120°角，路

燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CO垂直，當燈罩的軸線。。通過公路路面的中心線時照明效

果最佳，此時，路燈的燈柱BC高度應該設計為（）.

A.（11-2夜）米B.（11G-2點）米

C.（11-2⑹米D.（116-4）米

10.如圖，蘭博基尼某車型車門設計屬于剪刀門設計，即車門關閉時位置如圖中四邊形ABCD,車門打開

是繞點A逆時針旋轉至CD與AD垂直，已知四邊形ABCD與四邊形AB'CD'在同一平面，若

AD〃BC,ZD=45°,/DAB'=30°,CD=60cm,則AB的長約為（）（有心1.7）

A.21cmB.42cmC.51cmD.60cm

11.甲、乙兩車分別從M,N兩地沿同一公路相向勻速行駛，兩車分別抵達N,M兩地后即停止行駛.已

知乙車比甲車提前出發(fā)，設甲、乙兩車之間的路程S（km）,乙行駛的時間為f（h）,S與f的函數關系如

圖所示.有下列說法：

①“、N兩地之間公路路程是300km,兩車相遇時甲車恰好行駛3小時

②甲車速度是80km/h,乙車比甲車提前1.5個小時出發(fā)：

③當。=5。1）時一，甲車抵達N地，此時乙車離M地還有20km的路程；

21（3、

④。二一，6=280,圖中P,。所在直線與橫軸的交點恰%,0.

4\2；

其中正確是（）.

A.①②B.0@C.③④D.②④

12.如圖所示，矩形4BC。中，AD=a,AB=b,若要使8c邊上至少存在一點P,使AABP、ZAPD、“DP

兩兩相似，則。，〃間的關系一定滿足（）.

7

A.a>2bB.a>—bC.a>4bD.a>5b

2

二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分，只要求填寫最后結果.

13.據統(tǒng)計，某市志愿者人數已達109萬人，將109萬人用科學記數法表示應為.

14.數據a,4,2,5,3的中位數為b,且a和b是方程x?-10x+24=0的兩個根，貝ijb是.

15.三棱柱的三視圖如圖所示，AEFG中，EF=8cm,EG=12cm,NEGF=30。，則AB的長為cm.

左視圖

d主視圖~iC

AB

E

俯視圖

16.從—3,-2,-1,0,1,2,3這七個數中隨機抽取一個數記為a,則a值是不等式組J2

2x<3+6x

的解，但不是方程d—3x+2=0的實數解的概率為.

17.在平面直角坐標系X。），中，拋物線y=奴2+4x+c（a/0）經過點A（3,T）和8（0,2）.將拋物線

在A、B之間的部分記為圖象M（含A、B兩點）.將圖象“沿直線x=3翻折，得到圖象M若過點

C(9,4)的直線y=a，+〃與圖象M、圖象N都相交，且只有兩個交點，則〃的取值范圍_____.

三、解答題：本大題共7小題，共70分，解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.

18.化簡：士工+(a+1)+廣1.

a-1a~—2a+1

19.已知：線段〃和44C8.求作：點O,使點。在N4cB的內部，CO=a,且O到NACB的兩邊距離

相等.

20.某運動品牌店對第一季度4、B兩款運動服的銷售情況進行統(tǒng)計，兩款運動服的銷售量及總銷售額如

圖所示：

(1)一月份4款運動服的銷售量是B款的號，則一月份8款運動服銷售了多少件？

(2)根據圖中信息，求出這兩款運動服的單價.

21.如圖，直線y=x+l與y軸交于A點，與反比例函數y=*>0)的圖像交于點M,過M作軸

于點H,且tan/A"O='.

2

(1)請直接寫出女的值;

（2）設點N（l,a）是反比例函數y=?x>0）圖像上的點，在y軸上是否存在點尸，使得PM+PN最小？

若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

22.在AABC中，NA3C=60°,3c=12,AD是BC邊上的高，E,F分別為邊AB,AC的中點.當

AD=6時，8c邊上存在一點Q,使NEQE=90°,求此時8。的長.

23.已知拋物線q頂點為4（一1,4）,與〉軸的交點為0（0,3）.

（1）請直接寫出。的解析式；

（2）若直線4：y=x+，”與q僅有唯一的交點，求小的值；

（3）若拋物線q關于），軸對稱的拋物線記作平行于x軸的直線記作=試結合圖形回答：當

〃為何值時，4與。和。2共有：①兩個交點；②三個交點；③四個交點.

24.如圖，在Rt^ABC中，ZACB^9Q°,AB=5,AC=3,過點C作直線MN〃AB,點P為直線

MN上的一動點（不與C點重合），的平分線交BC于￡設CP=x,AP=y.

（1）若以與線段BC交于點。，且CP=1,求CD的長；

（2）若人鉆￡為等腰三角形，求y關于x的函數關系式；

（3）若以與線段BC交于點。，△AEP是直角三角形，求CP的長.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正

確的選項選出來.每小題5分，共60分，錯選、不選或選出的答案超過一個，均記0分.

1.下列四個圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）.

A.

【答案】A

【解析】

【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念進行判斷即可.

【詳解】A.選項圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意：

B.選項圖形是中心對稱圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；

C.選項圖形是中心對稱圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；

D.選項圖形是中心對稱圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折

疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合，熟練掌握知識點是解題的關

鍵.

2.下列圖形中，由N1=N2能得到AB//CD的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】在三線八角的前提下，同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩

直線平行.據此判斷即可.

【詳解】解：A、N1、/2是同旁內角，由Nl=/2不能得到AB〃C￡）；

B、由N1=N2能得到AB〃CO；

C、/1=/2能得到4（7〃8。，不能得到AB〃C￡>；

D、由N1=N2不能得到AB〃C￡）.

故選B.

【點睛】本題考查了平行線的判定，解題的關鍵是注意平行線判定的前提條件必須是三線八角.

3.使J三有意義的x的取值范圍是（）

A.A<3B.x<3C.x>3D.x>3

【答案】c

【解析】

【分析】先根據二次根式有意義的條件列出關于X的不等式，求出X的取值范圍即可.

【詳解】解：???式子有意義，

.*.x-3>0,

解得走3.

故選C.

【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式具有非負性是解答此題的關鍵.

4.下列說法不正確的是（）

A.了解玉米新品種“農大108”的產量情況適合作抽樣調查

B.了解本校八年級2班學生業(yè)余愛好適合作普查

C.明天的天氣是晴天是隨機事件

1）.為了解A市20000名學生中考成績，抽查了500名學生成績進行統(tǒng)計分析，樣本容量是500名

【答案】D

【解析】

【分析】根據抽樣調查、普查、隨機事件、樣本容量的定義進行判斷即可.

【詳解】A：不可能對所有玉米新品種“農大108”的產量進行調查，所以可以采用抽樣調查，故本說法

正確；

B：因為八年級2班的學生是一個人數較少的整體適合作普查，故本說法正確；

C：因為不知道明天是否是晴天，所以明天的天氣是晴天是隨機事件，故本說法正確；

D：因為要了解學生中考成績，因此樣本容量是500,而不是500名學生，故本說法不正確，

故選：D.

【點睛】本題考查了抽樣調查、普查、隨機事件、樣本容量的定義，尤其是對樣本的理解很重要，本題中

的D選項，樣本是學生的成績而不是學生.

5.命題“關于x的一元二次方程f+bx+l=0,必有實數解.”是假命題.則在下列選項中，可以作為

反例的是（）.

A.b=—3B,b=—2C.b=~\D.b-1

【答案】c

【解析】

【分析】由方程有實數根，得到根的判別式大于等于0,求出b的范圍即可做出判斷.

【詳解】解：方程x2+bx+\=o必有實數解，

△=/一420，

解得：力4—2或匕22,

故6=-1時，可以說明命題“關于x的一元二次方程x2+云+1=0,必有實數解.”是假命題，

故選C.

【點睛】此題考查了命題與定理，以及根的判別式，熟練掌握舉反例說明命題為假命題的方法是解題的關

鍵.

6.為了參加全校文藝演出，某年級組建了46人的合唱隊和30人的舞蹈隊，現根據演出需要，從舞蹈隊中

抽調了部分同學參加合唱隊，使合唱隊的人數恰好是舞蹈隊的人數的3倍.設從舞蹈隊中抽調了x人參加合

唱隊，可得正確的方程是()

A.3(46-x)=30+xB.46+x=3(30-x)

C.46-3x=30+xD.46-x=3(30-x)

【答案】B

【解析】

【詳解】由題意可知，從舞蹈隊中抽調了x人參加合唱隊后，舞蹈隊現有(30-x)人，合唱隊現有(46+x)

人，根據抽調后“合唱隊的人數恰好是舞蹈隊的人數的3倍”可得方程：

46+x=3(30—x).

故選B.

點睛：(1)舞蹈隊減少的人數就是合唱隊增加的人數；(2)本題等量關系是：調動后，合唱隊的人數=3x

舞蹈隊的人數.

7.如圖，四邊形A8C。中，NA=90°,A3=8,AO=6,點/，N分別為線段8C,A8上的動點

(含端點，但點M不與點B重合)，點E，/分別為Z)M，MN的中點，則EP長度的最大值為()

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

【解析】

【分析】連接。M根據三角形中位線定理得到根據題意得到當點N與點B重合時，DN最

大，根據勾股定理計算，得到答案.

【詳解】解：連接DM

?.?點E,尸分別為。M,MN的中點，

:.EF是叢MND的中位線，

:.EF=；DN,

???點M,N分別為線段BC,AB上的動點，

當點N與點8重合時，DN最大,此時點心〃）+心=10,

長度的最大值為：!xl0=5,

故選：D.

【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊

的一半是解題的關鍵.

8.如圖1,已知平行四邊形ABCD中，點E是AB邊上的一動點（與點A不重合），設AE=x,DE的延長

線交CB的延長線于點F,設BF=y,且y與x之間的函數關系圖象如圖2所示，則下面的結論中不正確的

是（）

D

A.AD=2B.當x=l時，y=6

4

C若AD=DE，則BF=EF=1D.若BF=2BC,則AE=一

3

【答案】C

【解析】

【分析】由平行四邊形的性質得邊平行，進而推得等角，從而得相似，寫出比例式，代入（2,2）,（4,0）,

得函數解析式，在結合每個選項的條件分析即可.

【詳解】解：YABCD為平行四邊形

???AD〃BC,AB/7DC

.\ZF=ZADF,ZFBE=ZA

AABFE^AADE

.BFBE

**AD-AE

設AB=a,AD=b

則BE=AB-AE=a-x

???y—=a---x

bx

??,圖象過點(2,2),(4,0)

a=4,b=2

故A正確；

Va=4,b=2

8

y=--2

x

，當x=l時,y=6,故B正確；

若AD=DE,貝IJ/A=NAED

VZA=ZFBE,ZAED=ZFEB

???ZFBE=ZFEB

JBF=EF

???若AD=DE,則總有BF二EF,它們并不總等于1,故C不正確；

若BF=2BC,

..BFBE

?~AD~~AE

.2BC4-AE

~BC~AE

4

解得AE=一

3

故D正確.

故選C.

【點睛】本題是動點問題的函數圖象問題，綜合考查了平行四邊形的性質，相似三角形，等腰三角形的性

質與判定，解題關鍵在于注意數形結合的運用.

9.如圖，要在寬為22米的九州大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CO長2米，且與燈柱3c成120。角，路

燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線。。與燈臂8垂直，當燈罩的軸線。。通過公路路面的中心線時照明效

果最佳，此時，路燈的燈柱BC高度應該設計為（）.

A.（11-2夜）米B.（11G-2點）米

C.（11-2⑹米D.（116-4）米

【答案】D

【解析】

【分析】出現有直角的四邊形時，應構造相應的直角三角形，利用相似求得P&PC,再相減即可求得BC

長.

【詳解】解：如圖，延長。。，BC交于點P.

,：ZODC=ZB=90°,ZP=30°,08=11米，C￡>=2米，

在直角中，OP=OC?cot30°=273w.PC=CD+（sin30°）=4米，

,:NP=NP,ZPDC=ZB=90°,

:ZDCs2PBO,

.PDCD

??_____一______f

PBOB

?PRPDOB273x11r-

??iB=------------=-------------=11/3米,

CD2

:.BC=PB-PC=(1173-4)米.

故選：D.

【點睛】本題通過構造相似三角形，綜合考查了相似三角形的性質，直角三角形的性質，銳角三角函數的

概念.

10.如圖，蘭博基尼某車型車門設計屬于剪刀門設計，即車門關閉時位置如圖中四邊形ABCD,車門打開

是繞點A逆時針旋轉至CD與AD垂直，已知四邊形ABCD與四邊形AB'CD'在同一平面，若

AD〃BC,ZD=45",NDAB'=30°,CD=60cm,則AB的長約為（）（百七1.7）

Df

A.21cmB.42cmC.51cmD.60cm

【答案】B

【解析】

【分析】設AD與B'C'交于G,過B'作B'FJLAD于F,延長D'C交AD于E,根據旋轉的性質得

到ND'=/D=45°,AB'=AB,CD'=CD=60cm,根據等腰直角三角形的性質得到C'E=GE,求

得AG=C'D'=60,解直角三角形即可得到結論.

【詳解】解：設ADVB'C'交于G,

過B，作B'F_LAD于F,延長D'C交AD于E,

由旋轉的性質得，ZD'=ZD=45°,AB'=AB,CD'=CD=60cm,

VDC,lAD,

.,./AED'=90°,

.?.△AED'是等腰直角三角形，

.\AE=D,E,

?：AD//BC,

.?.AD'//B'C,

/.△GC,E是等腰直角三角形，

.*.C,E=GE,

：.AG=CD'=60,

VZFGB,=/C'GE=45°,

.,.FG=FB,,

VZDAB,=30°,

.,.AF=73FBZ,

+V3FB,=60,

.?.FB'=30（73-1），

.-.AB=AB/=2FB'=60（無1）=42cm.

故選B.

D'

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的判定和性質，解直角三角形，正確的作出輔助線構造

直角三角形是解題的關鍵.

11.甲、乙兩車分別從M,N兩地沿同一公路相向勻速行駛，兩車分別抵達N,例兩地后即停止行駛.已

知乙車比甲車提前出發(fā)，設甲、乙兩車之間的路程S(km),乙行駛的時間為f(h),S與f的函數關系如

圖所示.有下列說法：

①M、N兩地之間公路路程是300km,兩車相遇時甲車恰好行駛3小時

②甲車速度是80km/h,乙車比甲車提前1.5個小時出發(fā)；

③當f=5(h)時，甲車抵達N地，此時乙車離M地還有20km的路程；

21(3、

？，匕=280,圖中P,。所在直線與橫軸的交點恰J,0.

其中正確的是().

A.①②B.②③C.③④D.②④

【答案】D

【解析】

【分析】由圖象轉折點在1.5小時處可知乙車比甲車提前1.5小時出發(fā)，圖象中6為乙車到M地時甲車行

駛的路程，。為甲車抵達N地的時間，利用路程、速度和時間的關系分別求出兩車的速度，a,b,再利用

待定系數法求出P,Q所在直線的解析式，依次判斷即可.

【詳解】解：當f=0H寸，S=3(X),可知M、N兩地之間公路路程是300km；當f=3時，S=0,可知

兩車相遇時乙車恰好行駛3小時，由乙車比甲車提前出發(fā)可知①錯誤；

根據圖象可知，乙車的速度為(300-210)+1.5=60(km/h),甲車的速度為

210+(3—L5)-60=80(km/h),由圖象轉折點在1.5小時處，故乙車比甲車提前1.5個小時出發(fā)，②正

確；

乙車到M地的時間為：300^60=5(h),即當f=5(h)時，乙車到M地，③錯誤；

乙車到M地時，甲車行駛的路程為：h=80x(5—1.5)=280(km),甲車抵達N地的時間為：

a=300+80+1.5=5.25(h),

設P,。所在直線的解析式為5=依+",

將P(5,280),Q(5.25,300)代入，

[280=5^+/?

得！，

[300=5.25左+b

k=80

解得《，，“，

b=-120

因此P,Q所在直線的解析式為S=80x—120,

令S=0得80x—120=0,

3

解得》=一，

2

故P,。所在直線與橫軸的交點恰為(：,()],故④正確；

故選：D.

【點睛】本題考查一次函數的應用，主要利用了路程、速度和時間三者之間的關系，準確識圖并獲取信息

是解題的關鍵.

12.如圖所示，矩形48C。中，AD=a,AB=b,若要使8c邊上至少存在一點P,使AA8P、^APD,KDP

兩兩相似，則a,6間的關系一定滿足().

7

A.a>2bB.a>—bC.a>4bD.a>5b

2

【答案】A

【解析】

【分析】由于AA8尸和AOCP相似，可得出關于48、PC.BP、C￡>的比例關系式.設PC=x,那么BP=a-

x,根據比例關系式可得出關于x的一元二次方程，由于BC邊上至少有一點符合條件的P點，因此方程的

△>0,由此可求出a、8的大小關系.

【詳解】解：若設PC=x，則BP=a-x,

AABPs^pCD,

ABBPba-x

——=——，即an一=----

PCCDxb

即爐皿+〃2=0方程有解的條件是：△=〃一4/0,

Z.(a+2b~)(a-2b)>0,則小2婦0,

,'.a>2b.

故選：A.

【點睛】本題考查相似三角形判定和性質、矩形的性質、一元二次方程根的判別式等知識，解題的關鍵

是學會用轉化的思想思考問題.

二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分，只要求填寫最后結果.

13.據統(tǒng)計，某市志愿者人數已達109萬人，將109萬人用科學記數法表示應為____.

【答案】1.09X106

【解析】

【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為axlO",其中1￡“|<10,〃為整數.

【詳解】解：109萬=1090000=1.09x106.

故答案為：1.09xl06.

【點睛】本題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為ax10"的形式，其中〃為整

數.確定〃的值時，要看把原來的數，變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數

相同.當原數絕對值210時，〃是正數；當原數的絕對值VI時，〃是負數，確定〃與〃的值是解題的關

鍵.

14.數據a,4,2,5,3的中位數為b,且a和b是方程x?-10x+24=0的兩個根，則b是___.

【答案】4

【解析】

【詳解】試題解析:解方程x2-10x+24=0得：x=6或4,

當a=6,b=4時，數據為6,4,2,5,3,數據的中位數為4,符合

當a=4,b=6時，數據為4,4,2,5,3,數據的中位數為4,不符合，

故答案為4.

15.三棱柱三視圖如圖所示，AEFG中，EF=8cm,EG=12cm,NEGF=30。，則AB的長為cm.

左視圖

主視圖__|C

----------AB

E

G

俯視圖

【答案】6

【解析】

【詳解】試題分析：過點E作EQJ_FG于點Q,

E

FQG

由題意可得出：FQ=AB,

：EG=12cm,ZEGF=30°,AEQ=AB=1xl2=6(cm).

2

3x+5>-

16.從-3,-2,0,1,2,3這七個數中隨機抽取一個數記為m則。的值是不等式組12

2x<3+6x

的解，但不是方程V—3%+2=0的實數解的概率為.

2

【答案】y

【解析】

X

3x+5〉—

【分析】分別求出不等式組和一元二次方程的解，從給出的7個數中找出滿足“是不等式組，2

2x<3+6x

的解，但不是方程d—3x+2=0的實數解”的數，利用概率公式即可求解.

Y

【詳解】解：解不等式3x+5>—得x>-2,

2

3

解不等式2x<3+6x得x>-一，

4

3x+5>-3

.??不等式組《2的解集為x>-一，

4

2x<3+6%

—3,-2,-1,0,1,2,3中符合條件的數有：0,1,2,3；

解d一3工+2=0得x=l或x=2,

3x+5〉一

???這七個數中滿足“是不等式組，2的解，但不是方程3工+2=0的實數解”的數只有。和

2x<3+6%

3,

.2

?"的值滿足上述條件的概率為：

9

故答案為：y.

【點睛】本題考查解一元一次不等式組、解一元二次方程和簡單概率計算，讀懂題意，從給出的7個數中

找出滿足條件的數是解題的關鍵.

17.在平面直角坐標系X。)，中，拋物線y=加+4x+c(a/0)經過點A(3,T)和8(0,2).將拋物線

在A、8之間的部分記為圖象M(含A、3兩點).將圖象M沿直線x=3翻折，得到圖象N.若過點

C(9,4)的直線丫=依+匕與圖象M、圖象N都相交，且只有兩個交點，則6的取值范圍.

【答案】-8＜匕＜-2或6=4

【解析】

【分析】把點A、8的坐標代入拋物線解析式，列出關于八c的方程組，通過解該方程可以求得它們的

值.由函數解析式求得頂點坐標，根據題意作出函數圖象，由圖象直接回答問題.

【詳解】拋物線(W0)經過點A(3,-4)和B(0,2),

拋物線的表達式為廣-2^+4x+2.

"-'y=-2x?+4x+2=-2(x-1)2+4,

，頂點坐標為(1,4)；

設點8(0,2)關于戶3的對稱點為則點"(6,2).

若直線產lr+b經過點C(9,4)和￡(6,2),可得氏-2.

若直線產氣+匕經過點C(9,4)和A(3,-4),可得b=-8.

直線y=kx+b平行x軸時，b=4.

3

2

1

45/6789

-5|-/：

綜上，-8＜人〈-2或3=4.

故答案為：-8＜6＜-2或6=4.

【點睛】考查了二次函數圖象與幾何變換，待定系數法求二次函數的解析式.解題時，注意數形結合，使

抽象的問題變得具體化.

三、解答題：本大題共7小題，共70分，解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.

18.化簡：^^+3+1)+/I

(i~\—2a+1

【解析】

【分析】把冬U2*a+i）轉化為血士2x」一,分別用提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法把

a-\a—\a+\

。+、2/一。+分解因式，然后把分子分母中的公因式約去，再按分式的加法法則計算

22fl-h21

2(a+l)*1?(a+l)(D

【詳解】解:原式=

a-\a+1(a-I)2

2a+\

a+3

ct—\

【點睛】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式混合運算的運算法則是解答本題的關鍵，本題也考查

了因式分解.

19.已知：線段a和Z4C8.求作：點。，使點。在4C8的內部，CO=a,且。到NAC8的兩邊距離

相等.

【答案】見解析.

【解析】

【分析】先利用尺規(guī)作圖作出NACB的平分線，再以點C為圓心，線段a的長度為半徑畫弧，與角平分線

的交點即為所求點0.

【詳解】解:

①作ZACB的平分線CD,

②在C。上截取CO=a,點。即為所求.

【點睛】本題主要考查作圖一復雜作圖，解題的關鍵是熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖和角平分線的性質.

20.某運動品牌店對第一季度A、B兩款運動服的銷售情況進行統(tǒng)計，兩款運動服的銷售量及總銷售額如

圖所示：

（1）一月份A款運動服的銷售量是8款的則一月份B款運動服銷售了多少件？

（2）根據圖中信息，求出這兩款運動服的單價.

【答案】（1）40件；（2）A款運動服的單價為750元，B款運動服的單價為100元

【解析】

【分析】（1）根據A款運動服的銷售量+倍數=8款運動服的銷售量，可計算出一月份8款運動服銷售了

多少件；

（2）設A款運動服的單價為x元，8款運動服的單價為y元，根據費用=單價x數量列出關于x、y的二元

一次方程組，解方程組即可得出結論.

【詳解】解：（1）484-1=40（件）.

答：一月份8款運動服銷售了40件.

（2）設A款運動服的單價為x元，3款運動服的單價為y元,

'48x+40y=40000

根據已知得：<

60x+52y=50200

x=750

解得:

7=100

答：A款運動服的單價為750元，B款運動服的單價為100元.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、條形統(tǒng)計圖與折線統(tǒng)計圖，解題的關鍵：（1）根據數量關系

求出8款運動服的銷售量；（2）列出關于x、），的二元一次方程組.本題屬于基礎題，難度不大，解決該

類題型題目時.，根據數量關系列出方程（或方程組）是關鍵.

21.如圖，直線y=x+l與y軸交于A點，與反比例函數.y=；（x>0）的圖像交于點M,過M作軸

于點H,且tanZAHO=—

2

(1)請直接寫出左的值；

(2)設點N(l,a)是反比例函數y=；a>0)圖像上的點，在y軸上是否存在點尸，使得PM+PN最小?

若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)6(2)存在，(0,5)

【解析】

【分析】(1))對于直線y=x+l,令4。求出y的值，確定出A坐標，得到OA的長，根據tan/AHO的

值，利用銳角三角函數定義求出OH的長，根據垂直于x軸，得到M橫坐標與A橫坐標相同，再由M

在直線)=x+l上，確定出M坐標，代入反比例解析式求出&的值即可；

(2)將N坐標代入反比例解析式求出a的值，確定出N坐標，過N作N關于y軸的對稱點連接

MNi,交y軸于P,此時PM+PN最小，由N與Ni關于)，軸的對稱，根據N坐標求出M坐標，設直線

的解析式為廣履+"把M,M的坐標代入求出女與人的值，確定出直線的解析式，令x=0求出y的

值，即可確定出P坐標.

【小問1詳解】

由y=x+l可得A(0,l),即。4=1,

八〃八1OA

,：tanZAHO=—=---,

2OH

:.OH=2,

J_x軸，

???點例的橫坐標為2,

,?,點股在直線y=x+i上，

，點例的縱坐標為3,即M(2,3),

?點M在反比例函數y=§(x>0)的圖像上，

.,.攵=2x3=6；

【小問2詳解】

?.?點N(l,a)在函數y=9的圖像上，

X

：.a=6,即點N的坐標為(1,6),

作N關于y軸的對稱點N「連接MN一交y軸于尸（如圖），此時PM+PN最小,

：N與乂關于），軸的對稱，N點坐標為（1,6）,

...M的坐標為（一1,6）,

6=-k+b

設直線的解析式為>=h+匕，把M,2的坐標得，

3=2%+。

f%=—1

解得《

b=5

：.直線MN】的解析式為y=-X+5,

令x=0,得y=5,

.?.P點坐標為（0,5）.

【點睛】此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：銳角三角函數定義，待定系數法求一次函數解析

式，對稱的性質，以及一次函數與坐標軸的交點，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵.

22.在AABC中，2430=60°,BC=12,AO是BC邊上的高，E,尸分別為邊AB,AC的中點.當

A￡>=6時，BC邊上存在一點Q,使NEQE=90°,求此時BQ的長.

【答案】3+6

【解析】

【分析】根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EF,再判斷出EF到BC的距離等

于E尸的一半，取E尸的中點0,過點。作。QLBC與Q,根據等腰直角三角形的性質，點。即為所求的

點，過點E作EGLBC于G,先求出EG,GQ,再解直角三角形求出BG,然后根據8&BG+G。計算即

可得解.

【詳解】解：???￡、尸分別為邊48、AC的中點，

：.EF//BC,EF=gBC,

?：BC=U,

：.EF=6,

取EF的中點。，過點。作OQJ_BC與Q,過點E作EGLBC于G,

是BC邊上的高，AD=6,

OQ=EG=；x6=3,

點Q即為所求的使NEQF=90。的點，

-JEF//BC,EG//OQ,OE=OQ=3,

...四邊形。EQG是正方形，

：.GQ=0Q=3,

???點E是AB的中點，

.?.EG是AABO的中位線，

，EG=；AO=3,

；NABC=60。，

二BG=—￡G=—x3=V3-

33

：.BQ=BG+GQ=3+y/3.

【點睛】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，解直角三角形，正方形的判定

與性質，熟記定理并作輔助線構造出直角三角形和正方形是解題的關鍵.

23.已知拋物線q的頂點為4(-1,4),與y軸的交點為0(0,3).

(1)請直接寫出。的解析式；

(2)若直線4：y=x+，"與。僅有唯一的交點，求膽的值；

(3)若拋物線。關于)，軸對稱的拋物線記作。2,平行于x軸的直線記作4：y=〃.試結合圖形回答：當

〃為何值時，4與C1和。2共有：①兩個交點；②三個交點；③四個交點.

【答案】(1)y=-x2-2x+3

21

(2)m=—

4

(3)①〃=4；②力=3；③3<〃<4或〃<3

【解析】

【分析】(1)設拋物線CI的解析式為y=a(x+l)2+4,把。(0,3)代入y=a(x+l)2+4即可得到結

論；

(2)解方程組得到X?+3x+/”一3=0，由于直線/i：)=x+?7與ci僅有唯一的交點，于是得到A=9-

4m+12=0,即可得到結論；

(3)根據軸對稱的性質得到拋物線C2的解析式為：y=-/+2x+3,根據圖象即可得出結論；

小問1詳解】

???拋物線。的頂點為A(-1,4),

??.設拋物線ci的解析式為y=a(x+l)2+4,把0(0,3)代入y=a(x+l>+4得3=a+4,；.a=-1,

.??拋物線a的解析式為：y=—(x+l)2+4,

即y=-x2-2x+3；

【小問2詳解】

y=—x2—2x+3

解〈得+3%+加一3=0，

y=x+m

;直線/i：y=x+m與ci僅有唯一■的交點，

,A=9-4m+12=0

._21

4；

【小問3詳解】

V拋物線C,關于y軸對稱的拋物線記作Q，

...拋物線的頂點坐標為(1,4),與y軸的交點為(0,3),

.??拋物線的解析式為y^-x2+2x+3,

...①當直線4過拋物線9的頂點(T,4)和拋物線記作6的頂點0，4)時，

即”=4時:4與4和。2共有兩個交點；

②當直線，2過。(0,3)D時，即〃=3時，，2與q和。2共有三個交點；

③當3<〃<4或〃<3時，4與。和Q共有四個交點.

【點睛】本題考查了二次函數綜合，待定系數法求解析式，二次函數與直線交點問題，二次函數的平移,

掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

24.如圖，在Rt4ABC中，NACB=90°,AB=5,AC=3,過點C作直線MN〃A3,點P為直線

MN上的一動點(不與C點重合)，"W的平分線交8C于E.設CP=x,AP=y.

(1)若用與線段BC交于點￡>,且CP=1,求CD的長；

(2)若ZXABE為等腰三角形，求y關于x的函數關系式；

(3)若附與線段BC交于點。，AAEP是直角三角形,求CP的長.

【答案】(1)co