NOIP初賽復習19數(shù)論算法基礎

NOIP初賽復習數(shù)論法基礎數(shù)論，是專門研究整數(shù)的純數(shù)學的分支，而整數(shù)的基本元素是素數(shù)（也稱質(zhì)數(shù)），所以數(shù)論的本質(zhì)是對素數(shù)性質(zhì)的研究。數(shù)論被高斯譽為“數(shù)學中的皇冠”。按研究方法來看，數(shù)論大致可分為初等數(shù)論和高等數(shù)論論是用初等方法研究的數(shù)論研究方法本質(zhì)上說，就是利用整數(shù)環(huán)的整除性質(zhì)，主要包括整除理論余論連分數(shù)理論高數(shù)論則包括了更為深刻的數(shù)學研究工具。它大致包括代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、計算數(shù)論等等。解決數(shù)學類問題的思維過程1、相關公式、定理、原理的應2、尋找規(guī)律、歸納整理遞歸與推關系式3、按照數(shù)學方法構造、二進制化等技巧性處理解決數(shù)學類問題的注意事項1、規(guī)律準確（小數(shù)據(jù)手工推算搜索程序驗證）2、數(shù)據(jù)類型是否合理、數(shù)據(jù)范是否超界（大數(shù)據(jù)處理）基本概念最大公約數(shù)問題：給定，算方法：舉法從到枚，并判斷是能同時整除和如可以則出退出循環(huán)。方法：解質(zhì)因子，程序如下方法：幾里得算法定理：，序如下：

方法：進制法，程序如下：最小公倍數(shù)問題：計算個整數(shù)的最公倍數(shù)分析：兩個數(shù)的小公倍數(shù)，此類推，可以先求的小公倍，再求與的最公倍數(shù)求b2與的最小公倍數(shù)，序如下：擴展歐幾里得裴蜀定理對任何整數(shù)關未知數(shù)和y的性丟番圖方稱裴蜀等式方程有整數(shù)解當且僅當是的數(shù)。裴蜀等式有解時必然有無多個解。如方程求解的程如下表：計算的數(shù)解，程序如下：歐拉函數(shù)對正整數(shù)，拉數(shù)是小于或等于的中與互的的數(shù)目。此函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，它又稱為、函、歐拉商數(shù)等。例，因為和互。

歐拉函數(shù)的計算可以在分解質(zhì)因子過程中完成。程序如下：素數(shù)素的判定問題：判定一個數(shù)是是素數(shù)。分析：如果是合數(shù)，則一定可以把分解的式，其中如。有：判斷依據(jù)：如果到理。程序如下：

中有的數(shù)則是數(shù)否則是素另外時做特殊處素數(shù)埃篩法問題：找出中的素數(shù)，程序如下：素數(shù)歐篩線篩法以為的歐拉篩法篩選過程部分如下表：注意看上表中篩除的數(shù)一列中每個數(shù)最多只被篩除過一次。程序如下：費馬小定理假如是個整數(shù)是個素數(shù)，那么有：

如如如如時425)費馬小定理應用是互質(zhì)，則：bmodp

注意：不代表

x中的最小正整數(shù)值是如時的小正整數(shù)值是歐拉定理若為整數(shù)，且互質(zhì)即，4費馬小定理是歐拉定理的特殊情因當素數(shù)時歐拉定理應用：互,威爾遜定理威爾遜定理給出了判定一個自然數(shù)是否為素數(shù)的充分必要條件。即：當且僅素數(shù)時：如5)逆元對任意如果則程對有一解。如果則要求的對乘法逆記a注意：設如，對模n的解可能無解也可能不唯一！把改寫成形式方要有解必須滿足

當不滿足時方無因當且時逆不如無；當時利用擴展歐幾里得求的一個特方程的一般解為對解一共有個其中最小值因此只有當時方程對模解是唯一的。如8x對的解有四解而4x模只有一個解為對模的只有它對模的元。中國剩余定理如計算被余分別為所有整數(shù)。分析：根據(jù)題意得以下方程組8)用擴展歐幾里得解出為意整數(shù)中國剩余定理的代碼如下：線性同余方程組

求解過程如下：①一開始方程的解表示為系常為代方程：得②解完方程方組的解為系為常為把代方程中得即解得把代原