3.2立體幾何中的向量方法第3課時 教案

3.2立幾中向方【課題利向量決行垂問【教學目標（）知與能繼理解用向量表示空間平行與垂直的關系和方法；會用向量法和坐標法等方法解決立體幾何中的平行與垂直問.（2過與法在解決問題中，通過數(shù)形合與問題轉化的思想方法，加深對相關內容的理解。（3情態(tài)與值：會把立方體幾何幾何轉化為向量問題優(yōu)勢，培養(yǎng)探精神?！窘虒W重點量法與坐標.【教學難點體幾何中的平行與垂直問題向向量問題的轉.【課前準備Powerpoint課【教學過程設計教學環(huán)節(jié)一習引入

教學活動1．用間向量解決立體幾何問題的“三步曲.2．平與垂直關系的向量表示。

設計意圖為學習新知識做準備二究新一用量理平問知

已知四邊形ABCD,別在其對角線BF上且FAN證：MN//面E

例是道線面平行問題，需要利用共面向量定理來證明。同時介紹解決問題的向量法。FM

N

CA

D分：復習共面向量定理。要解決問題，可以考慮將向MN用向量

,

線性表示出來。聯(lián)系共線向量來理

證明:在方形ABCD與ABEF中,BEFMAN,AC,存實使FMANANEBBAAD)BE)

解。BC)BE

BEMN面M面BC,MN//面BC評：向量p與兩不共線的向量、b共面的充要條件是存在實數(shù)對x,y使p=xa+yb.利用共面向量定理可以證明線面平行問題。本題用的就是量。例形BCD-中,1111面BD//面CB1（圖略）

例2是于面面平行的問題，聯(lián)系幾何定理與向量平行。同時介紹解決問題的坐標法。分：面平行

線面平行

線線平行。證:如分別D、D、11三邊在直線x,軸建空間直角標.正方體棱長,則AB(1,1,0),11CD則1,0,1),B11D//C即線ADC，11則D平BD同理右證：B//平面CD11111平面ABD//平面CD111評：由于三種平行關系可以相互轉化以本題可用邏輯推理來證明向量法將邏輯論證轉化為問題的算法化用量法時需要合理建立空間直角坐標系，方能減少運算量。本題選用了坐法思：一般應如何建立空間直角坐標系？二用量理直題BCDB'C'.CC',.A'F平面B

例3是面垂直問題，圖形和例2一樣是正方體，可進一步訓練坐標法。

（圖略）分：線面垂直線線垂直。證明:如圖取D,DD分別為軸,y軸軸建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為2.A(2,0,0),B(2,2,0),A(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)'(2,2,0),2,1)'0,'DE2,1)A'A'DE,又DDEA'F平面B評：

讓學生體會坐標法的優(yōu)勢。用向量法證明三垂本題若用一般法證明易A’F直于BD證’F直于DE，線定理?；蜃CA垂于EF則較立間坐標系的方法能使問題化難為易。例4，證明在平面內的一條線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直線定理）已知：如圖OB是平面CD求證：CD證明：OA

的斜線O為斜足，B

，為垂，D

A

三習鞏固

ABCDOBCDCD)CDCDAB分別用向量法和坐標法解決以下問題：練習：在三棱柱ABC'C中，底面是正三角形，AA底面BC'C',求證：'AB'

鞏固知識，培養(yǎng)技能

2222

B'向法1,aAAAB,ca0,b2.'A

A''AB'

C

BCAC'0A'c

a

12a)a)b)aa所以，結論成立。坐法證明略設底面邊長為為h如圖建立空間直角坐標系.A(B(0,A'(),'(0,1,),C'(0,h'2,h22.ABBC'

0.''四、小結

利用向量解決平行與垂直問題．向法：利用向的概念技巧運算解決問題。．坐法：利用數(shù)其運算解決問題。兩種方法經常結合起來使用。

反思歸納五、作業(yè)

，直三棱柱

ABC11

中，角ACB直角AC1CB＝2，棱

AA

，側面

AA1

的兩條對角線交點為，

B

的中點為M，求證CD平。，課本p.116第2題練與試

（基礎題）1，直三棱柱—BC中，，則（）A．+－B．－+．－+D．－+－答：，若向量A．C．

、（）B．D．以上三種情況都可能答：，一空間四邊形ABCD的對邊AB與CD，AD與BC都互相垂直，用向量證明：與BD也相垂直．證明：

.

又

，即

.……①

.又

，

即

.……②由①+②得：

即

..，如圖，已知矩形所在平面外一點，PA⊥平面，、分是、PC的中點．（）證EF∥平面PAD（）證EF⊥；證：如圖，建立空間直角坐標系A－xyz設＝，BC＝b，＝c，則(0,0,，(2,0,0)，(2,,0)，(0,2,，(0,0,2)∵E為AB的中，為PC的中∴E(,0,0)，(,b)(1)∵＝bc，＝(0,0,c，＝2,0)∴＝＋)∴與共面又∵E?面∴∥平面PAD．(2)∵＝(-2a,0,0)∴·(-2a,0,0)·(0,b,c)＝∴CDEF．（較難題），對于任何空間四邊形，試證明它的一對對邊中點的連線段與另一對對邊平行于同平面。分析要證明EF、BC、平于同一平面DF

223223（、分為AB、的中要證明相應AEC向量EF與AD、共面即可。B證明：如圖，利用多邊形加法法則可得，

=

+

+

，EF=

++CF…①。又E、分別是AB、CD的點，故有=-將②代入①后，兩式相加得

，DF=-…2

=

+BC，=

11+BC即EF與、共，EF與、BC平行同一平面。注本若用立體幾何知識去證明有一定的難度，由此體會向量法證明的優(yōu)越性。，圖，已知a⊥α,a⊥b,bα,求證α。證明：在α內作不共線向量m,nb∵a、n不共，∴b=xa+ym+zn。a兩邊同乘a得a·=x·aa·m+z··nm∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴ab=0,am=0,an=0n得x·a·a=0而a≠0,∴x=0,b=ym+zn∴b、n為共向量，￠,b∥。，方體ABCD-ABCD中，是A上的F是上的，且E=2EB，CF=2AF，求證：∥平面ABCD。D