03小學(xué)奧數(shù)練習(xí)卷(知識(shí)點(diǎn)容斥原理)后附答案解析

03學(xué)奧數(shù)習(xí)卷（識(shí)點(diǎn)：斥原理題號(hào)

一

二

三

總分得分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫自己的姓、班級(jí)、號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正填寫在答卡上第Ⅰ卷選擇題）評(píng)卷人

得

分一．選題（共2題）1．三年級(jí)有108個(gè)小朋友春游，帶礦泉水的有65人，帶水果的有人，每人至少帶一種．其中既帶礦泉水又帶水果的有（）人．A．19B．20C．21D．222班共有學(xué)生48人中人會(huì)游泳會(huì)騎自行車人會(huì)打乒乓球么，這個(gè)班至少有（）個(gè)學(xué)生這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)．A．4

B．5C．6D．7第Ⅱ卷非選擇題）評(píng)卷人

得

分二．填題（共43題）3．把到81這81正整數(shù)隨意放置在一個(gè)圓周上，統(tǒng)計(jì)所有相鄰的3個(gè)數(shù)的奇偶性后得知，3數(shù)全是奇數(shù)的有25，恰有2個(gè)奇數(shù)的有17組．那么，恰有1個(gè)奇數(shù)的有

組，沒(méi)有奇數(shù)的有

組．4．某校國(guó)標(biāo)舞團(tuán)共43人，其中會(huì)拉丁舞的有15人，會(huì)探戈的13人，兩者都會(huì)的有5人，那兩種都不會(huì)的有

人．

5空軍突擊隊(duì)共有25名士兵每個(gè)人都擅長(zhǎng)射擊和武術(shù)中的一項(xiàng)或者兩項(xiàng)如果士兵中擅長(zhǎng)射擊的有人，擅長(zhǎng)武術(shù)的有12，則兩項(xiàng)均擅長(zhǎng)的士兵有人．6學(xué)們?nèi)ゴ河嗡畨氐挠腥怂挠?0人樣都沒(méi)帶的有6人既帶水壺又帶水果的人數(shù)是所有參加春游人數(shù)的一半，則參加春游的同學(xué)共有

人．7．對(duì)種食物是否含有甲、乙、丙三種維生素進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果是：含甲62種，含乙的90種，含丙的68種，含甲、乙的48種，含甲、丙的36種，含乙、丙的50種，含甲、乙、丙的種．問(wèn)（1）僅含維生素甲的有

種．（2）不含甲、乙、丙三種維生素的有

種．8．在1～100的自然數(shù)中，是5的倍數(shù)或是的倍數(shù)的數(shù)有

個(gè)．9．一次數(shù)學(xué)測(cè)試只有2題，四年一班48名同學(xué)中，答對(duì)第一題的有36人，答對(duì)第二題的有32人，兩題都答對(duì)的有22，兩題都答錯(cuò)的有

人．10一次數(shù)學(xué)測(cè)試只有2道題年一班48名同學(xué)中每人至少都答對(duì)1題中答對(duì)第一題的有36人第二題的32人都答對(duì)的有

人．11軍突擊隊(duì)共有士兵30人人都擅長(zhǎng)射擊和空手格斗中的一項(xiàng)或兩項(xiàng)，如果士兵中擅長(zhǎng)射擊的有人，擅長(zhǎng)空手格斗的有23．那么，這兩項(xiàng)均擅長(zhǎng)的士兵有

人．12．三支蠟燭分別能燃燒，40，50分鐘（但是不是同時(shí)點(diǎn)燃的知這三支蠟燭同時(shí)處于燃燒狀態(tài)的時(shí)間有分鐘只有一支蠟燭處于燃燒狀態(tài)的時(shí)間有20分鐘．那么正好有兩支蠟燭同時(shí)處于燃燒狀態(tài)的時(shí)間有

分鐘．13．某班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)期中考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)表如下，語(yǔ)文得的有人，數(shù)學(xué)得100分的有12人兩科都得分的有3人兩科都未能得100的有26人，這個(gè)班共有

人．14．實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)二班，參加語(yǔ)文興趣小組的有人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有29人，有12人兩個(gè)小組都參加，這個(gè)班有趣小組．

人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興15“兩會(huì)”是“全國(guó)人民代表大會(huì)”和“中國(guó)人民政治協(xié)商會(huì)議”的簡(jiǎn)稱如

果2017年“人大會(huì)議”和“政協(xié)會(huì)議”均歷時(shí)天，并且兩個(gè)會(huì)議有9天同時(shí)進(jìn)行．那么，年的“兩會(huì)”將一共進(jìn)行

天．16年級(jí)共有69名同學(xué)報(bào)名參加了學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)位同學(xué)至少在短跑跳高、標(biāo)槍比賽中參加一項(xiàng)，已知其中參加短跑的有，參加跳高的有33人，參加標(biāo)槍的有39，而在參加跳高的同學(xué)中有22人還報(bào)名了其他項(xiàng)目，在參加標(biāo)槍的同學(xué)中有人還報(bào)名參加了其他項(xiàng)目如果只有名同學(xué)參加了全部三個(gè)項(xiàng)目，那么恰好參加兩項(xiàng)比賽的同學(xué)共有

人．17中環(huán)杯的某個(gè)考場(chǎng)中一共有45個(gè)學(xué)生其中英語(yǔ)好的有35人語(yǔ)文好的有31人，兩門功課都好的有人，那么兩門功課都不好的學(xué)生有

人．18．學(xué)而思準(zhǔn)備成立“滑滑社團(tuán)”，要求必須至少會(huì)滑冰、滑雪中的一項(xiàng)，才有資格成為團(tuán)員．已知2015名符合上述要求的人前來(lái)報(bào)名，其中不會(huì)滑冰的有406人，不會(huì)滑雪的有，那么，其中兩種運(yùn)動(dòng)都會(huì)的有

人．19明買了4個(gè)蘋果個(gè)梨和8個(gè)桃紅買了個(gè)蘋果個(gè)梨和6個(gè)桃接下去的18天中，他們每人每天吃一個(gè)水果，有三天兩人都吃蘋果；有兩天兩人都吃梨，還有三天一人吃蘋果，另一人吃梨，那么有桃．

天兩人都吃20．動(dòng)物王國(guó)中有一個(gè)奇怪的貓村，已知貓村共有只貓，其中有漂亮尾巴的27只漂亮毛色的45只所有貓毛色或尾巴至少一項(xiàng)漂亮則兩樣都漂亮的有

只．21．佳佳是一位國(guó)旗愛好者，他從全世界個(gè)國(guó)家的國(guó)旗中，挑出了43面帶星星圖案或帶月亮圖案的國(guó)旗，發(fā)現(xiàn)其中帶星星圖案的國(guó)旗34面．帶月亮圖案的國(guó)旗有18面，那么既帶星星圖案又帶月亮圖案的國(guó)旗有

面．22編號(hào)為1的2015盞亮著的電燈有一個(gè)拉線開關(guān)控制將編號(hào)為2的倍數(shù)，的倍數(shù)，5的倍數(shù)的燈線都各拉一下，這時(shí)，亮著的燈有

盞．23次數(shù)學(xué)競(jìng)賽有A三題賽的39個(gè)人中人至少答對(duì)了一道題答對(duì)A人中答對(duì)A的比還答對(duì)其它題目的多；在沒(méi)答對(duì)A的人中，答對(duì)B的是答對(duì)C的2倍；知道只答對(duì)A的等于只答對(duì)B的與只答對(duì)的人數(shù)之和．那么答對(duì)A的最多有

人．

24．學(xué)而思在“五一勞動(dòng)節(jié)即將發(fā)行新版積分卡．如果舊版積分卡上共出現(xiàn)300位老師新版積分卡上共出現(xiàn)400老師其中有位老師在新舊兩版積分卡中都出現(xiàn)了，那么，在新舊兩版積分卡上共出現(xiàn)了

位老師．25學(xué)校組織六年級(jí)的240名同學(xué)們參加學(xué)科競(jìng)賽其中既參加語(yǔ)文競(jìng)賽又參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有，兩項(xiàng)比賽都不參加的有24人，只參加語(yǔ)文競(jìng)賽與只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)之比為53那么，這些同學(xué)中，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有

人．26．某班有40名學(xué)生，其中15人參加數(shù)學(xué)興趣小組，18人參加航模小組，有10人兩個(gè)小組都參加．那么該班學(xué)生中，這兩個(gè)小組都不參加的共有人．27．少年宮春季書法班，美術(shù)班、器樂(lè)班招生，書法班招收了名學(xué)員，美術(shù)班招收了28名學(xué)員，器樂(lè)班招收了27學(xué)員，在這些學(xué)員中，既報(bào)書法又報(bào)美術(shù)的有13名，既報(bào)書法又報(bào)器樂(lè)的有12人既報(bào)美術(shù)又報(bào)器樂(lè)的有11名個(gè)科目都報(bào)的有5名么參加一個(gè)科目學(xué)習(xí)的學(xué)員有

名．28．少年宮春季書法班，美術(shù)班，器樂(lè)班招生．書法班招收了名學(xué)員，在這些學(xué)員中，既報(bào)書法又報(bào)美術(shù)的有名，既報(bào)書法又報(bào)樂(lè)器的有，三個(gè)科目都報(bào)的有5名．那么，只參加書法學(xué)習(xí)的學(xué)員有

名．29校3年級(jí)共有學(xué)生100人中68人愛看體育頻道人愛看文藝頻道，另有3人這兩個(gè)頻道都不愛看．那么這兩個(gè)頻道都愛看的學(xué)生有

人．30．四年級(jí)的兩個(gè)班共有學(xué)生72人，其中有女生35，四（1）班有學(xué)生36人，四（2）班有男生人，則四（1）班有女生

人．31．如圖，有邊長(zhǎng)都是2的紅、黃、藍(lán)三張透明的正方形塑料片．先將紅色塑料片平放于桌面，再放上黃色嫩料片，重疊部分是一個(gè)邊長(zhǎng)是的橙色正方形后又放上藍(lán)色塑料片和橙色正方形的重疊部分是一個(gè)邊長(zhǎng)是0.5的黑色正方形．此時(shí)，三張塑料片在桌面上覆蓋的面積是．32．甲、乙、丙三校合辦畫展，參展的畫中，41幅不是甲校的，有幅不是乙校的，甲、乙兩校參展的畫共幅，那么，丙校參展的畫有

幅．

33．少年宮春季書法班、美術(shù)班、器樂(lè)班招生．書法班招收了名學(xué)員，美術(shù)班招收了28名學(xué)員，器樂(lè)班招收了27學(xué)員．在這些學(xué)員中，既報(bào)書法又報(bào)美術(shù)的有13名，既報(bào)書法又報(bào)器樂(lè)的有12人既報(bào)美術(shù)又報(bào)器樂(lè)的有11名個(gè)科目都報(bào)的有5名么參加一個(gè)科目學(xué)習(xí)的學(xué)員有

名．34一共有52個(gè)學(xué)生參加游園活動(dòng)其中參觀植物館的有12人參觀動(dòng)物館的有26人，參觀科技館的有2人，既參觀植物館又參觀動(dòng)物館的有5人，既參觀植物館又參觀科技館的有2人，既參觀動(dòng)物館又參觀科技館的有4，三個(gè)館都參觀的有1人，則有

人這三個(gè)館都沒(méi)有參觀．35．2013年國(guó)慶節(jié)，某市組織2013人進(jìn)行大型團(tuán)體表演操，參加表演的都是三、四、五年級(jí)的學(xué)生，他們身穿全紅、全白或全藍(lán)的運(yùn)動(dòng)衣．已知四年級(jí)有600人，五年級(jí)有800人，三個(gè)年級(jí)穿白色運(yùn)動(dòng)衣的共有800人．三年級(jí)穿紅色、藍(lán)色運(yùn)動(dòng)衣，四年級(jí)穿紅色運(yùn)動(dòng)衣，五年級(jí)穿白色運(yùn)動(dòng)衣的學(xué)生各有200人．那么，四年級(jí)穿藍(lán)色運(yùn)動(dòng)衣的有

人．36．某班有40名學(xué)生，其中15名參加數(shù)學(xué)小組18人參加航模小組，有10兩個(gè)小組都參加，那么有

人兩個(gè)小組都不參加．37．十一長(zhǎng)假，語(yǔ)文老師布置了兩篇作文，題目是年后的母校奧運(yùn)會(huì)有34人完成20年后的母校46人完成倫敦奧運(yùn)會(huì)全班52人中沒(méi)有人偷懶（都至少完成了一片作文么，兩篇作文都完成了的有

人．38．設(shè)a、b、c分別是0﹣9中的數(shù)字，它們不同時(shí)都為也不同時(shí)都為9，將循環(huán)小數(shù)0.b化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)后，分子有

不同情況．39．四年級(jí)某50人，做兩題數(shù)學(xué)選擇題，做對(duì)第一題的36人，做對(duì)第二題的有24人，兩題都對(duì)的人，那么兩題都沒(méi)有做對(duì)的最多有

人．40師出了200道題讓王亮濤和張清三人做人每人都做對(duì)了道

每道題都有人做對(duì)，如果把三人都做對(duì)的題稱為簡(jiǎn)單題，只有一人做對(duì)的稱為難題，那么，難題比簡(jiǎn)單題多

道．41．科技活動(dòng)小組有55人．在一次制作飛機(jī)模型和制作艦艇模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機(jī)模型的同學(xué)40，制作好一艘艦艇的同學(xué)有人．每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制作．問(wèn)兩項(xiàng)制作都完成的同學(xué)有

人．42．在某一學(xué)校，星期一15個(gè)學(xué)生缺席，星期二12個(gè)同學(xué)缺席，星期三有9個(gè)同學(xué)缺席如果這三天至少有一天缺席的學(xué)生有22人那么在這三天都缺席的學(xué)生最多有

人．43．學(xué)校數(shù)學(xué)競(jìng)賽出了A，，C三道題，至少做對(duì)一道的有人，其中做對(duì)A題的有10人，做對(duì)B題的有13人，做對(duì)題的有15人．如果三道題都做對(duì)的只有1人，那么只做對(duì)兩題的共有

人．44某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽以后52人參加，共考5題，每道題做錯(cuò)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：題號(hào)做錯(cuò)人數(shù)

14

26

310

420

539如果每人都至少做對(duì)1道題，只做1題有7人，5道題都做對(duì)的有6人，只做對(duì)2道題和只做對(duì)3道題的人數(shù)相同，那么做對(duì)4道題的有

人．45一個(gè)班在一年中組織了三次郊游活動(dòng)有的學(xué)生參加了第一次郊游80%的同學(xué)參加了第二次郊游，的同學(xué)參加了第三次郊游，有12這三次郊游都參加了，全班每人至少參加兩次，這個(gè)班有

學(xué)生．評(píng)卷人

得

分三．解題（共5題）46．六年級(jí)一班春游，帶礦泉水的18人，帶水果的16人，這兩種至少帶一種的有28人，求兩種都帶的有多少人？

47．某小學(xué)舉辦工藝品展覽，學(xué)校展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的手工藝品，其中有20件不是五年級(jí)的，有30不是六年級(jí)的，五六年級(jí)參展的手工藝品共有10件，其它年級(jí)參展的手工藝品共有多少件？48（1班全班45名學(xué)生報(bào)名參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)除拔河比賽全班全部參加外，其余三個(gè)項(xiàng)目每人至少參加一項(xiàng)比賽已知全班參加踢毽子比賽的有39人，參加投籃的有28人，問(wèn)三項(xiàng)比賽都報(bào)名參加的有多少人？49．某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽有120男生，80名女生，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有120名女生80名男生已知該?？偣灿?60學(xué)生參加競(jìng)賽其中75名男生兩科競(jìng)賽都參加了，那么只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒(méi)有參加語(yǔ)文競(jìng)賽的女生有多少人？50校初一年級(jí)舉行語(yǔ)文和數(shù)學(xué)競(jìng)賽加競(jìng)賽的人數(shù)占全年級(jí)總?cè)藬?shù)的，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的人數(shù)占競(jìng)賽人數(shù)的，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)占競(jìng)賽人數(shù)的，兩項(xiàng)都參加的有人，那么該校初一年級(jí)共有學(xué)生多少名？

參考答案試題解析一．選題（共2題）1．三年級(jí)有108個(gè)小朋友春游，帶礦泉水的有65人，帶水果的有人，每人至少帶一種．其中既帶礦泉水又帶水果的有（）人．A．19B．20C．21D．22【分析把帶礦泉水的有65人和帶水果的有人加在一起然后減去三年級(jí)的總?cè)藬?shù)就是兩樣都帶的人數(shù)．【解答】解：65+63﹣108=128﹣108=20（人答：既帶礦泉水又帶水果的有20人．故選：B．【點(diǎn)評(píng)此題考查了利用容斥原理解決問(wèn)題的方法，兩樣都帶的人數(shù)被算了2次，就是帶礦泉水和帶水果的人數(shù)比總?cè)藬?shù)多出的人數(shù)，這是解決本題的關(guān)鍵．2班共有學(xué)生48人中人會(huì)游泳會(huì)騎自行車人會(huì)打乒乓球么，這個(gè)班至少有（）個(gè)學(xué)生這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)．A．4B．5C．6D．7【分析這道題可以采用逆思考的方法找出至少一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)不會(huì)的人數(shù)然后用全班人數(shù)減去至少一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)不會(huì)的人數(shù)，剩下的是三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的人數(shù)；由已知，不會(huì)游泳的有人，不會(huì)騎車的有15人，不會(huì)打乒乓球的有人，至少一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)也不會(huì)的最多的人數(shù)即可算出，再根據(jù)容斥原理，由此即可求要求的出答案．【解答】解：不會(huì)游泳的有48﹣27=21（人不會(huì)騎車的有48﹣33=15（人

不會(huì)打乒乓球的有48﹣40=8（人所以至少有一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)不會(huì)的最多有：21+15+8=44（人那么全班三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的至少有：48﹣44=4（人答：至少有4人會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)解答此題的關(guān)鍵是，在理解題意的基礎(chǔ)上，采用逆思考的方法，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)量，正確運(yùn)用容斥原理，列式解答即可．二．填題（共43題）3．把到81這81正整數(shù)隨意放置在一個(gè)圓周上，統(tǒng)計(jì)所有相鄰的3個(gè)數(shù)的奇偶性后得知，3數(shù)全是奇數(shù)的有25，恰有2個(gè)奇數(shù)的有17組．那么，恰有1個(gè)奇數(shù)的有14

組，沒(méi)有奇數(shù)的有25

組．【分析】1到81，有41奇數(shù)40個(gè)偶數(shù)，根據(jù)圓周上所有位置的數(shù)都出現(xiàn)三次，可得奇數(shù)出現(xiàn)的總次數(shù)為413=123，由于個(gè)數(shù)全是奇數(shù)的有25組，恰有2個(gè)奇數(shù)的有組．即可求出恰有1奇數(shù)的組數(shù)，沒(méi)有奇數(shù)的組數(shù)．【解答】解：1到81，有41個(gè)奇數(shù)，40個(gè)偶數(shù)，因?yàn)閳A周上所有位置的數(shù)都出現(xiàn)三次，所以奇數(shù)出現(xiàn)的總次數(shù)為×3=123，由于數(shù)全是奇數(shù)的有25組2個(gè)奇數(shù)的組1個(gè)奇數(shù)的123﹣3×25﹣2×17=14；沒(méi)有奇數(shù)的有81﹣25﹣17﹣14=25，故答案為14，25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查容斥原理，考查奇偶數(shù)問(wèn)題，比較基礎(chǔ)．4．某校國(guó)標(biāo)舞團(tuán)共43人，其中會(huì)拉丁舞的有15人，會(huì)探戈的13人，兩者都會(huì)的有5人，那兩種都不會(huì)的有20

人．【分析根據(jù)“其中會(huì)拉丁舞的有15人會(huì)探戈的有13人”兩者的總?cè)藬?shù)是

15+13=28人則至少會(huì)一種的有﹣（人兩樣都不會(huì)的人數(shù)有：43﹣23=20（人據(jù)此解答即可．【解答】解：43﹣（15+13﹣5）=43﹣23=20（人）答：兩種都不會(huì)的有20人．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)本題考查了容斥原理關(guān)鍵是理解兩者都會(huì)的人數(shù)是會(huì)拉丁舞和會(huì)探戈的人數(shù)的重疊部分，知識(shí)點(diǎn)是：既又B=（A+B）﹣總?cè)藬?shù)．5空軍突擊隊(duì)共有25名士兵每個(gè)人都擅長(zhǎng)射擊和武術(shù)中的一項(xiàng)或者兩項(xiàng)如果士兵中擅長(zhǎng)射擊的有人，擅長(zhǎng)武術(shù)的有12，則兩項(xiàng)均擅長(zhǎng)的士兵有7

人．【分析直接把擅長(zhǎng)射擊的20人和擅長(zhǎng)武術(shù)的12人相加求出總?cè)藬?shù)這樣就把兩項(xiàng)均擅長(zhǎng)的士兵重復(fù)加了次然后用20+12和減去25人就是兩項(xiàng)均擅長(zhǎng)的士兵人數(shù)．【解答】解：20+12﹣25=32﹣25=7（人）答：兩項(xiàng)均擅長(zhǎng)的士兵有7人．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)此題考查容斥原理的實(shí)際運(yùn)用果被計(jì)數(shù)的事物有B兩類那么，A類B類元素個(gè)數(shù)總和=屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)．6學(xué)們?nèi)ゴ河嗡畨氐挠腥怂挠?0人樣都沒(méi)帶的有6人既帶水壺又帶水果的人數(shù)是所有參加春游人數(shù)的一半，則參加春游的同學(xué)共有104

人．

【分析既帶水壺又帶水果的為x人則參加春游的同學(xué)共有2x人據(jù)“至少帶一樣的人數(shù)+兩樣都沒(méi)帶的人數(shù)=總?cè)藬?shù)”列方程為80+70﹣，解方程即可得解．【解答】解：設(shè)既帶水壺又帶水果的為x人，則參加春游的同學(xué)共有2x人，由題意可得：80+70﹣x+6=2x156﹣x=2x3x=156x=52則2x=2×52=104答：則參加春游的同學(xué)共有104人．故答案為：104．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，知識(shí)點(diǎn)是：總?cè)藬?shù)（A+B）﹣既A又B+既非A又非B．7．對(duì)種食物是否含有甲、乙、丙三種維生素進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果是：含甲62種，含乙的90種，含丙的68種，含甲、乙的48種，含甲、丙的36種，含乙、丙的50種，含甲、乙、丙的種．問(wèn)（1）僅含維生素甲的有3

種．（2）不含甲、乙、丙三種維生素的有9

種．【分析】據(jù)題意和容斥原理，知道僅含維生素甲的食=含甲的﹣含甲、乙的﹣含甲、丙的+含甲、乙、丙的食物的種類；先求出含甲或乙或丙的食物的種數(shù)，即可求出不含甲、乙、丙三種維生素的數(shù)量．【解答】解）62﹣48﹣36+25=3（種（2）120﹣（62+90+68﹣48﹣36﹣50+25=120﹣111，=9（種答：僅含維生素甲的有3種，不含甲、乙、丙三種維生素的有9種．

【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是，清題意，找出數(shù)量關(guān)系，根據(jù)容斥原理，列式解答即可．8．在1～100的自然數(shù)中，是5的倍數(shù)或是的倍數(shù)的數(shù)有32

個(gè)．【分析本題應(yīng)列舉出5的倍數(shù)有多少個(gè)列舉出7的倍數(shù)有多少個(gè)然后相加即可．【解答】解：在這自然數(shù)中，倍數(shù)有20個(gè)，7的倍數(shù)有14個(gè)，既是5的倍數(shù)又是7的倍數(shù)有2個(gè)，故5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是：20+14﹣2=32故答案為：32．【點(diǎn)評(píng)此題用列舉法，把符合條件的列出來(lái)，然后數(shù)一數(shù)，算一算即可得出結(jié)論．9．一次數(shù)學(xué)測(cè)試只有2題，四年一班48名同學(xué)中，答對(duì)第一題的有36人，答對(duì)第二題的有人，兩題都答對(duì)的有22人，兩題都答錯(cuò)的有2

人．【分析根據(jù)“答對(duì)第一題的有36人答對(duì)第二題的有32人”可得兩者的總?cè)藬?shù)：36+32=68，這其中把兩道題都答對(duì)的人數(shù)多計(jì)算了一次，所以根據(jù)容斥原理可得至少答對(duì)1道題的人數(shù)是：﹣22=46（人然后用總?cè)藬?shù)48減去46就是兩題都答錯(cuò)的人數(shù)，據(jù)此解答即可．【解答】解：48﹣（36+32﹣22）=48﹣46=2（人）答：兩題都答錯(cuò)的有2人．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問(wèn)，解答規(guī)律是：A又B=A+B﹣總數(shù)量（兩種情況本題關(guān)鍵是求出至少答對(duì)道題的人數(shù)．

10一次數(shù)學(xué)測(cè)試只有2道題年一班48名同學(xué)中每人至少都答對(duì)1題中答對(duì)第一題的有人對(duì)第二題的有32人題都答對(duì)的有20

人．【分析根據(jù)“答對(duì)第一題的有36人答對(duì)第二題的有32人”可得兩者的總?cè)藬?shù)：36+32=68人，這其中把兩道題都答對(duì)的人數(shù)多計(jì)算了一次，所以根據(jù)容斥原理可得兩道題都答對(duì)的人數(shù)是：﹣48=20（人此解答即可．【解答】解：36+32﹣48=68﹣48=20（人）答：兩道題都答對(duì)的有20人．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問(wèn)，解答規(guī)律是：A又B=A+B﹣總數(shù)量（兩種情況11軍突擊隊(duì)共有士兵30人人都擅長(zhǎng)射擊和空手格斗中的一項(xiàng)或兩項(xiàng)，如果士兵中擅長(zhǎng)射擊的有人，擅長(zhǎng)空手格斗的有23．那么，這兩項(xiàng)均擅長(zhǎng)的士兵有5

人．【分析】根據(jù)容斥原理公式，用12上23，然后減去總?cè)藬?shù)30就是這兩項(xiàng)均擅長(zhǎng)的士兵．【解答】解：12+23﹣30=35﹣30=5（人）答：這兩項(xiàng)均擅長(zhǎng)的士兵有5人．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理：兩量重疊問(wèn)題：A與B類元素個(gè)數(shù)的總和A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)．12．三支蠟燭分別能燃燒，40，50分鐘（但是不是同時(shí)點(diǎn)燃的知這三支

蠟燭同時(shí)處于燃燒狀態(tài)的時(shí)間有分鐘只有一支蠟燭處于燃燒狀態(tài)的時(shí)間有20分鐘．那么正好有兩支蠟燭同時(shí)處于燃燒狀態(tài)的時(shí)間有35

分鐘．【分析】根據(jù)容斥原理可得正好有兩支蠟燭同時(shí)處于燃燒狀態(tài)的時(shí)間．【解答】解：根據(jù)容斥原理得正好有兩支蠟燭同時(shí)處于燃燒狀態(tài)的時(shí)間有（30+40+50﹣10×3﹣20）÷2=35分鐘，故答案為35．【點(diǎn)評(píng)本題考查工程問(wèn)題，考查容斥原理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．13．某班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)期中考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)表如下，語(yǔ)文得的有人，數(shù)學(xué)得100分的有12人兩科都得分的有3人兩科都未能得100的有26人，這個(gè)班共有45

人．【分析語(yǔ)文得100分的有10人數(shù)學(xué)得100分的有12人則語(yǔ)數(shù)得分的共有10+12=22人，又?jǐn)?shù)學(xué)、語(yǔ)文都100分的有3人，所以得100分的人數(shù)共有22﹣3=19人，又兩門功課都未得100分的有26人，所以這個(gè)班共有19+26=45人．【解答】解：10+12﹣3+26=22﹣3+26=45（人）答：這個(gè)班共有45人．故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)首先根據(jù)“AB類元素個(gè)數(shù)總和=屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)”求出得100分共有多少人是完成本題的關(guān)鍵．14．實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)二班，參加語(yǔ)文興趣小組的有人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有29人，有兩個(gè)小組都參加，這個(gè)班有45

人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興

趣小組．【分析由題意用就是只參加語(yǔ)文興趣小組只參加數(shù)學(xué)興趣小組以及兩個(gè)小組都參加的人數(shù)和，再減去重復(fù)計(jì)算的兩個(gè)小組都參加的人數(shù)，即得參加興趣小組的總?cè)藬?shù)．【解答】解：28+29﹣12=57﹣12=45（人）答：這個(gè)班有45人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組．故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)解答此題注意28+29把兩個(gè)小組都參加的人數(shù)多算了一次所以要減去12．15“兩會(huì)”是“全國(guó)人民代表大會(huì)”和“中國(guó)人民政治協(xié)商會(huì)議”的簡(jiǎn)稱如果2017年“人大會(huì)議”和“政協(xié)會(huì)議”均歷時(shí)天，并且兩個(gè)會(huì)議有9天同時(shí)進(jìn)行．那么，年的“兩會(huì)”將一共進(jìn)行13

天．【分析求“兩會(huì)”進(jìn)行的天數(shù)若將“人大會(huì)議”進(jìn)行的時(shí)間與“政協(xié)會(huì)議”進(jìn)行的時(shí)間相加，那么“兩會(huì)同時(shí)進(jìn)行的天數(shù)天）”被重復(fù)算了一次，需要減去，問(wèn)題即解．【解答】解：根據(jù)容斥原理，可得11+11﹣（天答：“兩會(huì)”一共進(jìn)行13天．答案填：13．【點(diǎn)評(píng)此題屬于兩個(gè)量的重疊問(wèn)題運(yùn)用韋恩圖能快速判斷“兩會(huì)”進(jìn)行的時(shí)間．16年級(jí)共有69名同學(xué)報(bào)名參加了學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)位同學(xué)至少在短跑跳高、標(biāo)槍比賽中參加一項(xiàng)，已知其中參加短跑的有，參加跳高的有33人，參加標(biāo)槍的有39，而在參加跳高的同學(xué)中有22人還報(bào)名了其他項(xiàng)目，在

參加標(biāo)槍的同學(xué)中有人還報(bào)名參加了其他項(xiàng)目如果只有名同學(xué)參加了全部三個(gè)項(xiàng)目，那么恰好參加兩項(xiàng)比賽的同學(xué)共有25

人．【分析加短跑的人數(shù)參加跳高的人數(shù)+參加標(biāo)槍的人數(shù)﹣參加短跑和跳高的人數(shù)﹣參加跳高和標(biāo)槍的人數(shù)﹣參加短跑和標(biāo)槍的人數(shù)+三個(gè)項(xiàng)目都參加的人數(shù)=69根據(jù)這個(gè)可以算出參加短跑和跳高的人數(shù)參加跳高和標(biāo)槍的人數(shù)+參加短跑和標(biāo)槍的人數(shù)總和，然后再根據(jù)三個(gè)項(xiàng)目都參加的人數(shù)算出只參加兩個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)．【解答】解：參加短跑和跳高的人數(shù)+參加跳高和標(biāo)槍的人數(shù)參加短跑和標(biāo)槍的人數(shù)總和32+33+39+5﹣69=40（人）只參加兩個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)40﹣3×5=25（人）故填25【點(diǎn)評(píng)此題中參加短跑和跳高的人數(shù)中包含了三個(gè)項(xiàng)目都參加的人數(shù)參加跳高和標(biāo)槍的人數(shù)與參加短跑和標(biāo)槍的人數(shù)也如此．17中環(huán)杯的某個(gè)考場(chǎng)中一共有45個(gè)學(xué)生其中英語(yǔ)好的有35人語(yǔ)文好的有31人，兩門功課都好的有人，那么兩門功課都不好的學(xué)生有3

人．【分析題意35+31就是只英語(yǔ)好語(yǔ)文好以及兩門功課都好的人數(shù)和，再減去重復(fù)計(jì)算的兩門功課都好的人數(shù)，即得至少一門功課好的人數(shù)，然后用總?cè)藬?shù)減去至少一門功課好的人數(shù)就是兩門功課都不好的學(xué)生數(shù)．【解答】解：45﹣（35+31﹣24）=45﹣42=3（人）答：兩門功課都不好的學(xué)生有3人．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問(wèn)，解答規(guī)律是：總數(shù)=A+B﹣既A又（兩種情

況18．學(xué)而思準(zhǔn)備成立“滑滑社團(tuán)”，要求必須至少會(huì)滑冰、滑雪中的一項(xiàng)，才有資格成為團(tuán)員．已知2015名符合上述要求的人前來(lái)報(bào)名，其中不會(huì)滑冰的有406人不會(huì)滑雪的有460人那么其中兩種運(yùn)動(dòng)都會(huì)的有1149

人．【分析要求必須至少會(huì)滑冰滑雪中的一項(xiàng)才有資格成為團(tuán)員已知有名符合上述要求的人前來(lái)報(bào)名其中不會(huì)滑冰的有人不會(huì)滑雪的有460人，【解答題意求必須至少會(huì)滑冰雪中的一項(xiàng)有資格成為團(tuán)員知有2015名符合上述要求的人前來(lái)報(bào)名，其中不會(huì)滑冰的406人，不會(huì)滑雪的有460人，那么兩種運(yùn)動(dòng)都會(huì)的有﹣406﹣，故答案為1149．【點(diǎn)評(píng)】本題考查容斥原理，考查集合思想的運(yùn)用，比較基礎(chǔ)．19明買了4個(gè)蘋果個(gè)梨和8個(gè)桃紅買了個(gè)蘋果個(gè)梨和6個(gè)桃接下去的18天中，他們每人每天吃一個(gè)水果，有三天兩人都吃蘋果；有兩天兩人都吃梨有三天一人吃蘋果一人吃梨么有4

天兩人都吃桃．【分析】有三天兩人都吃蘋果有兩天兩人都吃梨5天后小明還剩下1個(gè)蘋果4個(gè)梨小紅還剩下2個(gè)蘋果5個(gè)梨有三天一人吃蘋果一人吃梨吃完后小明還剩2個(gè)梨和8桃子，小紅還剩4個(gè)梨和6個(gè)桃子；最后根據(jù)小明和小紅不能在同一天吃梨（一人吃梨，另一人吃桃子）可推斷出兩人共同吃桃子的天數(shù)．【解答】解）有三天兩都吃蘋果，有兩天兩人都吃梨5天后小明還剩下1個(gè)蘋果4個(gè)梨，小紅還剩下個(gè)蘋果5個(gè)梨；（2）有三天一人吃蘋果一人吃梨，所以小明吃剩下的個(gè)蘋果時(shí)，小紅吃梨；小紅吃剩下的2個(gè)蘋果時(shí)，小明吃梨；（3）小明吃剩下的個(gè)梨時(shí)小紅只能吃桃；小紅吃剩下的4個(gè)梨時(shí)，小明只能

吃桃；（4）這時(shí)兩人都只剩下4個(gè)桃子，所以共同吃桃子天．答：有4天兩人都吃桃．答案填：4．【點(diǎn)評(píng)這道題關(guān)鍵是分析小紅和小明一起吃和分開吃梨和蘋果的天數(shù)從而推斷出兩人共同吃桃子的天數(shù)．20．動(dòng)物王國(guó)中有一個(gè)奇怪的貓村，已知貓村共有只貓，其中有漂亮尾巴的27只漂亮毛色的45只所有貓毛色或尾巴至少一項(xiàng)漂亮則兩樣都漂亮的有12

只．【分析有漂亮尾巴的27只漂亮毛色的45只先用加法求出貓毛色或尾巴漂亮的有多少只，再減去貓的總只數(shù)只，就是兩樣都漂亮的有多少只．【解答】解：27+45﹣60=72﹣60=12（只）答：兩樣都漂亮的有12只．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題利用容斥原理公式之一：既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)=屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)﹣A類B類元素個(gè)數(shù)總和．21．佳佳是一位國(guó)旗愛好者，他從全世界個(gè)國(guó)家的國(guó)旗中，挑出了43面帶星星圖案或帶月亮圖案的國(guó)旗，發(fā)現(xiàn)其中帶星星圖案的國(guó)旗34面．帶月亮圖案的國(guó)旗有18面，那么既帶星星圖案又帶月亮圖案的國(guó)旗有9

面．【分析星星圖案的國(guó)旗有34面，帶月亮圖案的國(guó)旗18面，把它們相加，求出帶有星星或月亮一共有多少面，這樣既帶星星圖案又帶月亮圖案的國(guó)旗就重復(fù)計(jì)算了一次，再減去總面數(shù)43面，即可求出既帶星星圖案又帶月亮圖案的國(guó)旗有多少面．

【解答】解：34+18﹣43=52﹣43=9（面）答：既帶星星圖案又帶月亮圖案的國(guó)旗有9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題利用容斥原理公式之一：既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)=屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)﹣A類B類元素個(gè)數(shù)總和．22編號(hào)為1的2015盞亮著的電燈有一個(gè)拉線開關(guān)控制將編號(hào)為2的倍數(shù)，的倍數(shù)，5的倍數(shù)的燈線都各拉一下，這時(shí)，亮著的燈有1006

盞．【分析】分別找出、3、5倍數(shù)，2和3公倍數(shù)，2和的公倍數(shù)，35以及2、3和5的公倍數(shù)，求出拉過(guò)三次、二次、一次的個(gè)數(shù)，一次、三次是被拉滅的燈求出被拉滅的燈的個(gè)數(shù)而求出亮著的燈的個(gè)數(shù)解決問(wèn)題．【解答】解：在1到2015這2015個(gè)數(shù)中，2的倍數(shù)有：2015÷2≈1007（個(gè)）3的倍數(shù)有：2015÷3≈671（個(gè)）5的倍數(shù)有：2015÷5=403（個(gè)）2和3的倍數(shù)有：2015÷（2×3）≈335（個(gè)）2和5的倍數(shù)有：2015÷（2×5）≈201（個(gè)）3和5的倍數(shù)有：2015÷（3×5）=≈134（個(gè)）2、3、5的倍數(shù)有：2015÷（2×3×5）≈67個(gè)）可知，拉過(guò)三次的有：67盞，拉過(guò)二次的有﹣67）+（201﹣67）+（﹣67）=268+134+67=469盞）拉過(guò)一次的有：（1007﹣268﹣134﹣67）+（671﹣268﹣67﹣）+（403﹣134﹣67﹣67）=538+269+135=942（盞）

被拉滅的燈有：942+67=1009（盞）所以，亮著的燈為：2015﹣1009=1006（盞答：這時(shí)，亮著的燈有1006盞．故答案為：1006．【點(diǎn)評(píng)題運(yùn)用最小公倍數(shù)知識(shí)出各種情況燈的數(shù)量據(jù)拉過(guò)的次數(shù)，求得拉過(guò)奇數(shù)次的燈的數(shù)量，進(jìn)而解決問(wèn)題．23次數(shù)學(xué)競(jìng)賽有A三題賽的39個(gè)人中人至少答對(duì)了一道題答對(duì)A人中答對(duì)A的比還答對(duì)其它題目的多；在沒(méi)答對(duì)A的人中，答對(duì)B的是答對(duì)C的2倍；知道只答對(duì)A的等于只答對(duì)B的與只答對(duì)的人數(shù)之和．那么答對(duì)A的最多有23

人．【分析】由題意得，如下圖所示：只答對(duì)A的人數(shù)是3b+a，答對(duì)A還答對(duì)其他題目的人數(shù)是3b+a﹣5以有3b+a+3b+a﹣5+3b+2a=39簡(jiǎn)得4a+9b=44，然后對(duì)a進(jìn)行取值a最大值答A的人3b+a+3b+a﹣5=6b+2a﹣5，把a(bǔ)、b的最大值代入6b+2a﹣5中，解決問(wèn)題．【解答對(duì)A的人數(shù)是對(duì)還答對(duì)其他題目的人數(shù)是﹣5，所以有：3b+a+3b+a﹣5+3b+2a=39，化簡(jiǎn)得：4a+9b=44，因?yàn)閍、b都為自然數(shù)，所以當(dāng)a=2時(shí)，b=4當(dāng)a=11時(shí)，b=0，即

或答對(duì)A的人共3b+a+3b+a﹣5=6b+2a﹣5，把a(bǔ)b的最大值代入6b+2a﹣5中，最大值是：6×4+2×2﹣5

=24+4﹣5=23（人）答：答對(duì)A的人最多有23人．故答案為：23．【點(diǎn)評(píng)此題運(yùn)用圖示法對(duì)集合元素和集合元素的確定還要注意方程中未知數(shù)范圍的確定．24．學(xué)而思在“五一勞動(dòng)節(jié)即將發(fā)行新版積分卡．如果舊版積分卡上共出現(xiàn)300位老師新版積分卡上共出現(xiàn)400老師其中有位老師在新舊兩版積分卡中都出現(xiàn)了，那么，在新舊兩版積分卡上共出現(xiàn)了550

位老師．【分析舊版積分卡上共出現(xiàn)位老師積分卡上共出位老師，其中有150位老師在新舊兩版積分卡中都出現(xiàn)了，根據(jù)容斥原理可得結(jié)論．【解答】解：由題意，根據(jù)容原理可得在新舊兩版積分卡上共出現(xiàn)了﹣150=550位老師．故答案為550．【點(diǎn)評(píng)】本題考查容斥原理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．25學(xué)校組織六年級(jí)的240名同學(xué)們參加學(xué)科競(jìng)賽其中既參加語(yǔ)文競(jìng)賽又參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有，兩項(xiàng)比賽都不參加的有24人，只參加語(yǔ)文競(jìng)賽與只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)之比為么些同學(xué)中加語(yǔ)文競(jìng)賽的有150人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有106

人．【分析由題意，只參加語(yǔ)文競(jìng)賽與只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)之和為240﹣40﹣24=176人，根據(jù)只參加語(yǔ)文競(jìng)賽與只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)之比為53，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，只參加文競(jìng)賽與只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)之和為240﹣40﹣24=176人，∵只參加語(yǔ)文競(jìng)賽與只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)之比為：3，

∴只參加語(yǔ)文競(jìng)賽的人數(shù)為176×+40=150，只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)為+40=106，故答案為150，106．【點(diǎn)評(píng)】題考查容斥原理，考查比例應(yīng)用題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．26．某班有40名學(xué)生，其中15人參加數(shù)學(xué)興趣小組，18人參加航模小組，有10人兩個(gè)小組都參加么該班學(xué)生中兩個(gè)小組都不參加的共有17

人．【分析人參加數(shù)學(xué)興趣小組人參加航模小組參加的人數(shù)有人，其中有10人兩個(gè)小組都參加，則實(shí)際參加的人數(shù)是33﹣10=23人，那么兩個(gè)小組都沒(méi)參加的人數(shù)有：﹣23=17人．【解答】解：15+18﹣10=23（人）40﹣23=17（人）答：這兩個(gè)小組都不參加的共有17人．故答案為：17．【點(diǎn)評(píng)】在此類問(wèn)題中，屬A類B類元素個(gè)數(shù)總和=A類元素個(gè)數(shù)+于B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)．27．少年宮春季書法班，美術(shù)班、器樂(lè)班招生，書法班招收了名學(xué)員，美術(shù)班招收了28名學(xué)員，器樂(lè)班招收了27學(xué)員，在這些學(xué)員中，既報(bào)書法又報(bào)美術(shù)的有13名，既報(bào)書法又報(bào)器樂(lè)的有12人既報(bào)美術(shù)又報(bào)器樂(lè)的有11名三個(gè)科目都報(bào)的有5名那么只參加一個(gè)科目學(xué)習(xí)的學(xué)員有27

名．【分析先利用公式∪B∪C=A+B+C﹣A∩B﹣A∩C﹣B∩C+A∩B∩C求出書法班招收了29名學(xué)員，美術(shù)班招收了28名學(xué)員，器樂(lè)班招收27名學(xué)員的總?cè)藬?shù)，去掉既報(bào)書法又報(bào)美術(shù)的有名，既報(bào)書法又報(bào)器樂(lè)的有人，既報(bào)美術(shù)又報(bào)器樂(lè)的有名，再上三個(gè)科目都報(bào)的有就是一共有的學(xué)員；用一共有的學(xué)員去掉報(bào)兩科的人數(shù)，把三個(gè)科目都報(bào)的多減了兩次，再加上

即可．【解答】解：總?cè)藬?shù)為：29+28+27﹣13﹣1211+5=53（人53﹣13﹣12﹣11+5×2=27（人答：只參加一個(gè)科目學(xué)習(xí)的學(xué)員有27名．故答案為：27．【點(diǎn)評(píng)此題考查利用容斥原理解決問(wèn)題注意理解兩科或三科都參加的含義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．28．少年宮春季書法班，美術(shù)班，器樂(lè)班招生．書法班招收了名學(xué)員，在這些學(xué)員中，既報(bào)書法又報(bào)美術(shù)的有名，既報(bào)書法又報(bào)樂(lè)器的有，三個(gè)科目都報(bào)的有5名．那么，只參加書法學(xué)習(xí)的學(xué)員有9

名．【分析】既報(bào)書法又報(bào)美術(shù)的有13，既報(bào)書法又報(bào)樂(lè)器的有12人，先用13人加上12人，這樣把3個(gè)科目的人數(shù)重復(fù)計(jì)算了一遍，再減去三個(gè)科目都報(bào)的5，即可得出求出報(bào)書法學(xué)員中報(bào)至少2科目有多少人，再用報(bào)書法的人數(shù)29人減去其中至少報(bào)兩個(gè)科目的人數(shù)即可求出只參加書法學(xué)習(xí)的人數(shù)．【解答】解：13+12﹣5=25﹣5=20（名）29﹣20=9（名）答：只參加書法學(xué)習(xí)的學(xué)員有9名．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題利用容斥原理公式之一：既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)=屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)﹣A類B類元素個(gè)數(shù)總和．29校3年級(jí)共有學(xué)生100人中68人愛看體育頻道人愛看文藝頻道，另有3人這兩個(gè)頻道都不愛看．那么這兩個(gè)頻道都愛看的學(xué)生有26

人．

【分析】68愛看體育頻道，55愛看文藝頻道，一共有，這里面把兩個(gè)頻道都愛看的人數(shù)重復(fù)計(jì)算了一遍，再用加上3，然后減去總?cè)藬?shù)100人，就是兩個(gè)頻道都愛看的人數(shù)．【解答】解：68+55+3﹣100=126﹣100=26（人）答：這兩個(gè)頻道都愛看的學(xué)生有26人．故答案為：26．【點(diǎn)評(píng)】本題依據(jù)了容斥原理公式之一：既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)=屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)+非A非B元素個(gè)數(shù)﹣元素總個(gè)數(shù)．30．四年級(jí)的兩個(gè)班共有學(xué)生72人，其中有女生35，四（1）班有學(xué)生36人，四（2）班有男生人，則四（1）班有女生18

人．【分析】先用兩個(gè)班的總?cè)藬?shù)去四（1）班的人數(shù)，求出四）班的人數(shù)，再用四（2）班的人數(shù)減去四2班男生的人數(shù)，求出四2）班女生的人數(shù)，再用女生的總?cè)藬?shù)人，減去四（）班的女生人數(shù)，就是四1）班的女生人數(shù)．【解答】解：35﹣（72﹣36﹣19）=35﹣17=18（人）答：四（1）班有女生18人．故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】決本題注意理解題意，把總?cè)藬?shù)按照兩種方法進(jìn)行分類：總?cè)?四（1）班人數(shù)+四（2）班人數(shù)=男生人數(shù)+女生人數(shù)．31．如圖，有邊長(zhǎng)都是2的紅、黃、藍(lán)三張透明的正方形塑料片．先將紅色塑料片平放于桌面，再放上黃色嫩料片，重疊部分是一個(gè)邊長(zhǎng)是的橙色正方形后又放上藍(lán)色塑料片和橙色正方形的重疊部分是一個(gè)邊長(zhǎng)是0.5的

黑色正方形．此時(shí)，三張塑料片在桌面上覆蓋的面積是9.75．【分析】通過(guò)分析可知：三張塑料片的面積和是：×2×3=12，重疊一次部分面積為：1×0.5×3+0.5×0.5=1.75重疊兩次部分（即黑色區(qū)域）面積為0.5×，所以整個(gè)覆蓋區(qū)域?yàn)椋?2﹣1.75﹣0.25×2=9.75據(jù)此解答即可．【解答】解：三張塑料片的面積和是：2×2×3=12，重疊一次部分面積為：1×0.5×3+0.5×0.5=1.75，重疊兩次部分（即黑色區(qū)域）面積為：0.5×0.5=0.25，所以整個(gè)覆蓋區(qū)域?yàn)椋?2﹣1.75﹣0.25×2=9.75答：三張塑料片在桌面上覆蓋的面積是9.75故答案為：9.75．【點(diǎn)評(píng)本題考查了容斥原理用三張塑料片的面積和減去重疊一次部分面積和重疊二次部分面積即可解答．32．甲、乙、丙三校合辦畫展，參展的畫中，41幅不是甲校的，有幅不是乙校的，甲、乙兩校參展的畫共幅，那么，丙校參展的畫有18

幅．【分析】41幅不是甲校的，就是乙校和丙校的，幅不是乙校的，就是甲校和丙校其中丙校的數(shù)量同時(shí)包含在與38中所以41+38=79（幅甲校、乙校和丙校的2倍的總和去甲乙兩校一共展出的數(shù)量出丙校的倍，再除以2就是丙校參展的畫的數(shù)量．【解答】解41+38﹣43）÷

=（79﹣43）÷2=36÷2=18（幅）答：丙校參展的畫有18幅．故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)解決本題的關(guān)鍵是明確其丙校的數(shù)量同時(shí)包含在41與中所以41與38的和是甲校校和丙校的2的總和去甲乙兩校一共展出的數(shù)量，再除以2就是丙校參展的畫的數(shù)量．33．少年宮春季書法班、美術(shù)班、器樂(lè)班招生．書法班招收了名學(xué)員，美術(shù)班招收了28名學(xué)員，器樂(lè)班招收了27學(xué)員．在這些學(xué)員中，既報(bào)書法又報(bào)美術(shù)的有13名，既報(bào)書法又報(bào)器樂(lè)的有12人既報(bào)美術(shù)又報(bào)器樂(lè)的有11名三個(gè)科目都報(bào)的有5名那么只參加一個(gè)科目學(xué)習(xí)的學(xué)員有27

名．【分析首先利用求出書法班招收了29名學(xué)員美術(shù)班招收了28名學(xué)員器樂(lè)班招收了27名學(xué)員的總?cè)藬?shù)，去掉既報(bào)書法又報(bào)美術(shù)的有13，既報(bào)書法又報(bào)器樂(lè)的有12，既報(bào)美術(shù)又報(bào)器樂(lè)的有11名，再加上三個(gè)科目都報(bào)的有5名就是一共有的學(xué)員；用一共有的學(xué)員去掉報(bào)兩科的人數(shù)，把三個(gè)科目都報(bào)的多減了兩次，再加上即可．【解答】解：總?cè)藬?shù)為：29+28+27﹣13﹣1211+5=53（人53﹣13﹣12﹣11+5×2=27（人答：只參加一個(gè)科目學(xué)習(xí)的學(xué)員有27名．故答案為：27．【點(diǎn)評(píng)此題考查利用容斥原理解決問(wèn)題注意理解兩科或三科都參加的含義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．34一共有52個(gè)學(xué)生參加游園活動(dòng)其中參觀植物館的有12人參觀動(dòng)物館的有26人，參觀科技館的有2人，既參觀植物館又參觀動(dòng)物館的有5人，既參觀植物館又參觀科技館的有2人，既參觀動(dòng)物館又參觀科技館的有4，三

個(gè)館都參觀的有1人，則有22

人這三個(gè)館都沒(méi)有參觀．【分析根據(jù)題意由容斥原理可得共有12+26+25﹣2﹣4+1=30人參觀了至少一個(gè)館，所以有1個(gè)人三個(gè)館都沒(méi)參觀．【解答】解：12+26+2﹣5﹣2﹣4+1=30（人）52﹣30=22（人）答：22人這三個(gè)館都沒(méi)有參觀．故答案為：22．【點(diǎn)評(píng)本題屬于容斥定理解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握容斥定理的公式運(yùn)算及其含義．35．2013年國(guó)慶節(jié)，某市組織2013人進(jìn)行大型團(tuán)體表演操，參加表演的都是三、四、五年級(jí)的學(xué)生，他們身穿全紅、全白或全藍(lán)的運(yùn)動(dòng)衣．已知四年級(jí)有600人，五年級(jí)有800人，三個(gè)年級(jí)穿白色運(yùn)動(dòng)衣的共有800人．三年級(jí)穿紅色、藍(lán)色運(yùn)動(dòng)衣，四年級(jí)穿紅色運(yùn)動(dòng)衣，五年級(jí)穿白色運(yùn)動(dòng)衣的學(xué)生各有200人．那么，四年級(jí)穿藍(lán)色運(yùn)動(dòng)衣的有213

人．【分析】據(jù)題意，三年級(jí)人數(shù)為：2013﹣600﹣800=613（人因?yàn)槿齻€(gè)年級(jí)穿紅色、藍(lán)色運(yùn)動(dòng)衣的有200人，因此穿白色衣服的有613﹣200=413（人同理四年級(jí)穿白色衣服的有﹣200﹣（人年級(jí)有人，那么四年級(jí)穿藍(lán)色運(yùn)動(dòng)衣的有﹣200﹣187=213（人【解答】解：三年級(jí)人數(shù)為：2013﹣600﹣800=613人）三年級(jí)穿白色衣服的有：613﹣200=413（人）四年級(jí)穿白色衣服的有：800﹣200﹣413=187人）四年級(jí)穿藍(lán)色運(yùn)動(dòng)衣的有：600﹣200﹣187=213人

答：四年級(jí)穿藍(lán)色運(yùn)動(dòng)衣的有213人．故答案為：213．【點(diǎn)評(píng)題屬于較復(fù)雜的容原理問(wèn)題認(rèn)真分析題干中的數(shù)量之間的關(guān)系，根據(jù)容斥原理，解決問(wèn)題．36．某班有40名學(xué)生，其中15名參加數(shù)學(xué)小組18人參加航模小組，有10兩個(gè)小組都參加，那么有17

人兩個(gè)小組都不參加．【分析15名參加數(shù)學(xué)小組18人參加航模小組，則參15+18=33人次，其中有10人兩個(gè)小組都參加，則實(shí)際參加的人數(shù)33﹣10=23人，那么兩個(gè)小組都沒(méi)參加的人數(shù)有：﹣23=17人．【解答】解：40﹣（18+15﹣10）=40﹣23=17（人答：兩個(gè)小組都沒(méi)參加的有17人．故答案為：17．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，關(guān)鍵是求出兩個(gè)小組實(shí)際參加的人數(shù)．37．十一長(zhǎng)假，語(yǔ)文老師布置了兩篇作文，題目是年后的母校奧運(yùn)會(huì)有34人完成20年后的母校46人完成倫敦奧運(yùn)會(huì)全班52人中沒(méi)有人偷懶（都至少完成了一片作文么，兩篇作文都完成了的有28

人．【分析】由題意，根據(jù)容斥原理可得結(jié)論．【解答】：由題意，根據(jù)容斥原理可得兩篇作文都完成了的有34+46﹣52=28人，故答案為28．【點(diǎn)評(píng)本題考查容斥原理的運(yùn)用考查學(xué)生的計(jì)算能力正確運(yùn)用容斥原理是關(guān)鍵．

38．設(shè)a、b、c分別是0﹣9中的數(shù)字，它們不同時(shí)都為也不同時(shí)都為9，將循環(huán)小數(shù)0.b化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)后，分子有660

不同情況．【分析】由題意，把0.b化成分?jǐn)?shù)，是，abc可以從001至998，分解計(jì)算1∽998中3的倍數(shù)的個(gè)（除去81的倍數(shù)的個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)重復(fù)的3和37的倍數(shù)，然后根據(jù)容斥原理可得結(jié)果．【解答】解：=0…，根據(jù)題意=1∽998，但是結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，所以化簡(jiǎn)后會(huì)有重復(fù)．由

3

×37，可得：（1）①998÷3=332…2，所以1∽998中3的倍數(shù)有個(gè)；②998÷34=12…26，所以1∽998中34=81的倍數(shù)有個(gè)，說(shuō)明

是3倍數(shù)但不是倍數(shù)的有﹣12=320，這些數(shù)的分子全部可以化簡(jiǎn)成不是3的倍數(shù)的數(shù)．（2）1∽998中37的倍數(shù)有998÷37=26…36，說(shuō)明數(shù)．

是37的倍數(shù)有，這些數(shù)的分子全部可以化簡(jiǎn)成不是37倍數(shù)的（3）1∽998中3和37的倍數(shù)有998÷111=8…110，說(shuō)明數(shù)．

是111的倍數(shù)有8個(gè)，這些數(shù)的分子全部可以化簡(jiǎn)成不是111的倍數(shù)的根據(jù)容斥原理，約分后會(huì)有重復(fù)的數(shù)有﹣8=338個(gè)，則分子有998﹣338=660種不同情況．故答案為：660．【點(diǎn)評(píng)】解答此題關(guān)鍵是找出公因數(shù)、以37為公因數(shù)的個(gè)數(shù)，然后除去以3×37為公因數(shù)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求解．39．四年級(jí)某50人，做兩題數(shù)學(xué)選擇題，做對(duì)第一題的36人，做對(duì)第二題的有24人，兩題都對(duì)的人，那么兩題都沒(méi)有做對(duì)的最多有8

人．【分析】最少做對(duì)一個(gè)題的總?cè)舜螢椋?6+24=60人次，減去兩題都對(duì)的18，

即可求出至少做對(duì)一題的人數(shù)然后用該班總?cè)藬?shù)減去至少做對(duì)一題的人數(shù)，即可求出兩題都沒(méi)做對(duì)的最多的人數(shù)．【解答】解：50﹣（36+24﹣18）=50﹣42=8（人答：兩題都沒(méi)有做對(duì)的最多有8人．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)題屬于容斥原理習(xí)出至少做對(duì)一題的人數(shù)解答此題的關(guān)鍵．40師出了200道題讓王亮濤和張清三人做人每人都做對(duì)了道每道題都有人做對(duì)，如果把三人都做對(duì)的題稱為簡(jiǎn)單題，只有一人做對(duì)的稱為難題，那么，難題比簡(jiǎn)單題多40

道．【分析】將題分成三部分有3人做對(duì)﹣﹣簡(jiǎn)單題；2人做對(duì)﹣﹣中檔題；有1人做對(duì)﹣﹣難題；則難題+簡(jiǎn)單題+中檔題①，3×120﹣中檔題﹣簡(jiǎn)單題的2倍200，即中檔題+2倍單題=160②，再用①式減去②式，即可得出：40=難題﹣簡(jiǎn)單題．【解答解：有3人做對(duì)﹣﹣簡(jiǎn)單題；有2人做對(duì)﹣﹣中檔題；1人做對(duì)﹣﹣難題；如解：根據(jù)題意得出數(shù)量關(guān)系式：難+中+簡(jiǎn)=200…．①120×3﹣（中+3簡(jiǎn)）+簡(jiǎn)=200360﹣中﹣2簡(jiǎn)=200中+2簡(jiǎn)=160…..②①②相減可得：難﹣簡(jiǎn)=200﹣160=40（道）答：難題比簡(jiǎn)單題多40道．故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)本題主要考查了容斥原理正確確定解題思路轉(zhuǎn)化為求列出數(shù)量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．

41．科技活動(dòng)小組有55人．在一次制作飛機(jī)模型和制作艦艇模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機(jī)模型的同學(xué)40，制作好一艘艦艇的同學(xué)有人．每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制作．問(wèn)兩項(xiàng)制作都完成的同學(xué)有17

人．【分析先求出制作的飛機(jī)模型的人數(shù)和制作艦艇模型的人數(shù)一共有多少個(gè)這樣計(jì)算把兩項(xiàng)制作都完成的同學(xué)多算了一次，所以再減去總?cè)藬?shù)，就是兩項(xiàng)制作都完成的同學(xué)的人數(shù)．【解答】解：40+32﹣55=72﹣55=17（人）答：兩項(xiàng)制作都完成的同學(xué)有17人．故答案為：17．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，用到知識(shí)點(diǎn)：素+B素﹣元素總數(shù)既AB元素．42．在某一學(xué)校，星期一15個(gè)學(xué)生缺席，星期二12個(gè)同學(xué)缺席，星期三有9個(gè)同學(xué)缺席如果這三天至少有一天缺席的學(xué)生有22人那么在這三天都缺席的學(xué)生最多有7

人．【分析設(shè)三天都缺席的學(xué)生有x人則第一天缺席的學(xué)生有15﹣x只缺席了一天或兩天，第二天缺席的學(xué)生有12﹣x只缺席了一天或兩天，第三天缺席的學(xué)生有9﹣x人只缺席了一天或兩天三天中只缺席一天或兩天的人數(shù)和也就是22﹣x人，由此列出方程求解．【解答】解：設(shè)三天都缺席的學(xué)生有x人，根據(jù)題意可知：（15﹣x）+（12﹣x）+（9﹣x）=22﹣x，36﹣3x=22﹣x，2x=14，x=7；

答：這三天都缺席的學(xué)生人數(shù)最多有7人．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)本題設(shè)出3天都缺席的人數(shù)然后把每天中只缺席了一天或兩天的人數(shù)表示出來(lái)，再找出等量關(guān)系，列出方程求解．43．學(xué)校數(shù)學(xué)競(jìng)賽出了A，，C三道題，至少做對(duì)一道的有人，其中做對(duì)A題的有10人，做對(duì)B題的有13人，做對(duì)題的有15人．如果三道題都做對(duì)的只有1人，那么只做對(duì)兩題的共有11

人．【分析】由于做對(duì)A，B，C三道題都包含“三道題都做對(duì)的1”，多算了2人以根據(jù)容斥原理列式為對(duì)兩題的人數(shù)1×﹣25=11（人據(jù)此解答．【解答】解：根據(jù)分析可得，（10+13+15）﹣1×2﹣25=11（人答：只做對(duì)兩題的共有11人．故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題題考查了容斥原理，關(guān)鍵是理解25人包括三部分（做對(duì)1至3題的人數(shù)點(diǎn)是根據(jù)已知條件得出隱含的信息，知識(shí)點(diǎn)是：總?cè)藬?shù)=（）﹣既A又B．44某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽以后52人參加，共考5題，每道題做錯(cuò)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：題號(hào)做錯(cuò)人數(shù)

14

26

310

420

539如果每人都至少做對(duì)1道題，只做1題有7人，5道題都做對(duì)的有6人，只做對(duì)2道題和只做對(duì)3道題的人數(shù)相同，那么做對(duì)4道題的有31

人．【分析總共有52×5=260道題做錯(cuò)的題目數(shù)為4+6+10+20+39=79所以做對(duì)的題目為﹣79=181，又只做對(duì)1題有7，5道題都做對(duì)的有6，則做對(duì)2道題、3道題、4題的題目總數(shù)為181﹣7﹣5×6=144，由于做

對(duì)2道題和3道題的人數(shù)一樣多，即可以看作是一樣的人數(shù)做對(duì)了5道題，由此可設(shè)做對(duì)四道題的有x人，只做對(duì)2題和只做對(duì)道題的一樣的人數(shù)為y，則①，又只做對(duì)1題有7，5題都做對(duì)的有人，則做對(duì)2、3、4題的共有x+2y=52﹣1﹣7人②，整理①②即能得出做對(duì)道題的有多少人．【解答】解：做對(duì)的題目有：260﹣（4+6+10+20+39）=60﹣79，=181（道做對(duì)做對(duì)2道題、3道題、4道題的題目總數(shù)為﹣7﹣5×6=144道，設(shè)做對(duì)四道題的有x人，只做對(duì)2道題和只做對(duì)道題道的一樣的人數(shù)為y，即共做對(duì)了（2+3）y題，可得：4x+5y=144①，x+2y=52﹣1﹣7=39②，由②得：x=39﹣2y，由①得：4（39﹣2y）+5y=144，156﹣8y+5y=144，3y=12，y=4