等腰三角形（4） 教學(xué)設(shè)計(jì)

等腰三角形（4）教學(xué)目標(biāo)知識與技能：1．掌握證明的基本步驟和書寫格式．2．能夠用綜合法證明等邊三角形的判定定理和直角三角形的性質(zhì)定理．能力目標(biāo)：經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過程，能夠用綜合法證明直角三角形的有關(guān)性質(zhì)定理和等邊三角形的判定定理．情感目標(biāo)：1．探索含30°角的直角三角形的性質(zhì)．2．理解含30°角的直角三角形的性質(zhì)，并會應(yīng)用它進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：探索并理解含30°角的直角三角形的性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)：等邊三角形的判定定理和直角三角形的性質(zhì)定理．教學(xué)過程（一）．復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)入新知[師]上一節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了等邊三角形的性質(zhì)和判定，請大家回憶一下：1．等邊三角形有哪些性質(zhì)？2．你有哪些判定等邊三角形的方法？這一節(jié)課，我們將應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)和判定解決一些相關(guān)的問題．（二）自主探究，學(xué)習(xí)新知[師]我們學(xué)習(xí)過直角三角形，今天我們先來看一個特殊的直角三角形，看它具有什么性質(zhì)．大家可能已猜到，我讓大家準(zhǔn)備好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性質(zhì)呢？問題：用兩個全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一個怎樣的三角形？能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？你能證明你的結(jié)論嗎？（讓學(xué)生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，同時引導(dǎo)學(xué)生意識到，通過實(shí)際操作探索出來的結(jié)論，還需要給予證明）[生1]用含30°角的直角三角尺擺出了如下等邊三角形：理由：因?yàn)椤鰽BD≌△ACD，所以AB=AC，又因?yàn)镽t△ABD中，∠BAD=30，所以∠ABD=60°，所以△ABC是等邊三角形。（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．[生2]圖（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等邊三角形．（三個角都相等的三角形是等邊三角形）。[師]同學(xué)們從不同的角度說明了自己拼成的圖（1）是等邊三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系嗎？[生]在直角三角形中，30°角所對直角邊是斜邊的一半．[師]我們僅憑實(shí)際操作得出的結(jié)論還需證明，你能證明它嗎？[生]可以，在圖（1）中，我們已經(jīng)知道它是等邊三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得BD=DC=BC．所以BD=AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所對的邊BD是斜邊AB的一半．[師生共析]這位同學(xué)能結(jié)合前后知識，把問題思路解釋得如此清晰，很了不起．下面我們一同來完成這個定理的證明過程．定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=AB．圖2分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD．證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，則∠B=60°．延長BC至D，使CD=BC，連接AD（如上圖）∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB=AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．∴△ABD是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．∴BC=BD=AB．[師]這個定理在我們實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，因?yàn)樗山堑奶厥庑裕沂玖酥苯侨切沃械闹苯沁吪c斜邊的關(guān)系，它是證明線段倍分關(guān)系的又一定理。你能寫出這個定理的符號語言嗎？_C_C_A_B圖3如圖3，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠BAC=30°．∴BC=AB．下面我們就來看一下這個定理在實(shí)際中的應(yīng)用．（三）合作探究，應(yīng)用新知[師]再看下面的例題．例：等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高．圖4已知：如圖4，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求：CD的長．分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一個外角，則∠DAC=15°×2=30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）．[師]下面我們來做練習(xí)．（四）．課堂小結(jié)說一說你在等邊三角形這一節(jié)中印象最深的是什么？都有哪些收獲？這節(jié)課，我們應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)和判定推理證明了含30°角的直角三角形的邊的關(guān)系．這個定理是個非常重要的定理，在今后的學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用．（五）．活動與探究在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．方法分析：可以從證明“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”．從輔助線的作法中得到啟示．圖5已知：如圖（5），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求證：∠BAC=30°．證明：延長BC到D，使CD=BC，連結(jié)AD．∵∠ACB=90°，∴∠ACD