【同步測試】對數(shù)函數(shù)-單元檢測

對數(shù)函數(shù)——單元檢測一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知對數(shù)函數(shù)的圖像過點M(9,2),則此對數(shù)函數(shù)的解析式為 ()A.y=log2x B.y=log3xC.y=log13x D.y=lo2．函數(shù)f(x)＝lg(x－1)＋eq\r(4－x)的定義域為 ()A．(1,4] B．(1,4)C．[1,4] D．[1,4)3．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是 ()4．函數(shù)f(x)＝log2(1－x)的圖象為 ()5．已知函數(shù)f(x)滿足f(x－1)=lgx,則不等式f(x)<0的解集為 ()A.(－∞,1) B.(1,2)C.(－∞,0) D.(－1,0)6．2018年5月至2019年春,在阿拉伯半島和伊朗西南部,沙漠蝗蟲迅速繁衍,呈指數(shù)增長,引發(fā)了蝗災,到2020年春蝗災已波及印度和巴基斯坦.假設(shè)蝗蟲數(shù)量的日增長率為5%,則達到最初的16000倍需要經(jīng)過 ()(參考數(shù)據(jù):ln1.05≈0.0488,ln1.5≈0.4055,ln1600≈7.3778,ln16000≈9.6803)A.152天 B.150天C.197天 D.199天7．在同一平面直角坐標系中,函數(shù)y=g(x)的圖像與y=ex的圖像關(guān)于直線y=x對稱,而函數(shù)y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,若f(m)=－1,則m的值是 ()A.－e B.－1C.e D.18．設(shè)函數(shù)f(x)=x2＋ln(|x|＋1),則使得f(x)>f(3x－1)的x的取值范圍是 ()A.(－∞,12) B.(14,＋∞C.(－∞,14)∪(12,＋∞) D.(14二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．下列式子中錯誤的是 ()A．log0.44＜log0.46 B．1.013.4＞1.013.5C．3.50.3＜3.40.3 D．log76＜log6710．下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是 ()A.y=lg(x2－1) B.y=log12(1－xC.y=lnx2 D.y=log13(2x11．若實數(shù)a,b滿足loga2<logb2,則下列式子可能成立的是 ()A.0<b<a<1 B.0<a<1<bC.a>b>1 D.0<b<1<a12．已知函數(shù)f(x)=logax(a>0,且a≠1)的圖像經(jīng)過點(4,2),則下列說法中正確的有 ()A.函數(shù)f(x)是增函數(shù)B.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)C.若x>1,則f(x)>0D.若0<x1<x2,則f(x1)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)y=loga(x－3)－1的圖像恒過定點P,則點P的坐標是.

14．在不考慮空氣阻力的情況下,火箭的最大速度v(單位:米/秒)和燃料的質(zhì)量M(單位:千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(單位:千克)的函數(shù)關(guān)系式是v=2000·ln(1＋Mm).當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的倍時,火箭的最大速度可達12千米/秒15．已知函數(shù)f(x)=log22(1+x)x-1,若f(a)=2,則f(16．已知f(x)=(3-a)x-a,x<1,log四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．若函數(shù)y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的圖象過點(－1,0)．(1)求a的值；(2)求函數(shù)的定義域．18．大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.記鮭魚的游速為vm/s,鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q,經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)v與log3Q100成正比,且當Q=900時,v=1(1)求出v關(guān)于Q的函數(shù)解析式;(2)計算一條鮭魚的游速是1.5m/s時耗氧量的單位數(shù).19．已知a>0,且滿足不等式22a＋1>25a－2.(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)解不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x);(3)若函數(shù)y=loga(2x－1)在區(qū)間[1,3]上有最小值－2,求實數(shù)a的值.20．已知函數(shù)f(x)=log4(ax2＋2x＋3).(1)若f(1)=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)的最小值是0,求實數(shù)a的值;21．設(shè)函數(shù)f(x)=log24x·log22x的定義域為[14,4](1)求函數(shù)f(x)的最小值和最大值,并求出最值對應的x的值;(2)解不等式f(x)－6>0.22．已知函數(shù)f(x)=ln(1＋x)－ln(1－x).(1)判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性;(2)用定義法證明f(x)在定義域上是增函數(shù);(3)求不等式f(2x－5)＋f(2－x)<0的解集.題號答案學科核心素養(yǎng)水平解析1B邏輯推理水平一解析：設(shè)該對數(shù)函數(shù)的解析式為y=logax(a>0,且a≠1),∵對數(shù)函數(shù)的圖像過點M(9,2),∴2=loga9,∴a2=9,又a>0,∴a=3,∴該對數(shù)函數(shù)的解析式為y=log3x.故選B.2A數(shù)學抽象水平一解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0，,4－x≥0，))所以1＜x≤4．故選A．3D直觀想象水平一解析：設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意知，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的圖象大致為D中圖象．4A直觀想象水平一解析：函數(shù)的定義域為(－∞，1)，排除B、D，函數(shù)f(x)＝log2(1－x)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，排除C，故A正確．5D數(shù)學抽象水平二解析：令x－1=t,則x=t＋1,t＋1>0,所以f(t)=lg(t＋1),故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=lg(x＋1),則不等式f(x)<0為lg(x＋1)<0,解得－1<x<0,故選D.6D數(shù)學運算水平二解析：設(shè)最初有N0只蝗蟲,達到最初的16000倍需要經(jīng)過x天,由題意得N0(1＋0.05)x=16000N0,即1.05x=16000,所以x=ln16000ln1.05≈198.4,又x∈N*,所以達到最初的16000倍需要經(jīng)過1997B直觀想象水平二解析：∵函數(shù)y=g(x)的圖像與y=ex的圖像關(guān)于直線y=x對稱,∴函數(shù)y=g(x)與y=ex互為反函數(shù),則g(x)=lnx,又函數(shù)y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,∴f(x)=ln(－x).∵f(m)=－1,∴l(xiāng)n(－m)=－1,解得m=－1e,故選B8D數(shù)學抽象水平二解析：函數(shù)f(x)的定義域為R,因為f(－x)=(－x)2＋ln(|－x|＋1)=x2＋ln(|x|＋1)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).當x≥0時,f(x)=x2＋ln(x＋1),易知f(x)單調(diào)遞增,由偶函數(shù)的圖像(圖略)可知當x<0時,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)>f(3x－1)等價于|x|>|3x－1|,兩邊平方并整理得8x2－6x＋1<0,解得14<x<12.故選9ABC邏輯推理水平二解析：因為y＝log0.4x為減函數(shù)，故log0.44＞log0.46，故A錯；因為y＝1.01x為增函數(shù)，所以1.013.4＜1.013.5，故B錯；由冪函數(shù)的性質(zhì)知，3.50.3＞3.40.3，故C錯；log76＜1＜log67，故D正確．10BC邏輯推理水平二解析：因為在區(qū)間(0,1)上,x2－1<0,所以A中函數(shù)不符合條件;因為在區(qū)間(0,1)上,t=1－x2單調(diào)遞減,y=log12t單調(diào)遞減,所以y=log12(1－x2)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,故B中函數(shù)符合條件;因為在區(qū)間(0,1)上,m=x2單調(diào)遞增,y=lnm單調(diào)遞增,所以y=lnx2在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,故C中函數(shù)符合條件;因為在區(qū)間(0,1)上,n=2x＋1單調(diào)遞增,y=log13n單調(diào)遞減,所以y=log13(2x＋1)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減11ABC數(shù)學抽象水平二解析：對于A,若a,b均大于0且小于1,則由loga2<logb2知,必有0<b<a<1,故A中式子可能成立;對于B,若logb2>0>loga2,則有0<a<1<b,故B中式子可能成立;對于C,若a,b均大于1,則由loga2<logb2知,必有a>b>1,故C中式子可能成立;對于D,當0<b<1<a時,loga2>0,logb2<0,此時loga2<logb2不可能成立.故選ABC.12ACD直觀想象水平二解析：由題意得2=loga4,即a=2,故f(x)=log2x.對于A,因為2>1,所以函數(shù)f(x)為增函數(shù);對于B,因為函數(shù)f(x)的定義域不關(guān)于原點對稱,所以函數(shù)f(x)=log2x不是偶函數(shù);對于C,當x>1時,f(x)=log2x>log21=0成立;對于D,因為函數(shù)f(x)=log2x的圖像往上凸,所以若0<x1<x2,則f(x1)+f(x2)13(4,－1)數(shù)學抽象水平一解析：∵y=logax的圖像恒過定點(1,0),∴令x－3=1,得x=4,則y=loga(4－3)－1=－1,故點P的坐標是(4,－1).14e6－1數(shù)學抽象水平二解析：由題意可得12000=2000ln1＋Mm,則ln1＋Mm=6,即1＋Mm=e6,所以Mm=e6－1.150邏輯推理水平二解析：∵f(a)=log22(1+a)a-1=log22＋log21+aa-1=1＋log21+aa-1=2,∴l(xiāng)og21+aa-1=1,∴f(－a)=log22(1-a)-16(1,32邏輯推理水平二解析：若0<a<1,則當x≥1時,logax≤0,當x<1時,(3－a)x－a<3－a－a=3－2a,此時f(x)的值域不為R,不符合題意;若a>1,則當x≥1時,logax≥0,當x<1時,要使函數(shù)f(x)的值域為R,只需3-a>0,loga1≤3-a-a,可得1<a17(1)a＝2(2){x|x＞－2}數(shù)學抽象水平二解：(1)將(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，則－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，所以函數(shù)的定義域為{x|x＞－2}．18(1)v=12log3Q(2)2700數(shù)學運算水平二解：(1)設(shè)v=k·log3Q100∵當Q=900時,v=1,∴1=k·log3900100解得k=12,∴v關(guān)于Q的函數(shù)解析式為v=12log3(2)令v=1.5,得1.5=12log3Q100,解得即一條鮭魚的游速是1.5m/s時耗氧量為2700個單位.19(1)0<a<1(2)(34,7(3)a=5數(shù)學運算水平二解:(1)∵22a＋1>25a－2,∴2a＋1>5a－2,解得a<1,又a>0,∴0<a<1.(2)由(1)知0<a<1,則loga(3x＋1)<loga(7－5x)等價于3x+1>0,7-5x>0,3x+1>7(3)∵0<a<1,∴函數(shù)y=loga(2x－1)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減,∴當x=3時,y取得最小值－2,即loga5=－2,∴a－2=1a2=5,解得a=55或a=－55(舍去),20(1)(－1,1)(2)a=1邏輯推理水平二解:(1)∵f(1)=1,∴l(xiāng)og4(a＋5)=1,即a=－1,∴f(x)=log4(－x2＋2x＋3),由－x2＋2x＋3>0,解得－1<x<3,∴f(x)的定義域為(－1,3).∵函數(shù)t=－x2＋2x＋3在(－1,1)上單調(diào)遞增,而y=log4t是定義域上的增函數(shù),∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,1).(2)∵函數(shù)f(x)=log4(ax2＋2x＋3)的最小值為0,∴函數(shù)t=ax2＋2x＋3有最小值1,∴a>0,12a21(1)當x=24時,f(x)取得最小值－14;當x=4時,f(x)取得最大值(2){x|2<x≤4}數(shù)學運算水平二解:(1)由題意,log24x·log22x=(log24＋log2x)·(log22＋log2x)=(2＋log2x)·(1＋log2x),令t=log2x,因為x∈[14,4所以t=log2x∈[－2,2].令y=(2＋t)(1＋t)=t2＋3t＋2,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得當t=－32,即x=2-32=24時,y=t2＋3t＋2取得最小值,最小值為(－32)2＋3×(－3當t=2,即x=22=4時,y=t2＋3t＋2取得最大值,最大值為22＋3×2＋2=12.綜上,當x=24時,f(x)取得最小值－14;當x=4時,f(x)取得最大值(2)由(1)知,f(x)－6>0可化為t2＋3t－4>0,解得t>1或t<－4,又因為t∈[－2,2],所以1<t≤2,則log22<log2x≤log24,即2<x≤4,故不等式f(x)－6>0的解集為{x|2<x≤4}.22見解析邏輯推理水平二解:(1)f(x)是奇函數(shù).證明:由對數(shù)函數(shù)的定義得1+x>0,1-x>0,解得－1<x<又f(－x)=ln(1－x)