人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《最短路徑問題》專項(xiàng)課時(shí)練習(xí)及解析-試題

新人教版學(xué)八年級(jí)上13.4課題習(xí)短路徑問題時(shí)練習(xí)一、選擇題（共15?。?圖直坐標(biāo)系中有線段AB＝到軸距離分別為10cm和40cmB點(diǎn)y軸距離為30cm，現(xiàn)在在x軸y軸分別有動(dòng)點(diǎn)P、，四邊形的長最短時(shí)，則這個(gè)值為（）A．50B．50

C．50D．50＋50答案：知識(shí)點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理；軸對(duì)最路線問題解析：解答過B點(diǎn)BMy軸y軸E點(diǎn)取EMBEA點(diǎn)ANx軸交x軸點(diǎn)截取NF＝，接MN交xy分別為P，點(diǎn)過M點(diǎn)作MK⊥x軸，過N點(diǎn)NKy軸兩線交于K點(diǎn)．MK＝40＋＝，作BL⊥軸交KNL點(diǎn)過A點(diǎn)ASBP交BP于S點(diǎn)∵LNAS50

＝．∴＝＋40＝100．∴MN＝502＝50∵M(jìn)N＝MQ＋PN＝＋QP＋AP50∴四邊形PABQ周長＝505＋50．故選D．

5

．分析B點(diǎn)BMy軸交y于E點(diǎn)?。紹EA點(diǎn)ANx軸x軸F點(diǎn)截取NF＝，接XY軸別為PQ點(diǎn)此時(shí)四邊形PABQ的長最短，根據(jù)題目所給的條件可求出周長．2．圖，在面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（24），B（4，）在x軸取一點(diǎn)P，點(diǎn)P到A和B的離之和最小，則點(diǎn)P的標(biāo)是（）A（2，）B（4，）C．（2，）D．（0，）答案：C知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)的坐標(biāo)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；軸對(duì)-最短路線問題解析：解答：作A于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C連接AC交x軸D連接BC交x軸P連接AP，則此時(shí)＋PB最，即此時(shí)點(diǎn)P到A和B的離之和最小，∵A（－2，）∴（2，－4，設(shè)直線CB的析式是y＝＋，把CB的標(biāo)代入得

，解得：＝，＝－，∴＝－，把y＝代得0x－，x＝，即P的標(biāo)是20），故選C．分析：作A于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C連接AC交x軸D連接BC交x軸P連接AP，此時(shí)點(diǎn)P到A和B的離之和最小，求出C（的坐標(biāo)，設(shè)直線CB的析式是y＝＋，C、的標(biāo)代入求出析式是y＝－，＝0代入求出x即．3．圖，等△邊長為4，AD是BC上的中線是AD邊上動(dòng)點(diǎn)E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)＋CF取得最小值時(shí)，則ECF的數(shù)為（）A．15°B22.5C30D．°答案：知識(shí)點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；軸對(duì)最路線問題解析：解答：過E作EMBC交AD于N，∵＝，AE＝，∴＝＝AE，∴＝BM＝2，∴＝，∵AD是邊的中線是等邊三角形，∴ADBC，∵∥BC，∴ADEM，∵＝，∴E和M關(guān)AD對(duì)，連接CM交AD于F，連接EF，則此時(shí)EF＋的最小，∵△是邊三角形，∴∠ACB60AC＝BC，∵＝BM，∴∠ECF＝

∠＝°，故選C．分析：過E作EMBC，交AD于N，連接交于F，連接EF，推出M為AB中，求出E和M關(guān)AD對(duì)，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求ACM，即可求出答案．4．圖，AOB30，有一點(diǎn)P且OP6，、為OA、上兩動(dòng)點(diǎn)，那么△PMN的長最小為（）．A．

6

B6C．2

D．

答案：知識(shí)點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì)；軸對(duì)-最短路線問題解析：解答：作P關(guān)OA的稱D作P于OB的稱點(diǎn)E，接DE交于，交OB于N連接PM，PN，則此時(shí)PMN周長最小，連接ODOE∵P、關(guān)OA對(duì)，∴＝PM，同理OE＝，＝，∴＝＝OP＝

∵P、關(guān)OA對(duì)，∴OA⊥PD，∵＝，∴∠DOA∠POA同理∠POB∠，∴∠DOE2AOB230═°∵＝＝

，∴△DOE是邊三角，∴＝

，即PMN的長是PM＋MNPN＝＋＋＝DE，故選D．分析：根據(jù)題意畫出符合條件的圖形，求出O＝OE，DOE＝60，得出等邊三角形DOE，求出DE＝6

，求出PMN的長DE即可求出答案．5．知兩點(diǎn)M（，5），（，－1），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若使PM＋PN最短，則點(diǎn)P的標(biāo)應(yīng)為（）．A（

12，－4）B．（，0）C．（，0）D．（，）23答案：知識(shí)點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；軸對(duì)-最短路線問題；待定系數(shù)法一次函數(shù)解析式解析：解答：PM＋PN最短，∴M、、三共線，∵M(jìn)（3，）（，），∴設(shè)解析式為y＝kx＋b，把（，），（，1）別代入解析式得，k

，解得

，其解析式為y＝－．當(dāng)y＝時(shí)，＝

43

．故P點(diǎn)標(biāo)為（故選C．

43

，）分析：若PMPN最，則M、N三共線，根據(jù)MN的標(biāo)，求出的析式，再求出與x的交點(diǎn)即可．6．知AOB的小為αP是AOB內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，且OP＝2點(diǎn)E分是、OB上動(dòng)點(diǎn)，若PEF周的小值等于，α＝（）．A°B．45°C°D．90答案：知識(shí)點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì)；軸稱最路線問題解析：解答：如圖，作點(diǎn)P關(guān)OA的稱點(diǎn)C關(guān)于OB的稱點(diǎn)D，連接CD交于E，OB于F．此時(shí)，PEF的長最小．連接OC，PEPF．∵點(diǎn)P與C關(guān)OA對(duì)，∴垂平分，∴∠COA∠AOP，PE＝CE，OCOP同理，可得DOB∠BOP，＝DF，＝．∴∠COA＋∠DOB＝∠AOP∠BOP＝AOB＝，＝ODOP2∴∠＝α．又△PEF的長PE＋＋FP＝＋＋＝CD＝2，∴＝OD＝CD＝，∴△COD是等邊三角形，∴α60，∴α＝°故選A分析：設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的稱為C，關(guān)于OB的稱點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)E、在CD上，PEF的長為＋EF＝CD，此時(shí)周長最小，根據(jù)CD＝2可求出的度數(shù)．7．線L是條河，，是個(gè)村莊．欲在L上某處修建一個(gè)水泵站，向P，兩供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的是（）．AB．C．D．答案：知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱最短路線問題解析：解答：作點(diǎn)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)P，接QP交線LM．根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項(xiàng)鋪的管道，則所需管道最短．故選D．分析：利用對(duì)稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離．8．知兩點(diǎn)A（，）和B（，－2，點(diǎn)P在y軸且使APBP最短則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A（，

11）B．（，）C．（0，1）D（0，

）答案：知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)的坐標(biāo)；軸對(duì)稱最路線問題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解析：解答：根據(jù)已知條件，點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)A為－，）．設(shè)過AB的析式為y＝kx＋，－3kb＝2；＋＝2．解得＝－1，b＝1那么此函數(shù)解析式為y－－1．與y的交點(diǎn)是0，－），此點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P故選C．分析：根據(jù)已知條件和兩點(diǎn)間線段最短，可知點(diǎn)“其中一點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線和y的交點(diǎn)．9在面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)AB的標(biāo)分別（240點(diǎn)C的標(biāo)（m

）m為負(fù)數(shù)），則CACB的小值是（）A．6B．

7

C．

D．5答案：知識(shí)點(diǎn)：軸稱最路線問題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；兩條直線相交或平行問題解析：解答：如圖所示：∵點(diǎn)C的標(biāo)為，

m（m為非負(fù)數(shù)）∴點(diǎn)C的標(biāo)所在直線為y＝3x點(diǎn)A關(guān)直線y＝

x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′，AA所在直線為y＝

33

x＋，把點(diǎn)A的坐標(biāo)（2，0）代入得23解得b．3

33

×2＋＝，故AA所在直線為y

x＋．x聯(lián)立C坐標(biāo)所在直線和AA′所在直線可3x3

，1x解得y2

，∴的標(biāo)在直線和AA所直線的交點(diǎn)M的標(biāo)為（

，）2∴點(diǎn)A關(guān)直線y＝

3

x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

3

），∴AB

(4

2

(03)

2

＝

28

＝

7

，即CA＋的最小值．故選C．分析：分別得到點(diǎn)C的坐標(biāo)所在直線，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)C的標(biāo)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)A所在直線AA的解析式求得兩條直線的交點(diǎn)進(jìn)一步得到A點(diǎn)坐標(biāo)再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解．10．圖，在銳中AB42

，BAC＝°，BAC的分線交BC點(diǎn)D、N分是ADAB上動(dòng)點(diǎn)，則BM＋的小值是（）A3B4C．5．6答案：知識(shí)點(diǎn)：三角形的角平分線、中線和高；軸對(duì)稱最路線問題；全等三角形的判定與性質(zhì)解析：解答：如圖，在AC上取AE＝，連接BE∵∠的平分線交BC于點(diǎn)D，∴∠EAM∠NAM，在AME與AMN中NAM

，

AMAM∴△AMEeq\o\ac(△,≌)AMN（SAS，∴ME＝MN．∴＋MN＝BM＋ME≥BE．∵＋有小值．當(dāng)BE是B到線AC距離時(shí)BEAC，又AB＝，BAC45，此時(shí)，ABE為腰直角三角形，∴＝4，即BE取小為4，∴＋的小值是4．故答案為：．分析從知條件結(jié)合圖形認(rèn)真考過構(gòu)造全等三角形利用三角形的三邊的關(guān)系確定線段和的最小值．11．圖，銳角三角ABC中，C45，N為上點(diǎn)NC＝BN＝2M為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BMMN的小值是（）A．

B

21

C．

74

D．

45答案：知識(shí)點(diǎn)：三角形相關(guān)概念；勾股定理；軸對(duì)稱最路線問題解析：解答：如圖所示，先作點(diǎn)關(guān)AC的稱點(diǎn)N，由兩點(diǎn)之間線段最短可知BN′即為BMMN的小值，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知N′CNC＝，ACB＝′＝°，即∠′＝90°，在′中BN＝

N'C22

＝

2

＝

．故答案為：．分析：先作N關(guān)AC對(duì)稱點(diǎn)N，兩點(diǎn)之間線段最短可BN即為BM＋MN的小值，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知NC＝NC＝，BCN＝°再利用勾股定理即可求BN′的．12．油站A和店B在路MN的一側(cè)（如圖）A到MN的離大于B到MN的離AB7一個(gè)行人P在路MN上行走，問P到A的離與P到B的離之差最大時(shí)，這個(gè)差等于（）米．A．8B．C．6D．7答案：知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱最短路線問題；三角形的三邊關(guān)系解析：解答：當(dāng)A、、三不在同一直線上時(shí)，此時(shí)三點(diǎn)構(gòu)成三角形．∵兩邊AP與BP的差小于第三邊AB．∴A、、在同一直線上，∴P到A的距離與P到B的距離之差最大，∴這個(gè)差就是AB的，故答案為：．分析ABP構(gòu)三角形時(shí)與BP的小于第三邊AB以當(dāng)在一直線上時(shí)PA與PB之最大＝AB＝．13．如圖中ABAC＝BC＝10AD是BC邊的中線FAD上動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CF＋EF的小值為（）．A．

12013

B10C．12D13答案：知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱最短路線問題；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理解析：解答：作E關(guān)AD的稱點(diǎn)M，連接CM交于，接EF過CCNABN∵＝AC＝，＝，AD是BC邊上的中線，∴＝DC＝5，ADBC，AD平∠BAC，∴M在AB上在中由勾股定理得AD＝

132

＝，∴S＝△ABC

1××AD＝××CN，2∴＝

＝＝，AB13∵E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，∴EFFM，∴＋CFFM＝，根據(jù)垂線段最短得出CMCN，120即CF＋EF，13即CF＋EF最小值是

12013

，故答案為：．分析：作E關(guān)于AD對(duì)稱點(diǎn)，連接交AD于F，接EF，過C作CNAB于N，根據(jù)三線合一定理求出BD的和AD⊥BC，根勾股定理求出AD，根據(jù)角形面積公式求出，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)求出CF＝，根據(jù)垂線段最短得出CF＋≥

，即可得出答案．14．圖，中，ACBC＝4，點(diǎn)D，分是，的點(diǎn)在CD上一點(diǎn)P使PA＋最小，則這個(gè)小值是（）．A．

3

B4C．

5

D．5答案：知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱最短路線問題；等腰三角形的性質(zhì)解析：解答：如圖，連接BE，則BE就PA＋的最小值，∵ABC中，AC＝BC＝，D，別是AB，AC的中點(diǎn)∴＝，∴＝

＝

，∴＋PE的小值是故答案為：．

25

．分析：要求PA＋的最小值PAPE不直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PAPE的值，從而找出其最小值求解．15．知，如圖，一牧童在A處馬，牧童家在處，，兩距河岸的距離AC，BD的長分別為700米，500米，且CD的離為500米天黑前牧童A點(diǎn)馬牽到河邊去飲水后，再趕回家，那么牧童最少要走（）米．A1100．1200C．1300D．1400答案：知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱最短路線問題；勾股定理解析：解答：點(diǎn)B關(guān)CD的稱點(diǎn)E由對(duì)稱的性質(zhì)可知，BDED，EDM∠MDB，＝，∴△MDB，∴＝ME，＋AMMEAMAE，即AE為童走的最短路程．∵＝CD＝500米，AN＝NCAC700＋＝1200，∴在中AE

ANEN

2

＝

＝．故牧童至少要走1300米分析：在CD邊找一點(diǎn)M使AM和BM的最小，延長BD到E，使BD＝DE，連接AE交邊點(diǎn)，點(diǎn)E作ENAC于，則AE為求的長即牧童最少要走的距離．二、填空題（共5小）1．圖，已ABADCD⊥AD垂足分別為AD，＝AB5CD3，P是段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)AP＝DP＝y(tǒng)

25y

，a的小值是_____．答案：10知識(shí)點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；軸對(duì)-最短路線問題解析：解答：由題意可得，當(dāng)BPC三在同一直線時(shí)，a的最小．則ABPeq\o\ac(△,∽)DCP，x＝

159，＝，4則a的小值是10分析：首先確定BPC三在同一直線時(shí)a的值最小．然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算．2．知如圖示，＝40°，為MON內(nèi)點(diǎn)，AOM上點(diǎn)B為ON上點(diǎn)，則當(dāng)PAB的長取最小值時(shí)，APB的數(shù)_____．答案：°知識(shí)點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角；三角形相關(guān)概念；軸對(duì)-最短路線問題解析：解答：如圖，作出P點(diǎn)于OM、的稱P，P連接P，交OM，ON于A、1212兩點(diǎn)，此時(shí)PAB的周長最小，由題意可知PPP＝180－MON18040＝°，12∴∠PA＋∠PPB∠＋P＝180°－PPP＝°，121212∴∠APB14040°＝100°．故答案為：°．分析：作出P點(diǎn)于、的稱點(diǎn)P，P連P，交OM，ON于、兩點(diǎn)，1212此時(shí)PAB的長最小，再由四邊形內(nèi)和定理即可求出答案．3．圖，在ABC，AC＝BC2∠ACB＝90°，是BC邊中點(diǎn)，AB邊一動(dòng)點(diǎn)，則EC＋ED的小值是____．答案：

知識(shí)點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；軸對(duì)-短路線問題解析：解答：過點(diǎn)C作COAB，延長CO到′，OC＝，連接DC，AB于，連接CE，此時(shí)DE＋CE＝DE＋EC′＝DC的最?。B接BC，對(duì)稱性可知CBE＝∠CBE＝°，∴∠′＝90，∴′BC，BCC′＝BCC＝°，∴＝′＝，∵是BC邊中點(diǎn)，∴＝，根據(jù)勾股定理可得′＝故答案為：．

22＝2

5

．分析：首先確定DC＝＋′DE＋CE的最?。缓蟾鶕?jù)勾股定理計(jì)算．4．知：如所示M（，）N（，1．點(diǎn)P在軸上使PM＋PN最，則P點(diǎn)坐標(biāo)為________．答案：（，－

14

）知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)的坐標(biāo)；一次函數(shù)的應(yīng)用；軸對(duì)最路線問題解析：解答：根據(jù)題意畫出圖形，找出點(diǎn)N關(guān)y軸對(duì)稱點(diǎn)N，接MN，與y軸點(diǎn)為所求的點(diǎn)P∵（，1），∴′（－，1）設(shè)直線′的解析式為y＝＋，（32）′（，－1代入得：2，3k4，解得1b1所以＝x－，4令x＝，得y＝－

14

，則點(diǎn)P坐標(biāo)為0－

14

）．分析：找出點(diǎn)N于y的對(duì)稱點(diǎn)，連接M與稱點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)為P點(diǎn)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)點(diǎn)Py軸上且使PM＋PN最短根據(jù)關(guān)于y軸稱點(diǎn)的特點(diǎn)，找出N稱點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)直線MP的程把N的稱點(diǎn)的坐標(biāo)和的坐標(biāo)代入可確定出直線MP方程后令x＝求出直線與y軸交點(diǎn)出交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)P的標(biāo)．5．圖，Rt△中ACB＝°＝°BC＝是AB邊中點(diǎn)F是AC邊的中點(diǎn)（EF＝____2若D是BC邊一動(dòng)點(diǎn)EFD的長最小值____．答案：；2＋

知識(shí)點(diǎn)：勾股定理；軸對(duì)-短路線問題；三角形中位線定理解析：解答：（）E是AB的中點(diǎn)F是AC邊中點(diǎn)，∴EF為ABC的位線，∵＝，∴EF

1BC＝×4＝；2（）長到P，F(xiàn)C＝PC連接EP交BC于，接ED、FD此時(shí)ED＋最小，即EDF的周長最小，∵EF為ABC的位線，∴EFBC∵∠＝°∴∠EFC90FCPC＝

AC＝

，∵在中EP＝FP＝

2

(23)

2

＝，∴△EDF的長為：EF＋＋ED＝＋EDPD＋EP＝2＋213，故答案為：；2＋

．分析：（）根據(jù)E是AB邊中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)可以得到EF三角形的中位線，根據(jù)中位線定理求得EF的即可；（根對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)延長FC到P使FC連接EP交BCD連EDFD，此時(shí)ED＋FD最，即EDF的長最小，求出EP長即可求答案．三、解答題（共6小）1．知：如，在POQ內(nèi)有兩點(diǎn)MN，MOP∠NOQ畫圖并簡要說明畫法：在射線上一點(diǎn)A使點(diǎn)A到M和N的距離和最?。辉谏渚€OQ上取一點(diǎn)B，使點(diǎn)B到M和點(diǎn)N的離和最?。恢苯訉懗鯝MAN與＋BN的大小關(guān)系．答案：（）見解析；2AMANBM＋BN知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱最短路線問題；作-軸對(duì)稱變換解析：解答：（）如圖所示．畫法：作點(diǎn)M關(guān)射線的稱點(diǎn)M'，連接M'N交OP點(diǎn)A．作點(diǎn)N關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接N'M交于B．（）AMAN與BM＋BN的大小系是＋AN＋．分析：（）分別作出點(diǎn)M關(guān)射OP的稱點(diǎn)M'，點(diǎn)N關(guān)射線OQ的稱點(diǎn)N'，連接M'N即求出答；（）據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)求出即可．2．大型農(nóng)擬在公路L旁建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏、加工廠，將該農(nóng)場兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地AB的果集中進(jìn)行儲(chǔ)藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益．請(qǐng)你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置C，使B地到加工廠的輸路程之和最短要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）答案：見解析知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱最短路線問題；作-軸對(duì)稱變換解析：解答：如圖分析：作A關(guān)直線L的對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE交線L于C，則C為求．3．圖，△ABC的ABAC上分別有定點(diǎn)M，請(qǐng)?jiān)贐C邊上找一點(diǎn)P，使得PMN的周長最短．（出作法，保留作圖痕跡）答案：見解析知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱最短路線問題；作-軸對(duì)稱變換解析：解答：①作點(diǎn)N關(guān)BC的稱N′，連接MN交BC于P，②由對(duì)稱的性質(zhì)可知PN＝PN，PN＋＝MN′，③由兩點(diǎn)之間線段最短可知，PMN的短周長即為′＋．分析：作點(diǎn)N關(guān)BC的稱點(diǎn)N，接′交BC于P由兩點(diǎn)之間線段最短可知點(diǎn)即為所求點(diǎn)．4．某一地，有條小河和草地，一天某牧民的計(jì)劃是A處牧牽著一只馬到草地牧馬，再到小河飲馬，你能為他設(shè)計(jì)一條最短的路