2022屆吉林省長春市汽車經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第三中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題

2022屆吉林省長春市汽車經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第三中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集的定義求解的值即可【詳解】解：，，∴，故選：C.【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.2．若，則A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則求解即可.【詳解】．故選D．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的商的運算，滲透了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取運算法則法，利用方程思想解題．3．已知向量，，且，則實數(shù)等于A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵向量，∴∵∴，即∴故選C4．函數(shù)的零點所在區(qū)間為（???）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)單調(diào)性的運算法則，判斷函數(shù)可的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間．【詳解】因為函數(shù)和函數(shù)在上都為增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，又，，，，，根據(jù)零點存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的零點所在區(qū)間為．故選：C．5．已知在中，，，，則等于（????）A． B． C． D．5【答案】A【分析】利用余弦定理可直接求出.【詳解】在中，，由余弦定理得，所以.故選：A.【點睛】本題考查余弦定理解三角形，一般地，如果知道三角形的兩邊及其夾角，求第三邊時通常利用余弦定理，本題屬于基礎(chǔ)題.6．甲、乙兩名同學(xué)在5次體能測試中的成績的莖葉圖如圖所示，設(shè)分別表示甲、乙兩名同學(xué)測試成績的平均數(shù)，s1，s2分別表示甲、乙兩名同學(xué)測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（????）A．， B．，C．， D．，s1=s2【答案】C【分析】先根據(jù)莖葉圖讀書甲乙同學(xué)的成績，然后根據(jù)平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念即可分別求出甲乙的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差，從而可以求出結(jié)果.【詳解】由題可知甲同學(xué)成績?yōu)?4，75，84，88，89，乙同學(xué)成績?yōu)?6，78，83，86，87，其中=82，，甲同學(xué)測試成績的方差是，標(biāo)準(zhǔn)差是乙同學(xué)測試成績的方差是標(biāo)準(zhǔn)差是，，故選：C.7．若過點（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點在圓上，求得實數(shù)的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.8．設(shè)，則A． B． C． D．【答案】A【分析】利用有界性分別得出，從而得出a，b，c的大小關(guān)系．【詳解】，，，．故選：A．【點睛】考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，冪函數(shù)的單調(diào)性，以及增函數(shù)、減函數(shù)的定義．9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，該幾何體是由高為6的圓柱截取一半后的圖形加上高為4的圓柱，故其體積為，故選B.點睛:（1）解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖．（2）三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)．10．函數(shù)的部分圖象大致為（?????）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可判斷函數(shù)的奇偶性，對稱性可排除、，再由特殊值可排除，即可得到答案.【詳解】解：因為，所以，即為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，排除、，當(dāng)時，，排除故選：【點睛】本題考查函數(shù)的圖象的識別，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11．若，滿足約束條件，且的最大值為，則正實數(shù)的值為（???）A． B． C． D．8【答案】D【分析】作可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最大值，由此確定的值.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，由可得，因為，所以直線在軸上的截距的的倍為，當(dāng)時，區(qū)域內(nèi)的點作直線的平行線，觀察圖象可得當(dāng)，時，直線在軸上的截距最大，所以，時，取最大值，最大值為，當(dāng)時，區(qū)域內(nèi)的點作直線的平行線，觀察圖象可得當(dāng)，時，直線在軸上的截距最大，所以，時，取最大值，最大值為，當(dāng)時，過區(qū)域內(nèi)的點作直線的平行線，觀察圖象可得當(dāng)，時，直線在軸上的截距最大，所以，時，取最大值，最大值為，所以，對于任意的正實數(shù)，當(dāng)，時，取最大值，最大值為，所以，所以故選：D.12．若函數(shù)的圖象上存在兩個點，關(guān)于原點對稱，則稱點對為的“友情點對”，點對與可看作同一個“友情點對”，若函數(shù)恰好有兩個“友情點對”，則實數(shù)的取值范圍是（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】由對稱可知在上有兩解，結(jié)合韋達定理，可得答案．【詳解】解：由題意可知在上有兩解，即有兩個正根，故，解得：.故選：B．二、填空題13．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是_________.【答案】【分析】由題意可得出，進而可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得出，解得.因此，函數(shù)的定義域為.故答案為：.【點睛】本題考查抽象函數(shù)定義域的求解，求解抽象函數(shù)定義域時要注意以下兩點：（1）中間變量取值范圍一致；（2）定義域為自變量的取值范圍.考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．已知函數(shù)，則曲線過點的切線方程為______．【答案】或【分析】設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)寫出切線方程，將點的坐標(biāo)代入切線方程，求出的值，代入切線方程即可得出所求切線的方程.【詳解】設(shè)切點為，，則切線斜率為，故曲線在處的切線方程為，將點的坐標(biāo)代入切線方程可得，解或，故所求切線方程為或，即或.故答案為：或.15．執(zhí)行如圖所示的流程圖，若輸入x的值為2.5，則輸出i的值是___________．【答案】4【分析】根據(jù)程序框圖，分析計算即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時，成立；所以，有成立；有，有成立；有，有成立；有，有不成立，所以輸．故答案為：4.16．在△ABC中，若，則＝______.【答案】2【分析】由正弦定理，將式子中的邊化為角，代入即可．【詳解】因為所以，，所以====2．【點睛】本題主要考查正弦定理的變形運用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題17．已知是數(shù)列的前項和，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【分析】（1）????根據(jù)題意，利用即可求出數(shù)列的通項公式.（2）????根據(jù)（1）得出，則，再利用“裂項求和法”即可得出.【詳解】解：（1）因為①，所以②，②—①得：，即，又，所以．（2），令，則，所以．【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求解以及利用“裂項求和法”求數(shù)列的前項和，考查基本運算能力.18．如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面，點，分別為，的中點，連接，交于點，點為的中點.（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角為60°，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接PG,由中位線定理得到EH∥PG，然后利用線面平行的判定定理證得；（2）先利用平面幾何知識得到DG的長度，利用線面角得到PD的長度，進而求得四棱錐P-ABCD的體積，然后利用同底等高和高相等底面積不等的棱錐的體積的關(guān)系轉(zhuǎn)化得到三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：如圖，連接PG,∵H為BG的中點，E為BP的中點，∴EH為△PBG的中位線，∴EH∥PG，又∵EH?平面,PG?平面PAF,∴EH∥平面PAF;（2）由DF為AB的一半，可知DG為BG的一半，由于底面是邊長為2的菱形，，∴△ABD為等邊三角形，∴BD=2,∴DG=,∵平面，∴∠PGD為PG與底面ABCD所成的角，∵直線與平面所成角為60°，EH∥PG,∴PG與底面所成的角為60°，∴∠PGD=60°，∴,∴P-ABCD的體積為V=,∵E為PB的中點，∴三棱錐P-ADE的體積等于三棱錐B-ADE的體積又等于三棱錐P-ABD的體積的一半，而三棱錐P-ABD的體積又等于四棱錐P-ABCD的體積的一半，∴三棱錐的體積為.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查棱錐的體積，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是熟練掌握棱錐的體積的轉(zhuǎn)化.19．隨著手機的日益普及，中學(xué)生使用手機的人數(shù)也越來越多，使用的手機也越來越智能.某中學(xué)為了解學(xué)生在校園使用手機對學(xué)習(xí)成績的影響，從全校學(xué)生中隨機抽取了150名學(xué)生進行問卷調(diào)查.經(jīng)統(tǒng)計，有的學(xué)生在校園期間使用手機，且使用手機的學(xué)生中學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的占，另不使用手機的學(xué)生中學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的占.（1）請根據(jù)以上信息完成列聯(lián)表，并分析是否有99.9%的把握認為“在校期間使用手機和學(xué)習(xí)成績有關(guān)”？學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀合計在校期間使用手機在校期間不使用手機合計（2）現(xiàn)從上表中學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生中按在校期間是否使用手機分層抽樣選出6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人中至少有1人使用手機的概率？參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0．1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）表格見解析，有；（2）.【分析】(1)分析題意完成2×2列聯(lián)表,直接套公式求出,對照參數(shù)下結(jié)論;(2)列舉出基本事件,利用等可能事件的概率公式求概率.【詳解】解：（1）列聯(lián)表如下：學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀合計在校期間使用手機2080100在校期間不使用手機401050合??計6090150所以有的把握認為“在校期間使用手機和學(xué)習(xí)成績有關(guān)”．（2）從學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生中按在校期間是否使用手機分層抽樣選出6人，其中在校期間使用手機的學(xué)生有人，記為Y1，Y2在校期間不使用手機的學(xué)生有人．記為N1，N2，N3，N4從這6人中選出2人的所有可能情況：共15種，其中至少有一人在校使用手機的情況有9種，(Y1N1，Y1N2，Y1N3，Y1N4，Y2N1，Y2N2，Y2N3，Y2N4，Y1Y2)故至少有一人在校使用手機的概率20．已知橢圓：()的離心率為，且長軸長為4.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點(不與橢圓的頂點重合)，以為直徑的圓過橢圓的上頂點，證明：直線過定點，并求出該定點坐標(biāo).【答案】（1）；（2）.【分析】根據(jù)長軸求得a,根據(jù)離心率求得c,利用平方關(guān)系求得b，從而可求橢圓C的方程；可設(shè)直線AM的方程為，則直線AN的方程為,并設(shè).其中解得，,利用對稱性求得在時直線交y軸于，利用向量的運算證明任意情況下都有，進而得到直線l過定點.【詳解】(1)解：橢圓C的方程為C：；證明：橢圓的上頂點.以為直徑的圓過橢圓的上頂點，，，從而直線AM與坐標(biāo)軸不垂直，由，顯然，直線的斜率存在且不為零，可設(shè)直線AM的方程為，則直線AN的方程為,并設(shè).其中將代入橢圓C的方程，整理得：，解得(0是A的橫坐標(biāo))，當(dāng)時，,,,由對稱性知此時直線垂直于軸，,直線交y軸于下面證明任意情況下都有,,,,因此直線l過定點.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線和橢圓的交點問題，關(guān)鍵是利用對稱性首先確定當(dāng)時，直線交y軸于，然后利用平面向量共線的條件證明，可以起到簡化計算的作用.21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有和；(2)答案見解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，通過對a的分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，所以.故當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有和；（2）由可得：.①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，時，時，在上單調(diào)遞增；時，時，在上單調(diào)遞減；時，，在上單調(diào)遞增；.③當(dāng)時，，且僅在時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時，時，時，在上單調(diào)遞增；時，時，在上單調(diào)遞減；時，，在上單調(diào)遞增；.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為與曲線交于兩點.（1）求曲線的普通方程；（2）若點，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用加減消元法，進行消參，化為普通方程；（2）根據(jù)參數(shù)的幾何意義可得．【詳解】（1），兩方程相減得，；（2