復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第1頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、復(fù)習(xí)與引入：1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義.2.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.3.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.4.例如求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù),那么我們可以把平方式展開,利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo).然后能否用其它的辦法求導(dǎo)呢?又如我們知道函數(shù)y=1/x2的導(dǎo)數(shù)是=-2/x3,那么函數(shù)y=1/(3x-2)2的導(dǎo)數(shù)又是什么呢?為了解決上面的問題,我們需要學(xué)習(xí)新的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,這就是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).第2頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、新課——復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1.復(fù)合函數(shù)的概念:對(duì)于函數(shù)y=f[(x)],令u=(x),若y=f(u)是中間變量u的函數(shù),u=(x)是自變量x的函數(shù),則稱y=f[(x)]是自變量x的復(fù)合函數(shù).2.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù),函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù),且或記如:求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù),我們就可以有,令y=u2,u=3x-2,則從而.結(jié)果與我們利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求得的結(jié)果完全一致.第3頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在書寫時(shí)不要把寫成,兩者是不完全一樣的,前者表示對(duì)自變量x的求導(dǎo),而后者是對(duì)中間變量的求導(dǎo).3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:

復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).法則可以推廣到兩個(gè)以上的中間變量.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,合理選定中間變量,明確求導(dǎo)過程中每次是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo),一般地,如果所設(shè)中間變量可直接求導(dǎo),就不必再選中間變量.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則要有機(jī)的結(jié)合和綜合的運(yùn)用.要通過求一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),逐步掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.第4頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、例題選講：例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解:設(shè)y=u5,u=2x+1,則:解:設(shè)y=u-4,u=1-3x,則:解:設(shè)y=u-4,u=1+v2,v=sinx,則:說明:在對(duì)法則的運(yùn)用熟練后,就不必再寫中間步驟.第5頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(2x3-x+1/x)4;解:(3)y=tan3x;解:(2)解:(4)解:第6頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(5):y=sin2(2x+π/3)法一:法二:練習(xí)1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):答案:第7頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3:如果圓的半徑以2cm/s的等速度增加,求圓半徑R=10cm時(shí),圓面積增加的速度.解:由已知知:圓半徑R=R(t),且=2cm/s.又圓面積S=πR2,所以=40π(cm)2/s.故圓面積增加的速度為40π(cm)2/s.例4:在曲線上求一點(diǎn),使通過該點(diǎn)的切線平行于x軸,并求此切線的方程.解:設(shè)所求點(diǎn)為P(x0,y0).則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知:切線斜率把x0=0代入曲線方程得:y0=1.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),切線方程為y-1=0.第8頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5:求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓C2:4x2+9y2=72在交點(diǎn)處的切線互相垂直.證:由于曲線的圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱,故只需證明其中一個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直即可.聯(lián)立兩曲線方程解得第一象限的交點(diǎn)為P(3,2),不妨證明過P點(diǎn)的兩條切線互相垂直.由于點(diǎn)P在第一象限,故由x2-y2=5得同理由4x2+9y2=72得因?yàn)閗1k2=-1,所以兩條切線互相垂直.從而命題成立.第9頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6:設(shè)f(x)可導(dǎo),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x)解:說明:對(duì)于抽象函數(shù)的求導(dǎo),一方面要從其形式是把握其結(jié)構(gòu)特征,另一方面要充分運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則.第10頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三我們?cè)?jīng)利用導(dǎo)數(shù)的定義證明過這樣的一個(gè)結(jié)論:“可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在我們利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)重新加以證明:證:當(dāng)f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)時(shí),則f(-x)=f(x).兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得:,故為奇函數(shù).同理可證另一個(gè)命題.我們還可以證明類似的一個(gè)結(jié)論:可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù).證:設(shè)f(x)為可導(dǎo)的周期函數(shù),T為其一個(gè)周期,則對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x,都有f(x+T)=f(x).兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得:即也是以T為周期的周期函數(shù).第11頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例7:求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).說明:這是分段函數(shù)的求導(dǎo)問題,先根據(jù)各段的函數(shù)表達(dá)式,求出在各可導(dǎo)(開)區(qū)間的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后再用定義來討論分段點(diǎn)的可導(dǎo)性.解:當(dāng)x≠1時(shí),.又,故f(x)在x=1處連續(xù).而從而f(x)在x=1處不可導(dǎo).第12頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三四、小結(jié)：利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時(shí),選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵.必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的,分清其間的復(fù)合關(guān)系.要善于把一部分量、式子暫時(shí)當(dāng)作一個(gè)整體,這個(gè)暫時(shí)的整體,就是中間變量.求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量,注意逐層求導(dǎo),不遺漏,而其中特別要注意中間變量的系數(shù),求導(dǎo)后,要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).第13頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在上面的例子中涉及到了二次曲線在某點(diǎn)的切線問題,但在上面的解法中回避了點(diǎn)在第二、三、四象限的情況.可能有同學(xué)會(huì)提出對(duì)于二次曲線在任意點(diǎn)的切線怎樣求的問題,由于它涉及到隱函數(shù)的求導(dǎo)問題.我們不便去過多的去研究.下面舉一個(gè)例子使同學(xué)們了解一下求一般曲線在任意點(diǎn)的切線的方法.(說明:這個(gè)內(nèi)容不屬于考查范圍.)例子:求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解:對(duì)橢圓方程的兩邊分別求導(dǎo)(在此把y看成是關(guān)于x的函數(shù))得:于是所求切線方程為:備用第14頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用上述方法可得圓錐曲線的切線方程如下:(1)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P0(x0,y0)的切線方程是:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)過橢圓上一點(diǎn)P0(x0,y0)的切線方程是:(2)過橢圓上一點(diǎn)P0(x0,y0)的切線方程