復合函數的導數

復合函數的導數第1頁，共16頁，2023年，2月20日，星期三一、復習與引入：1.函數的導數的定義與幾何意義.2.常見函數的導數公式.3.導數的四則運算法則.4.例如求函數y=(3x-2)2的導數,那么我們可以把平方式展開,利用導數的四則運算法則求導.然后能否用其它的辦法求導呢?又如我們知道函數y=1/x2的導數是=-2/x3,那么函數y=1/(3x-2)2的導數又是什么呢?為了解決上面的問題,我們需要學習新的導數的運算法則,這就是復合函數的導數.第2頁，共16頁，2023年，2月20日，星期三二、新課——復合函數的導數：1.復合函數的概念:對于函數y=f[(x)],令u=(x),若y=f(u)是中間變量u的函數,u=(x)是自變量x的函數,則稱y=f[(x)]是自變量x的復合函數.2.復合函數的導數:設函數在點x處有導數,函數y=f(u)在點x的對應點u處有導數,則復合函數在點x處也有導數,且或記如:求函數y=(3x-2)2的導數,我們就可以有,令y=u2,u=3x-2,則從而.結果與我們利用導數的四則運算法則求得的結果完全一致.第3頁，共16頁，2023年，2月20日，星期三在書寫時不要把寫成,兩者是不完全一樣的,前者表示對自變量x的求導,而后者是對中間變量的求導.3.復合函數的求導法則:

復合函數對自變量的導數,等于已知函數對中間變量的導數,乘以中間變量對自變量的導數.法則可以推廣到兩個以上的中間變量.求復合函數的導數,關鍵在于分清函數的復合關系,合理選定中間變量,明確求導過程中每次是哪個變量對哪個變量求導,一般地,如果所設中間變量可直接求導,就不必再選中間變量.復合函數的求導法則與導數的四則運算法則要有機的結合和綜合的運用.要通過求一些初等函數的導數,逐步掌握復合函數的求導法則.第4頁，共16頁，2023年，2月20日，星期三三、例題選講：例1:求下列函數的導數:解:設y=u5,u=2x+1,則:解:設y=u-4,u=1-3x,則:解:設y=u-4,u=1+v2,v=sinx,則:說明:在對法則的運用熟練后,就不必再寫中間步驟.第5頁，共16頁，2023年，2月20日，星期三例2:求下列函數的導數:(1)y=(2x3-x+1/x)4;解:(3)y=tan3x;解:(2)解:(4)解:第6頁，共16頁，2023年，2月20日，星期三(5):y=sin2(2x+π/3)法一:法二:練習1:求下列函數的導數:答案:第7頁，共16頁，2023年，2月20日，星期三例3:如果圓的半徑以2cm/s的等速度增加,求圓半徑R=10cm時,圓面積增加的速度.解:由已知知:圓半徑R=R(t),且=2cm/s.又圓面積S=πR2,所以=40π(cm)2/s.故圓面積增加的速度為40π(cm)2/s.例4:在曲線上求一點,使通過該點的切線平行于x軸,并求此切線的方程.解:設所求點為P(x0,y0).則由導數的幾何意義知:切線斜率把x0=0代入曲線方程得:y0=1.所以點P的坐標為(0,1),切線方程為y-1=0.第8頁，共16頁，2023年，2月20日，星期三例5:求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓C2:4x2+9y2=72在交點處的切線互相垂直.證:由于曲線的圖形關于坐標軸對稱,故只需證明其中一個交點處的切線互相垂直即可.聯(lián)立兩曲線方程解得第一象限的交點為P(3,2),不妨證明過P點的兩條切線互相垂直.由于點P在第一象限,故由x2-y2=5得同理由4x2+9y2=72得因為k1k2=-1,所以兩條切線互相垂直.從而命題成立.第9頁，共16頁，2023年，2月20日，星期三例6:設f(x)可導,求下列函數的導數:(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x)解:說明:對于抽象函數的求導,一方面要從其形式是把握其結構特征,另一方面要充分運用復合關系的求導法則.第10頁，共16頁，2023年，2月20日，星期三我們曾經利用導數的定義證明過這樣的一個結論:“可導的偶函數的導函數為奇函數;可導的奇函數的導函數為偶函數”.現在我們利用復合函數的導數重新加以證明:證:當f(x)為可導的偶函數時,則f(-x)=f(x).兩邊同時對x求導得:,故為奇函數.同理可證另一個命題.我們還可以證明類似的一個結論:可導的周期函數的導函數也是周期函數.證:設f(x)為可導的周期函數,T為其一個周期,則對定義域內的每一個x,都有f(x+T)=f(x).兩邊同時對x求導得:即也是以T為周期的周期函數.第11頁，共16頁，2023年，2月20日，星期三例7:求函數的導數.說明:這是分段函數的求導問題,先根據各段的函數表達式,求出在各可導(開)區(qū)間的函數的導數,然后再用定義來討論分段點的可導性.解:當x≠1時,.又,故f(x)在x=1處連續(xù).而從而f(x)在x=1處不可導.第12頁，共16頁，2023年，2月20日，星期三四、小結：利用復合函數的求導法則來求導數時,選擇中間變量是復合函數求導的關鍵.必須正確分析復合函數是由哪些基本函數經過怎樣的順序復合而成的,分清其間的復合關系.要善于把一部分量、式子暫時當作一個整體,這個暫時的整體,就是中間變量.求導時需要記住中間變量,注意逐層求導,不遺漏,而其中特別要注意中間變量的系數,求導后,要把中間變量轉換成自變量的函數.第13頁，共16頁，2023年，2月20日，星期三在上面的例子中涉及到了二次曲線在某點的切線問題,但在上面的解法中回避了點在第二、三、四象限的情況.可能有同學會提出對于二次曲線在任意點的切線怎樣求的問題,由于它涉及到隱函數的求導問題.我們不便去過多的去研究.下面舉一個例子使同學們了解一下求一般曲線在任意點的切線的方法.(說明:這個內容不屬于考查范圍.)例子:求橢圓在點處的切線方程.解:對橢圓方程的兩邊分別求導(在此把y看成是關于x的函數)得:于是所求切線方程為:備用第14頁，共16頁，2023年，2月20日，星期三利用上述方法可得圓錐曲線的切線方程如下:(1)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P0(x0,y0)的切線方程是:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)過橢圓上一點P0(x0,y0)的切線方程是:(2)過橢圓上一點P0(x0,y0)的切線方程