變換及其應(yīng)用

關(guān)于變換及其應(yīng)用第1頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

(1)加深對(duì)離散系統(tǒng)變換域分析——z變換的理解。

(2)掌握進(jìn)行z變換和z反變換的基本方法，了解部分分式法在z反變換中的應(yīng)用。

(3)掌握使用MATLAB語言進(jìn)行z變換和z反變換的常用子函數(shù)。第2頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三二、實(shí)驗(yàn)涉及的MATLAB子函數(shù)

1.ztrans

功能：返回?zé)o限長(zhǎng)序列函數(shù)x(n)的z變換。

調(diào)用格式：

X＝ztrans(x)；求無限長(zhǎng)序列函數(shù)x(n)的z變換X(z)，返回z變換的表達(dá)式。第3頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

2.iztrans

功能：求函數(shù)X(z)的z反變換x(n)。

調(diào)用格式：

x＝iztrans(X)；求函數(shù)X(z)的z反變換x(n)，返回z反變換的表達(dá)式。第4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

3.syms

功能：定義多個(gè)符號(hào)對(duì)象。

調(diào)用格式：

symsabw0；把字符a，b，w0定義為基本的符號(hào)對(duì)象。第5頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

4.residuez

功能：有理多項(xiàng)式的部分分式展開。

調(diào)用格式：

＝residuez(b，a)；把b(z)/a(z)展開成(如式(7-3))部分分式。

［b，a］＝residuez(rpc)；根據(jù)部分分式的r、p、c數(shù)組，返回有理多項(xiàng)式。

其中：b，a為按降冪排列的多項(xiàng)式(如式(7-1))的分子和分母的系數(shù)數(shù)組；r為余數(shù)數(shù)組；p為極點(diǎn)數(shù)組；c為無窮項(xiàng)多項(xiàng)式系數(shù)數(shù)組。第6頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三三、實(shí)驗(yàn)原理

1.用ztrans子函數(shù)求無限長(zhǎng)序列的z變換

MATLAB為我們提供了進(jìn)行無限長(zhǎng)序列的z變換的子函數(shù)ztrans。使用時(shí)須知，該函數(shù)只給出z變換的表達(dá)式，而沒有給出收斂域。另外，由于這一功能還不盡完善，因而有的序列的z變換還不能求出，z逆變換也存在同樣的問題。第7頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

例7-1

求以下各序列的z變換。

解

symsw0nza

x1＝a^n；X1＝ztrans(x1)

x2＝n；X2＝ztrans(x2)

x3＝(n*(n－1))/2；X3＝ztrans(x3)

x4＝exp(j*w0*n)；X4＝ztrans(x4)

x5＝1/n*(n－1)；X5＝ztrans(x5)第8頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三程序運(yùn)行結(jié)果如下：

X1＝z/a/(z/a－1)

X2＝z/(z－1)^2

X3＝－1/2*z/(z－1)^2＋1/2*z*(z＋1)/(z－1)^3

X4＝z/exp(i*w0)/(z/exp(i*w0)－1)

???Errorusing＝＝>sym/maple←表示(x5)不能求出z變換

[ZK(]Error，(inconvert/hypergeom)Summandissin

gularatn＝0intheintervalofsummation

第9頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

Errorin＝＝>C：＼MATLAB6p1＼toolbox＼symbolic＼@sym＼ztrans.m

Online81＝＝>F＝maple(￠map￠，￠ztrans￠，f，n，z)；第10頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

2.用iztrans子函數(shù)求無限長(zhǎng)序列的z反變換

MATLAB還提供了進(jìn)行無限長(zhǎng)序列的z反變換的子函數(shù)iztrans。

例7-2

求下列函數(shù)的z反變換。

第11頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

解

symsnza

X1＝z/(z－1)；x1＝iztrans(X1)

X2＝a*z/(a－z)^2；x2＝iztrans(X2)

X3＝z/(z－1)^3；x3＝iztrans(X3)

X4＝(1－z^－n)/(1－z^－1)；x4＝iztrans(X4)

程序運(yùn)行結(jié)果如下：

x1＝1

x2＝n*a^n

x3＝－1/2*n＋1/2*n^2

x4＝iztrans((1－z^(－n))/(1－1/z)，z，n)第12頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

3.用部分分式法求z反變換

部分分式法是一種常用的求解z反變換的方法。當(dāng)z變換表達(dá)式是一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)，可以表示為

(7-1)

將該多項(xiàng)式分解為真有理式與直接多項(xiàng)式兩部分，即得到：第13頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

(7-2)

當(dāng)式中M<N時(shí)，式(7-2)的第二部分為0。第14頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)于X(z)的真有理式部分存在以下兩種情況。

情況1X(z)僅含有單實(shí)極點(diǎn)，則部分分式展開式為

(7-3)第15頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

X(z)的z反變換為

情況2X(z)含有一個(gè)r重極點(diǎn)。這種情況處理起來比較復(fù)雜，本實(shí)驗(yàn)不做要求，僅舉例7-4供使用者參考。第16頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

例7-3

已知 ，|z|>1，試用部分分式法求z反變換，并列出N＝20點(diǎn)的數(shù)值。

解由表達(dá)式和收斂域條件可知，所求序列x(n)為一個(gè)右邊序列，且為因果序列。將上式按式(7-1)的形式整理得：

第17頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三求z反變換的程序如下：

b＝［1，0，0］；

a＝［1，－1.5，0.5］；

[rpc]＝residuez(b，a)

在MATLAB命令窗將顯示：

r＝

2

－1

p＝

1.0000

0.5000第18頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

c＝

［］

由此可知，這是多項(xiàng)式M<N的情況，多項(xiàng)式分解后表示為

可寫出z反變換公式：

x(n)＝2u(n)－(0.5)nu(n)

第19頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三如果用圖形表現(xiàn)x(n)的結(jié)果，可以加以下程序：

N＝20；n＝0：N－1；

x＝r(1)*p(1).^n＋r(2)*p(2).^n；

stem(n，x)；

title(￠用部分分式法求反變換x(n)￠)；

其中x的數(shù)值為

x＝

[1.00001.50001.75001.87501.93751.96881.98441.9922

1.99611.99801.99901.99951.99981.99991.99992.0000

2.00002.00002.00002.0000］

程序執(zhí)行的結(jié)果如圖7-1所示。第20頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

圖7-1用部分分式求解例7-3的z反變換第21頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

*例7-4

用部分分式法求解函數(shù)

的z反變換，寫出h(n)的表示式，并用圖形與impz求得的結(jié)果相比較。

解求z反變換的程序如下：

b＝［0，1，0］；a＝［1，－12，36］；

[rpc]＝residuez(b，a)

在MATLAB命令窗將顯示：

第22頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

r＝

－0.1667－0.0000i

0.1667＋0.0000i

p＝

6.0000＋0.0000i

6.0000－0.0000i

c＝

［］

第23頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三由此可知，這個(gè)多項(xiàng)式含有重極點(diǎn)。多項(xiàng)式分解后表示為

根據(jù)時(shí)域位移性質(zhì)，可寫出z反變換公式：

第24頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三如果要用圖形表現(xiàn)h(n)的結(jié)果，并與impz子函數(shù)求出的結(jié)果相比較，可以在前面已有的程序后面加以下程序段：

N＝8；n＝0：N－1；

h＝r(1)*p(1).^n.*［n>＝0］＋r(2).*(n＋1).*p(2).^n.*［n－1>＝0］；

subplot(1，2，1)，stem(n，h)；

title(￠用部分分式法求反變換h(n)￠)；

h2＝impz(b，a，N)；

subplot(1，2，2)，stem(n，h2)；

title(￠用impz求反變換h(n)￠)；

執(zhí)行結(jié)果如圖7-2所示。第25頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

圖7-2用部分分式法和impz子函數(shù)求解例7-4的z反變換第26頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

注意：impz是一個(gè)求解離散系統(tǒng)沖激響應(yīng)的子函數(shù)，在實(shí)驗(yàn)中我們已使用過。如果把H(z)看成是一個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，則H(z)的z反變換就等于這個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。因此，可以用impz的結(jié)果來檢驗(yàn)用部分分式法求得的z反變換結(jié)果是否正確。第27頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

例7-5

用部分分式法求解例4-2系統(tǒng)函數(shù)的z反變換，并用圖形與impz求得的結(jié)果相比較。

解由上式可知，該函數(shù)表示一個(gè)6階系統(tǒng)。其程序如下：

a＝［1，0，0.34319，0，0.60439，0，0.20407］；

b＝［0.1321，0，－0.3963，0，0.3963，0，－0.1321］；

[rpc]＝residuez(b，a)第28頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三此時(shí)在MATLAB命令窗將顯示：

r＝

－0.1320－0.0001i

－0.1320＋0.0001i

－0.1320＋0.0001i

－0.1320－0.0001i

0.6537＋0.0000i

0.6537－0.0000i

第29頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

p＝

－0.6221＋0.6240i

－0.6221－0.6240i

0.6221＋0.6240i

0.6221－0.6240i

0＋0.5818i

0－0.5818i

c=

－0.6473第30頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三由于該系統(tǒng)函數(shù)分子項(xiàng)與分母項(xiàng)階數(shù)相同，符合M≥N，因此具有沖激項(xiàng)。可以由r、p、c的值寫出z反變換的結(jié)果。

如果要求解z反變換的數(shù)值結(jié)果，并用圖形表示，同時(shí)與impz求解的沖激響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行比較，可以在上述程序加：

N=40;n=0:N－1;

h=r(1)*p(1).^n＋r(2)*p(2).^n＋r(3)*p(3).^n＋r(4)*p(4).^n

＋r(5)*p(5).^n＋r(6)*p(6).^n＋c(1).*[n==0];

subplot(1,2,1),stem(n,real(h),'k');第31頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三title('用部分分式法求反變換h(n)');

h2=impz(b,a,N);

subplot(1,2,2),stem(n,h2,'k');

title('用impz求反變換h(n)');

由該圖7-3顯示的結(jié)果可以看出，系統(tǒng)函數(shù)的z反變換與impz求解沖激響應(yīng)的圖形相同?？梢姡貌糠址质角笙到y(tǒng)函數(shù)的z反變換，也是一種求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的有效方法。第32頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

4.從變換域求系統(tǒng)的響應(yīng)

在實(shí)驗(yàn)4中，我們用圖4-1表示了離散系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系。由圖可知，系統(tǒng)的響應(yīng)既可以用時(shí)域分析的方法求解，也可以用變換域分析法求解。當(dāng)已知系統(tǒng)函數(shù)H(z)，又已知系統(tǒng)輸入序列的z變換X(z)，則系統(tǒng)響應(yīng)序列的z變換可以由Y(z)＝H(z)X(z)求出。第33頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

例7-6

已知一個(gè)離散系統(tǒng)的函數(shù)

，輸入序列 ，求系統(tǒng)在變換域的響應(yīng)Y(z)及時(shí)間域的響應(yīng)y(n)。

解根據(jù)實(shí)驗(yàn)4、5、6和本實(shí)驗(yàn)已掌握的方法，我們可以采用各種方法求解。本例僅采用先從變換域求解Y(z)，再用反變換求y(n)的方法，以鞏固本實(shí)驗(yàn)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容。第34頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三

MATLAB程序如下：

symsz

X＝z./(z－1)；

H＝z.^2./(z.^2－1.5*z＋0.5)；

Y＝X.*H

y＝iztrans(Y)

程序運(yùn)行后，將顯示以下結(jié)果：

Y＝

z^3/(z－1)/(z^2－3/2*z＋1/2)

y＝

2*n＋2^(－n)第35頁，共42頁，2023年，2月20日，星期三如