福建三明2021-2022學年高一下學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題及答案

準考證號______________姓名_______________

.（在此卷上答題無效）

三明市2021—2022學年第二學期普通高中期末質(zhì)量檢測

高一數(shù)學

本試卷共6頁。滿分150分。

注意事項：

1.答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名。考生要

認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是

否一致。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題

卡上。寫在本試卷上無效。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點為（-2,1）,設i是虛數(shù)單位，則二一=

1+1

2.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設4="第一枚出現(xiàn)的點數(shù)大于2"，B=“第二枚出現(xiàn)的點數(shù)

小于6”，則4與8的關系為

A.互斥B.互為對立C相互獨立D.相等

＜在邊長為2的正方形43co中，E為BC中盤,則萬.通=

A.2B.4C.2舊D.5

4.北京冬奧會已于2022年2月4日至2月20日順利舉行，這是中國繼北京奧運會，南京青

奧會后，第三次舉辦的奧運賽事.之前，為助力冬奧，提高群眾奧運法律知識水平和文明

素質(zhì)，某市有關部門開展冬奧法律知識普及類線上答題，共計30個題目，每個題目2分.

滿分60分現(xiàn)從參與線上答題的市民中隨機抽取QOOO名，將他們的作答成以分成6組，

并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表，可估

計這次線上答題成績的平均數(shù)為

高一數(shù)學試題第1頁（共6頁）

5.在長方體4B8-4與G3中，45=44=1，AD=2,則直線4c與平面4BC0所

成角的正弦修為'

B6c6D瓜

533

6.用斜二測畫法畫AISC的直觀圖為如圖所示的其中0,8'=3'。'=2,

AB=4'C'=逝，則的面積為

A.1B.2

C.272D.4a

7.如圖，平行四邊形N8CD中，E是的中點.，尸在線段8E上,且昉=2FE.記麗=&，

沅=b，則而=

2422

A.-u—btB.丁”

33

2422工

C.—a—btD.-u—b

3333

8.某研究性學習小組為了測量某鐵塔07的高度，在地面4處測得塔頂T的仰角為60。，在

距離力處20米的地面B處測得塔頂T的仰角為45°,并測得NAOB=30°,則塔高OT為

A10百米B.20米C.30米D.20百米

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多個

選項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。

91.新中國成立以來，我國一共進行了七次全國人口普查（以下簡稱“普查”），歷次普查得

到的全國人口總數(shù)如圖1所示，城鎮(zhèn)人口比重如圖2所示.下列結(jié)論正確的是

1.第三次普查城鎮(zhèn)人口數(shù)量低于2億

B.對比這七次普查的結(jié)果，我國城鎮(zhèn)人口數(shù)量逐次遞增

C.第六次普查城鎮(zhèn)人口數(shù)量超過第二次人口普查總?cè)丝跀?shù)

D.與前一次普查對比，第五次普查的總?cè)丝谠鲩L量高于第四次普查的總?cè)丝谠鲩L量

高一數(shù)學試題第2頁（共6頁）

1[\

10.設復數(shù)z=-+2?i，其中i是虛數(shù)單位，下列判斷中正確的是

22

A.z+z=1B.zz-z

c,z是方程%2一%+1=0的一個根D.滿足z"eR的鼓小正整數(shù)〃為3

11.已知向量.，02滿足|勺|=2卜2|=2,且勺與e2的夾角為若d-22與羽+弓的夾

角為鈍角，則實數(shù)4的值可以是

A.一[B.C.-D.2

2332

時于給定的異面直線加，n,以下判斷正確的是

A.總存在四個頂點分別在冽，耳上的正三棱錐

B.總存在直線/,使得/同時與加，〃垂直且相交

C.總存在平面a,2，使得加ua,nu。，且。〃￡

D.對于任意點4,總存在過力且與加，篦都相交的直線

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在△NBC中，角4,B，。所對的邊分別是a,b,c.若。=3,b=5,c=7,則

A+B=?

14.某校從高一男生中隨機抽取了一個容量為20的身高樣本，將得到的數(shù)據(jù)（單位:cm）從小

到大排序：152,155,158,164,164,165,165,165—166,167,168,168,169,x,

172,172,173,173,174,175.若該樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是171）則％的值為.

15.設i是虛數(shù)單位，若關于t的方程（2+。*2+*+2-1=0（加61i）有實數(shù)解，則加的取

值集合為___________

16.如圖，在中空的圓臺容器內(nèi)有一個與之靜高的實心圓柱,

圓柱的底面均圓臺的下底面重合?已知圓臺的上底面半

徑與高均為40cm,下底面半徑為10cm.現(xiàn)要在圓柱

側(cè)面和圓臺側(cè)面的間隙放置一些金屬球,則能完全放入

的金屬球的最大半徑為cm,這樣最大半徑的金

屬球最多可完全放入一個.

高一數(shù)學試題第3頁（共6頁）

五、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

己知向量0=(2,1),d=(l,-3).

(1)求。與，夾角6的余弦值：

(2)若30+)與。一劭垂直，求實數(shù)4的值.

18.(12分)

如圖，和直三棱柱43G中，E為CG的中點，且笈石_1_4片.

(1)證明：AB1BC；

(2)若44=48=3C=2,且戶為/C中點，求點8到平面44尸的距離.

19.(12分)

如圖，某景區(qū)擬開辟一個平面示意圖為五邊形Z5CDE的觀光步行道i班為電瓶車專

用道，ZBCD=ZBAE=Z.CDE=120°,D￡=llkm?5C=GD=5km.

(1)求5E的長;

(2)若sinZABE二地,求五邊形45CDE的周長.

14

*

高一數(shù)學試題第4頁,共6頁)

20.（12分）

如圖L.在平行四邊形4BCD中，45=2，ZO=3,ZBAD=60°,E是邊8c上

的點，且BE=2EC.連結(jié)4E,并以4E為折痕將折起，使點5到達點尸的位置，

得到四棱錐尸一/ECQ,如圖2.

?<1）設平面PEC與平面R4Q的交線為/,證明：血幽;

（2）在圖2中，已知R）=2.

①證明：平面？4E_L平面4ETD；

②求以尸，A,D,E為頂點的四面體外接球的表面積.

21.（12分）

A45C的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別是Q,b,%且於=/一。2.

（1）若c=百,且4=/，求A4BC的面積；

（2）求cos/+sinC的最大值，

高一數(shù)學試題第5頁（共6頁）

22.（12分）

某市為了解居民月均用水量的整體情況，通過簡單隨機抽樣，獲得了其中20戶居民的月

均用水量（單位:t）,數(shù)據(jù)如下:

9.511.77.11658.311.210.413.513.26.8

8.513.49.210.210.812.614.27.49.711.8

12012001位2而］=6.392,其

經(jīng)計算‘而疝白=】℃=益（-）=而

M=1)

中為為抽取的第i戶居民的月均用水量，其中i=l,2,?：20.

（1）設“從這20個數(shù)據(jù)中大于13的數(shù)據(jù)中任取兩個，其中恰有一個數(shù)據(jù)大于15”為事

件4,求4的概率；

（2）根據(jù)統(tǒng)計原理，決定只保留區(qū)間泛-2s,亍+25）內(nèi)的數(shù)據(jù)，剔除該區(qū)間外的數(shù)據(jù).

①利用保留的數(shù)據(jù)作為樣本，估計該市居民月均用水量的平均值后方差（結(jié)果保留2

位小數(shù)小

②根據(jù)剔除前后的數(shù)據(jù)對比丁寫出一個統(tǒng)計結(jié)論.

商一數(shù)學試題第6頁（共6頁）

三明市2021-2022學年第二學期普通高中期末質(zhì)量檢測

高一數(shù)學參考答案及評分細則

評分說明：

1.本解答給出了一種或兒種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的

主要考查內(nèi)容比照評分標準制定相應的評分細則。

2.對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)

容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數(shù)的一

半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。

3.解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)。

4.只給整數(shù)分數(shù)。選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共60分。

1.D2.C3.B4.B5.A6.C7.D8.D

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。全部選對的得5分，有選錯的得。分，

部分選對的得2分。

9.BD10.ACD11.BC12.BC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.

71

13.—（或60°）14.170

3

15.{-4,4}16.10；6（第一空2分，第二空3分）

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(1)因為同=5/2?+『=y/s,|/>|—J]2+(-3)~-VTo>.................2分

?-Z?=2xl+lx(-3)=-l,..........................................3分

所以=........................................................4分

同網(wǎng)

(2)由a,6的坐標得，3a+〃=(7,0),a-kb=(2-k,l+3k)..........7分

因為與Q—曲垂直，

所以（3a+6＞（a-H＞）=0,......................................8分

即7（2—左）=0,...............................................9分

解得左=2....................................................10分

高一數(shù)學參考答案第1頁（共9頁）

18.解法一

(1)因為48MA、B\,且,

所以4B上BE....................................1分

因為NBC—44G是直三棱柱，

所以8g_L平面ZBC,...............................................2分

所以...........................................................3分

又因為8408后=8,且8Eu平面8片u平面..........4分

所以/3_L平面84GC...............................................5分

因為8Cu平面88℃，

所以Z8L8C.......................................................6分

(2)設6。中點為0,連結(jié)￡>E,BQ,BQ交BE于G.

因為尸是NC中點，所以FD"AB,則尸

所以4，F(xiàn),D,q四點共面...........................7分

因為E是CG中點，所以CE=BD,

又因為ZBCE=NB\BD=90°,BC=B、B,

所以ABCE空秘即,

所以ZCBE=NBBQ,

所以NCBE+NBDB、=90°,

所以N8GO=90°,即用OL8E......................................9分

因為44口耳。=司，且44(=平面4￡。4，BQu平面

所以BE,平面4￡。與.

所以8G即為點B到平面同用尸的距離....................................10分

高一數(shù)學參考答案第2頁(共9頁)

因為/XBGDsABCE,

所以跑=吧,即如1

........................................................................11分

BCBE2忑‘

2節(jié)

解得8G=d

5

所以點5到平面44尸的距離為.....................................12分

''5

解法二

(1)同解法一............................................................6分

(2)因為J_平面ABC,防?u平面&ABB],

所以平面ABC1平面&ABBi.

因為平面/BCD平面A.ABB,=AB.

所以8CJ_平面.

設4B中點為H,連結(jié)尸”.

因為尸是/C中點，則切=OG=1,0FHHBC,

2

所以F"_L平面//8瓦..................................................7分

1112

連結(jié)斯，%則/“也星?9=].............8分

用為4"RRACYIAB2+BC2n

因為AF=BF=---=-------------=72,

22

所以A.F=BtF=JM+Z產(chǎn)=76,

設中點為G,則FG_L44,則FG=J4E2_4G2=后,

所以s^,府=(.48「FG=6?.......................................................................9分

1下

設點8到平面44/的距離為d,則%空尸二一5&^/乂[二二一d.................10分

IIU-Z1|O|/3Z-A/1|￡J|J3

高一數(shù)學參考答案第3頁(共9頁)

因為%-4的=/-4“，所以當d=|

11分

解得

5

所以點3到平面44尸的距離為一J..................................12分

19.(1)連結(jié)50.

在△88中，因為8C=CZ)=5,Z5C￡>=120°,

則NCDB=ZCBD=30°.............................................1分

根據(jù)余弦定理，BD2=BC2+CD2-2BC-CDCOSZBCD=15............3分

又因為ZBDE=NCDE-NCDB=120°-30°=90°,.....................4分

所以在RSDE中，BE2=BD2+DE2=196,

設/8=x,則％2+10*-96=0,

解得x=6,或x=—16（應舍去）.

所以，AB=6......................................................11分

所以五邊形/BCDE的周長為5+5+11+10+6=37km...................12分

20.解法一

（1）因為四邊形Z8C。是平行四邊形，

所以.................................1分

又因為仁平面PCE,CEu平面PCE,“

所以〃平面PCE........................2分*

又因為/Ou平面Q4D,且平面平面尸CE=/,

所以.............................................................4分

（2）①過尸作尸"J_平面ZOE,垂足為連結(jié)朋Z,MD,ME......5分

高一數(shù)學參考答案第4頁（共9頁）

因為PA=PE=PD=2,

所以MA=ME=MD,

即“為A4DE的外心..............................................6分

連結(jié)DE.

因為BE=2EC,所以CE=g￡=當=1.

33

又因為CO=28=2,ZDCE=ABAD=60°,

所以在△CDS中，根據(jù)余弦定理，

DE2=CD2+CE2-2CDCE-cosNDCE=3.

所以?！?+。石2=C02,

所以ZDEC=90。，........................................................7分

所以44Z)E=90°.

所以M為力E中點，

所以PA/u平面PZE,.............................................8分

所以平面尸AEJ_平面NECD..........................................9分

②設四面體PADE的外接球球心為。，

則OM_L平面IDE,且OP=OE..........10分

由(1)知，OePM.

因為NAPE=180°-60°=120°,

/4PF

所以NOPE=------=60°.

2

所以△POE是等邊三角形.

設四面體尸/OE外接球的半徑為R,

則R=OE=PE=2.11分

所以四面體R4DE外接球的表面積為4成之=16兀........................12分

解法二

(1)同解法一..........................................................4分

(2)①設4E中點為M,連結(jié)。M,DE.

因為P4=PE=2,所以尸.....................................5分

因為BE=2EC,所以。七=磐=亞=1.

33

又因為CD=A8=2,NDCE=NBAD=60°,

在△CDE中，根據(jù)余弦定理，

DE2=CD2+CE2-2CDCE-cosNDCE=3.

所以。1+。爐=。。2,

所以ZDEC=90。，

高一數(shù)學參考答案第5頁(共9頁)

所以44?！?90。.6分

，八

所以〃。=——AE=N-A--D--?-+--D-E--?=J3r-.

22

/Apr

因為NMPE==6(T,

2

所以PM=PE-cosNMPE=l......7分

又因為PD=2,

所以PM'MD'PD。

所以NPA〃)=90°,

所以「〃_!_￡>〃..............................................8分

又因為u平面ZEC。，/Eu平面ZEC0,

所以尸〃，平面ZECZ).

因為尸Afu平面P4E,

所以平面PAE±平面AECD.9分

②延長PM到點。，使得MO=PM.

因為Z.APE=180°-60°=120°,

/Apr

所以NOPE=------=60°.

2

又因為PA/_L/E,

所以ZPEO=NPEM+ZOEM=2NPEM=60°,

所以△POE是等邊三角形，

所以OE=OP.

因為。ML平面4ECD,且M1=A/Q=板，

所以。七=。/=。。，

所以。為四面體PADE外接球的球心.10分

設四面體尸ZOE外接球的半徑為火,

則火=OE=PE=2.............11分

所以四面體4OE外接球的表面積為4成2=i6n........................12分

21.(1)在△NBC中，根據(jù)余弦定理，b2+c2-2bccosA=a2,............1分

又因為Z=2,所以〃+c2-bc=a2,

3

又因為即。2=6。+。2,....................................2分

所以"+C2—bcubc+e2,b2=2bc,........................................3分

因為b>0,所以b=2c=26........................................4分

高一數(shù)學參考答案第6頁(共9頁)

iqq

所以△/BC的面積/”c=]6csin4二^...............................5分

（2）根據(jù)余弦定理，b2+C1-2bccosA-cr,

即a2-c2=b2-2bccosA.

所以6c=力2-2bccos/?....................................................................................6分

所以c=b—2ccos/..........................................................................................7分

根據(jù)正弦定理，=_2_=_J,

sinAsinBsinC

所以sinC=sin8-2sinCeos/........................................................................8分

因為4+3+C=TI,即8=兀一（4+。），

所以sin8=sin（Z+C）=sinAcosC+cosAsinC.

所以sinC=sin4cosC—cos4sinC=sin（4一C）...........................................9分

因為/,CG（0,K）,所以sinC>0,則sin（/-C）>0,所以/>C,

所以。=4—C,或者。=兀一（4—C）.

即/=2C,或者/=兀（應舍去）.........................................10分

則cos/+sinC

=cos2C+sinC

=l-2sin2C+sinC

=-2|sinC--|+-.......................................................................................11分

I4j8

因為N+C<n,即3c<兀，所以0<C<N,則0<sinC（走，

32

?E

因為“€（0,5），

19

所以當sinC=-B寸，?0$/+$抽。取得最大值一...........................12分

48

高一數(shù)學參考答案第7頁（共9頁）

22.(1)這20個數(shù)據(jù)中大于13的數(shù)據(jù)共有5個，分別是16.5,13.5,13.2,13.4,14.2,

依次編號為a,b,c,d,e....................................1分

從中任取兩個，共包含ab,ac,ad,ae,be,