初中數(shù)學競賽奧數(shù)培優(yōu)資料第二輯專題21梯形

專題21梯形

閱讀與思考

梯形是一類具有一組對邊平行而另一組對邊不平行的特殊四邊形，梯形的主要內容是等腰梯形、直

角梯形等相關概念及性質.

解決梯形問題的基本思路是：通過適當添加輔助線，把梯形轉化為三角形或平行四邊形，常見的輔

助線的方法有：

（1）過一個頂點作一腰的平行線（平移腰）；

（2）過一個頂點作一條對角線的平行線（平移對角線）；

（3）過較短底的一個頂點作另一底的垂線；

（4）延長兩腰，使它們的延長線交于一點，將梯形還原為三角形.

如圖所示：

例題與求解

【例1】如圖，在四邊形中，AB//CD,ND=2/B,4）和的長度分別為a,b,那么

AB的長是.（荊州市競賽試題）

解題思路：平移一腰，構造平行四邊形、特殊三角形.

【例2】如圖1,四邊形是等腰梯形，AB//CD.由四個這樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的

平行四邊形.

（1）求四邊形488四個內角的度數(shù);

（2）試探究四邊形488四條邊之間存在的等量關系，并說明理由；

（3）現(xiàn)有圖1中的等腰梯形若干個，利用它們你能拼出一個菱形嗎？若能，請你畫出大致的示意圖.

（山東省中考試題）

解題思路：對于（1）、（2）,在觀察的基礎上易得出結論，探尋上、下底和腰及上、下底之間的關

系，從作出梯形的常見輔助線入手；對于（3）,在（2）的基礎上，展開想象的翅膀，就可設計出若干

種圖形.

圖1

【例3】如圖，在等腰梯形Z8CZ）中，AD//BC,AB=DC,S.AC1.BD,力尸是梯形的高，梯形的面

積是49c求梯形的高.

（內蒙古自治區(qū)東四盟中考試題）

解題思路：由于題目條件中涉及對角線位置關系，不妨從平移對角線入手.

【例4】如圖，在等腰梯形中，AB//DC,/8=998,0c=1001,=1999,點P在線段

上，問：滿足條件/8PC=90。的點P有多少個？

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

解題思路：根據(jù)/8+。。=力。這一關系，可以在上取點構造等腰三角形.

DC

【例5】如圖，在等腰梯形Z8C。中，CD//AB,對角線/C,5。相交于O,N/C0=6O。，點S,P,

。分別為。。，OA,8c的中點.

(1)求證：△PQS是等邊三角形；

(2)若/8=5,8=3,求△P°S的面積；

(3)若△PQS的面積與△/O。的面積的比是7：8,求梯形上、下兩底的比8：AB.

(“希望杯”邀請賽試題)

解題思路：多個中點給人以廣泛的聯(lián)想：等腰三角形性質、直角三角形斜邊中線、三角形中位線等.

【例6】如圖，分別以△N8C的邊4c和8c為一邊，在△Z8C外作正方形NCDE和C3FG,點尸是

E尸的中點，求證：點尸到邊力8的距離是的一半.

(山東省競賽試題)

解題思路：本題考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定與性質.關鍵是要構造能運用條件EP=

PF的圖形.

能力訓練

A級

1.等腰梯形中，上底：腰：下底=1：2：3,則下底角的度數(shù)是.

(天津市中考試題)

2.如圖，直角梯形中，ABA.BC,4D=3,BC=5,將腰。C繞點。逆時針方向旋轉90。至

DE,連接ZE,則△/￡>￡■的面積為（寧波市中考試題）

3.如圖，在等腰梯形/8C。中，AB//CD,NZ=60°,Z1=Z2,且梯形的周長為30CM,則這個

等腰梯形的腰長為.

第2題圖

4.如圖，梯形/8CZ）中，AD//BC,EF是中位線，G是8c邊上任一點，如果=2J5c機？，那

么梯形ABCD的面積為.（成都市中考試題）

5.等腰梯形的兩條對角線互相垂直，則梯形的高〃和中位線的長加之間的關系是（）

A.m>hB.m=hC.m<hD.無法確定

6.梯形NBC。中,N助DC,N8=5,8C=3后，NBCD=45°,NCD4=60°,則。C的長度是（）

A.74—V3B.8D.8+y/3E.8+373

3

（美國高中考試題）

7.如圖，在等腰梯形48co中，AC^BC+AD,則NO8C的度數(shù)是（)

A.3O0B.450C.6O0D.9O0

（陜西省中考試

第7題圖第8題圖

8.如圖，在直角梯形力88中，AD//BC,ABLBC,AD=2,BC=DC=5,點P在BC上移動,則

當以+尸。取最小值時，中邊/P上的高為（）

A.—V17B.—V17C.—V17D.3

171717

（鄂州市中考試題）

9.如圖，在等腰梯形Z8CD中，AD//BC,AB=CD,點、P為BC邊上一點、,PELAB,PF1CD,

BGLCD,垂足分別為￡,F,G.求證：PE+PF=BG.

（哈爾濱市中考試題）

10.如圖，在梯形/8CZ）中，AD//BC,E,尸分別為48,/C中點，8。與EF相交于G.

求證：GF=；（BC一AD）.

11.如圖，等腰三角形/8C中，AB=AC,點、E、尸分別是48、/C的中點，CELBF于點O.

求證：（1）四邊形E8CF是等腰梯形；

（2）EF2+BC1=2BE2.（深圳市中考試題）

12.如圖1,在等腰梯形N8CQ中，AD//BC,E是的中點，過點￡作瓦〃SC交CD于點F,AB

=4,BC=6,N8=60°.

（1）求點E到8c的距離；

（2）點P為線段EF上的一個動點，過P作交5c于點M,過M作腦吹48交折線NDC

于點N,連接尸N,設

①當點N在線段上時（如圖2）,△丹河的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出△PMN的周長；

若改變，請說明理由.

②當點N在線段DC上時（如圖3）,是否存在點尸，使△2〃義為等腰三角形？若存在，請求出所

有滿足要求的X的值；若不存在，請說明理由.（江西省中考試題）

B級

1.如圖，在梯形18co中，AB//DC,AD=BC,AB=\Q,8=4,延長8。到E,使。E=￡>8,作

EFLAB交BA的延長線于點F,則AF=.

（山東省競賽試題）

第1題圖第2題圖

2.如圖，在梯形/8CO中，AD//BC,AB=DC=\0cm,AC與8。相交于G,且乙4GD=60°,設E

為CG中點，尸是力8中點，則E尸長為.

（“希望杯”邀請賽試題）

3.用四條線段：a=14力=13,c=9,d=7作為四條邊，構成一個梯形，則在所構成的梯形中，中位

線的長的最大值為.（湖北賽區(qū)選拔賽試題）

4.如圖，梯形/8C。的兩條對角線4C,8。相交于。點，且力O：CO=3：2,則兩條對角線將梯形

分成的四個小三角形面積之比為SMo/SgolSAe/SMOHU（安徽省中考試題）

第4題圖第5題圖第6題圖

5.如圖，在四邊形中，AD//BC,￡t是的中點，若△￡>￡1（7的面積為S,則四邊形488的

面積為（)

c.%D

A.-sB.2S-》

2

（重慶市競賽試題）

6.如圖，在梯形48CO中，AD//BC,N8=20°,ZC=70°,E,M,F,N分別為48,BC,CD,

。/的中點，已知8c=7,MN=3,則EF的值為（）

A.4B.4-C.5D.6

2

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

7.如圖，梯形488中，AB//DC,E是/。的中點，有以下四個命題：AB+DC=BC,則N8EC

=90°；②若/5EC=90°,則48+￡>C=8C；③若BE是NN8C的平分線，則/8￡C=90°；

④若力8+OC=8C,則CE是NDCB的平分線.其中真命題的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

（重慶市競賽試題）

8.如圖，四邊形/8CO是一梯形，AB//CD,ZABC=90°,AB=9cm,8c=8cm,CD=7cm,M是

的中點，從M作ZO的垂線交8c于M則8N的長等于（）

A.1cmB.1.5cmC.2cmD.2.5cm

（“希望杯”邀請賽試題）

9.如圖，在梯形中，AB//DC,M是腰8C的中點，A/NL/D求證：S四邊形詆。="N?/￡>

（山東省競賽試題）

10.如圖，在梯形ABCD中,/DZBC,分別以兩腰AB,CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF,

設線段AD的垂直平分線I交線段EF于點M求證：點M為EE的中點.

(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)

11.已知一個直角梯形的上底是3,下底是7,且兩條對角線的長都是整數(shù)，求此直角梯形的面積.

(“東方航空杯”上海市競賽試題)

12.如圖1,平面直角坐標系中，反比例函數(shù)》="(左>0,x>0)的圖象經(jīng)過矩形0/8。的邊8。的

X

三等分點(DF’BD)交4B于E,AB=12,四邊形尸的面積為16.

3

(1)求左值.

(2)已知C(13,0),點尸從1出發(fā)以0.5c加入速度沿工從8。向。運動，點。從C同時出發(fā)，以

1.55心的速度沿CO,OA,向8運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.從運

動開始，經(jīng)過多少時間，四邊形PQC8為等腰梯形(如圖2).

(3)在(2)條件下，在梯形PQC8內是否有一點使過M且與尸8,C0分別交于S,T的直線

把尸0c8的面積分成相等的兩部分，若存在，請寫出點"的坐標及CW的長度；若不存在，請說明理

由.

圖1

專題21梯形

例1a+b

例2⑴上底角為120。，下底角為60。；

⑵梯形的上底等于下底的一半，且等于腰長;

⑶能拼出菱形，以下圖形供參考：

例37CTM提示：過4作交CB延長線于E,則品襤0=5標彩“88.

例4(1)如圖a,若E為工。中點，則N8EC=90。且CE.BE分別平分ZBCD,NABC：

⑵如圖6,在8c上取一點使=連結則/力〃。=90。；

⑶如圖c,將a,5組合，則四邊形GEHI1為矩形.

DCDCDC

圖4圖6圖C

...當P為/。中點時，可以證明N8PC=90。；在“。上截取/尸=/8,可以證明N8PC=90。,

故滿足條件/8PC=90。的點尸有2個.

例5⑴連結SC,P8.，AOCO,aO/8均為等邊三角形，S,P,。分別為48c中點，

.?.5。=：以7=/。=5尸=尸。.故a52。為等邊三角形.

(2)：SB=LDO+OB=空,CS=%,BC=7.

222

：.ASPQ的邊長SQ=,C=：..?人也=爭<($2=嚕3

(3)設8=a,AB=b(a<b),BC2=SC2+BS2==^-a)2+(b+^)2=a2+b2+ab.

：?SASPQ=E(CI2+ab+吩),又S3°D=立,貝!!S.AOD={ab.

16S^CODa4

又配絲=2則SA/0D=、ab］；齷鱉=Z,：.8x退(a2+ab+b2)=7^ab.

S^COD〃4S^AOD8164

BP2a2-5ab+2b2=o,化簡得2=L故CDAB=\:2.

例6如圖，分別過EEC,P作N8的垂線，垂足依次為A,S,T,Q,則尸。就是點尸到48

的距離，且有ER〃/〃尸S,故四邊形EKS6為直角梯形，PQ=^ER+FS).

易證RtLAER咨RtACAT,Rt/\BFS^Rt/\CBT,：.ER=AT,FS=BT,又AT+BT=AB=ER

+FS,

故PQ=/B.

/級

l.60°2.33.6cm4.8/5於5.86.D7.C

8.C提示:如圖，作點。關于直線8c的對稱點。，連結。。交8c于E,連結/。交8c于P,

過。作DFA.AP于￡故PA+PD此時最小.

由8E=AD=2,EC=3,則可得：DE=4,.?.。。=8,則/。=2布.

10.提示：連結。下并延長交于8c于"，則AD=CH.11.略

2

12.⑴3

⑵①當點N在線段上運動時，△P/N形狀不發(fā)生改變，其周長為S+S+4.

②當點在線段QC上運動時，△尸A/N的形狀發(fā)生改變，但DMNC恒為等邊三角形，過E作

EG1BC于G。

當尸M=PN時，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2；

當尸MTV時，x=EP=GA/=6-1-6=5-71；

當PN=MN時,x=EP=GM=6-1-l=4

B級

1.42.5cm

3.10.5提示：以7,14作兩底的梯形中位線最長

4.6：4：6：95.B6.A7.D

8.C提示：連結4V,DN,