初三升高中數(shù)學(xué)銜接講義

第一講.數(shù)與式的運(yùn)算--絕對(duì)值

絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的

絕對(duì)值仍是零.即

a>

0,

/仇

Qa-

O

<

0,-見(jiàn)a

絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：|a-b|表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離.

例1解不等式：|x-l|+|x-3|>4.

練習(xí)1.填空:

(1)若|x|=5,則下——;若|x|=|-4|,則尸―

(2)如果同+聞=5,且a-1,貝Ib=若|1一c|=2,則c

2.選擇題:

下列敘述正確的是()

(A)若|a|=出|,則a=b(B)若|a|>\b\,則a>b

(C)若a<b,則|a|<161(D)若=網(wǎng)，則a=±b

3.化簡(jiǎn)：|x—51—12x—131(才>5).

4.觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離4與-2,3與5,-2與-6,-4與3.

并回答下列各題：

(1)你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎？

(2)若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x,點(diǎn)B表示的數(shù)為一1,則A與B兩點(diǎn)間的距離

可以表示為.

(3)結(jié)合數(shù)軸求得僅-2|+|x+3|的最小值為，取得最小值時(shí)x的取值范圍為

(4)滿(mǎn)足|x+1|+|x+4|>3的x的取值范圍為

5,(閱讀理解題)閱讀下面材料：

點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b,A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|AB|.當(dāng)A、

B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1,

IAB|=|OB|=|6|=|a—b\；

?(A)pQ94.p??[”

0b0abba0b0a

圖1圖2圖3圖4

當(dāng)AB兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，

①如圖2,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊，

IAB|=IOB|—IOA|=|6|—|aI=b~a=\a~bI；

②如圖3,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，

IAB|=IOB|—IOA|=\b\—\a\=—b~(—a)=Ia~b\；

③如圖4,點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，

IAB|=IOA|+IOB|=Ia|+|Z?|=a+(—6)=|a-b\.

綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離IAB|=\a-b\.

(2)回答下列問(wèn)題：

①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示一2和一5的兩點(diǎn)

之間的距離是,數(shù)軸上表示1和一3的兩點(diǎn)之間的距離是;

②數(shù)軸上表示x和一1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是,如IAB|=2,那么x

為;

③當(dāng)代數(shù)式Ix+1I+I”一2|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是.

第二講.數(shù)與式的運(yùn)算-一乘法公式

我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式:

(1)平方差公式(2)完全平方公式

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；

(2)立方差公式(a—h)(a2+ab+b2~)=a3—b3t

(3)三數(shù)和平方公式(<a+b+c')2=a2+b2+c2+2(ab

(4)兩數(shù)和立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(5)兩數(shù)差立方公式(a—b)3=a3—3a2b+3ab2—b3.

對(duì)上面列出的五個(gè)公式,有興趣的同學(xué)可以自己去證明.

例1化簡(jiǎn)：(X+l)(x-1)(/-x++%+1).

例2已知a+b+c=4,ab+be+ac=4,求&2+爐+?2的值.

練習(xí)1.填空：(1)：a2-=Cb+ja)();

(2)(4m+)2=16m2+4m+();

222

(3)(a+2b—c)=a+4/J2+c+().

2.(1)若小+之血工+人是一個(gè)完全平方式，則k等于()

(A)m2(B)-m2(C)-m2(D)—m2

4316

(2)不論a,b為何實(shí)數(shù)，M+匕2_2Q-4b+8的值()

(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

2.公式及運(yùn)用

例1.計(jì)算：(1)(2%+3)(4/—6%+9)(2)(a?一3)(Q4+：02力+：82)

思考：化簡(jiǎn)(1)(a+2)(?！?)(。2—2a+4)(Q2+2a+4)

(2)x(x—l)2—(x2—x+1)(%+1)

(3)(1—x)(l+x+%2)

(4)(1-x)(l+x+%2+%3)

例2.因式分解（1）x6-y6

(2)m6+n6+2m3n3

(3)9(%+l)2(x—l)2+6(x2—1)4-1

(4)x3+3x2-4

例3：已知x+y=2,xy=2,求二+/的值

思考：（1）已知Q+b=2,求a?+6ab+/的值。

（2）已知%—1=3,求/—妥的值。

練習(xí)：1化簡(jiǎn)（1）(%+y)2(%2—xy+y2)2

(2)(2y—z)[2y(z+2y)4-z2]

(3)x2-漢漢

2.已知a2+5a+l=0,試求下歹恪式的值：

(1)a+i(2)a2+^(3)a3+^(4)a4+4

aa"QJar

3.已知a+b+c=4,ab+be+ac=4,求a?+b?+?2的值.

第三講.數(shù)與式的運(yùn)算一-二次根式

一般地，形如《（aNO）的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡

方的式子稱(chēng)為無(wú)理式.例如3a+V^Tb+2b,，（^+爐等是無(wú)理式,而

x24-\/2xy+y2,等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母(子)中的根號(hào)化去，叫做分母(子)有理化.為了進(jìn)行分母(子)有理化，

需要引入有理化因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二

次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如我與魚(yú)，3VH與傘，8+遙與6-

V6,28-3企與28+3企，等等.一般地，a4與正，aH+b方與(1爪-b4，aVx+b

與a豉-b互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)

程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程

在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中

要運(yùn)用公式=而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫(xiě)成分式的形式,

然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類(lèi)似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的

基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類(lèi)二次根式.

2.二次根式必的意義"=同=匕,：丸：

例1將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：

(1)V12b；(2)Va26(a>0)；(3)y/4x6y(x<0).

例2計(jì)算：遍+(3-次).

例3試比較下列各組數(shù)的大小:

（1）viz-vn#vii-vio；（2）高和2或一遍.

例4化簡(jiǎn)：（V3+例）2。。4.（V3-例）2。05.

例5化簡(jiǎn)：（1）V9-4V5；(2)lx2+^—2(0<x<1).

1.填空:

(1)1-V3

1+V3

(2)若7(5—%)(%—3)2=(x—3)V5—x，則％的取值范圍是

(3)若“多則鬻售+鬻磊

2.選擇題:

等式=成立的條件是()

(A)%。2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

3.若仁里產(chǎn)，求a+b的值.

4.比較大小：2-##一亞(填“>”，或"V”).

第四講.數(shù)與式的運(yùn)算一一十字相乘法

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外

還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法.

例1分解因式：

(1)*—3x+2；(2)系+4x—12；

(3)x2—(a+b)xy+aby2；

課堂練習(xí)

一、填空題：1、把下列各式分解因式:

2

(1)%+5%-6=o

2

(2)%—5%+6=o

2

(3)%4-5%+6=o

2

(4)x-5x—6=o

(5)%2—(a+1)%+a=<

2

(6)%-llx+18=o

2

(7)6x+7%+2=o

(8)4m2—12m+9=。

2

(9)54-7%-6x=o

(10)12x2+xy-6y2=______________________________________________________

2、若/+Q%+人=(%+2)(%-4)貝!JQ=,b=o

二、選擇題：(每小題四個(gè)答案中只有一個(gè)是正確的)

1>在多項(xiàng)式(1)x2+7%4-6(2)/+4%+3(3)%2+6%+8(4)%24-7%+10

(5)/+15久+44中，有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式小+8ab-33b2得()

A、(a+11)(a—3)B、(a4-lib)(a—3b)C、(a—lib)(a—3h)D、(a—lib)(a+3Z?)

3、(a+b)2+8(a+b)—20分解因式得()

A、(a+b+10)(a+b—2)B、(a+b+5)(a+b—4)

C、(a+Z?+2)(Q4-b—10)D、(Q+/?+4)(Q4-b—5)

4、若多項(xiàng)式--3x+Q可分解為(％-5)(%-b),則Q、b的值是()

A、a=10,b=2B、a=10,b=-2C、a=-10,b=-2D>a=-10,b=2

5>若%2+HI%-io=(%+Q)(%+b)其中Q、b為整數(shù),則w的值為()

A、3或9B、±3C、±3D、±3或±3

三、把下列各式分解因式

1、6(2p—q)2—ll(q-2p)+32、a3—5a2b+6ab2

4、h4-2b2-8

（二）十字相乘法與分組分解法

、十字相乘法：

兩個(gè)一次二項(xiàng)多項(xiàng)式mx+n與依+1相乘時(shí)，可以把系數(shù)分離出來(lái)，按如下方式進(jìn)行演

_n）的系和

&T4■八的票和

mkml+nknl

即(jnx+n)(kx+/)=mkx2+(m/+nfc)x+nl

把以上演算過(guò)程反過(guò)來(lái)，就可以把二次三項(xiàng)式m/cM+(m/+n/c)x+位分解因式

即?n/c%2+(mZ+nk)x4-nZ=(jnx+n)(fcx+Z)

這說(shuō)明，對(duì)于二次三項(xiàng)式a/+以+c(acH0),如果把Q寫(xiě)成7nk,c寫(xiě)成九，時(shí)，b恰好是m/4-

nk,那么Q/+故+c可以分解為(mx+n)(kx+Z)

二、運(yùn)用舉例

例1.分解因式(十字相乘法)

(1)x—3x+2；(2)/+4x—12；

(3)%2—(a+b)xy+aby2;(4)xy—1+x—y.

(5)3x2+10%+8(6)-2x2+%+1

(7)-2x2y2+xy+6(8)2x2-9xy-5y2

例2.分解因式(分組分解法)

(1)x3-3x2y+3xy2-y3

(2)x3—2x2+3x-6

(3)/+9+3x2+3%

練習(xí)：1分解因式(1)m4—3m2—4(2)4a4—37a2b2+9h4

(3)1-a2+2ah-b2(4)x2-2x-15

(5)12x2-5x-2(6)%2+5%—24

(7)%3—3%+2(8)5+7%—6x2=

(9)%2—(a4-l)x+a=(10)4m2—12m4-9=

2.用因式分解法解下列方程：

(1)3x2-4%-4=0(2)(2%-l)2+(%-l)2=%

x-2y=-----

3.不解方程組落;，求代數(shù)式9/一15孫-6y2的值。

(3x+y=—

第五講一元二次方程及韋達(dá)定理

一、求根公式：對(duì)于一元二次方程a/+必+c=O(Q0o)用配方法可變形為:

(%+￡/=［箸，因右邊大于o.所以

(1)當(dāng)2=從一4ac>0時(shí)，方程有根%=若@,必=若包

(2)當(dāng)Z=b2-4ac=0,方程有根%=七=一盤(pán)

(3)當(dāng)/=b2-4ac<0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

例1、不解方程，判斷下列方程根的情況：

(1)x2—x+1=0(2)—5x2=6x+2

(3)2x2-5x-3=0(4)(3+2V2)x2-2(1+V2)x+1=0

例2、k為何值時(shí),關(guān)于x的方程2/一(妹+1)%+21-i=o

(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

(2)有兩個(gè)相等的實(shí)根；

(3)沒(méi)有實(shí)根。

二、韋達(dá)定理

由求根公式得：/+%2==￡（即為韋達(dá)定理），1%1-％21=湍

特別地,如果方程為%2+P%+q=0,且方程的二根為%1，%2,則％1+%2==q

同時(shí)，以%i，%2為兩根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是/-（久1+%2）%+=0

例1、求下列方程的兩之根和與兩根之積

(1)3%2+5%-7=0(2)x2—x—1=0

2

(3)-#+3%-1=。(4)(V5+1)%-2x-(V5-1)=0

例2、已知關(guān)于％的方程18/一9x+a=0的一根是-？，求另一根及a的值。

6

例3、設(shè)方程2/+4%+1=0的兩根為

求(1)后+慰；(2)三+工；(3)%一%21

Xix2

例4、求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根為3+e,3-夜

練習(xí)：1.m取何值時(shí)，多項(xiàng)式/一(2m+2h+/+5=0是一個(gè)完全平方式;

2.a取何值時(shí)，關(guān)于x的方程3ax2—2V5（a-l）x+a=0

（1）只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

3.設(shè)孫孫是方程2毛-6%+3=0的兩個(gè)根,不解方程，求下列各式的值。

-

(1)(%i-3)(X23)(2)3+支(3)xf+X2

第六講二元二次方程組

1.定義

（1）含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是二的方程叫二元二次方程。

（2）由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程，或者由兩個(gè)二元二次方程組成的方程

組，都叫二元二次方程組。

解二元二次方程組的基本思路是消元，降次，消元就是用消去一個(gè)未知數(shù)的方法將

二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程；降次就是采用因式分解等方法將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方

程。

二元二次方程組最基本的類(lèi)型是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程構(gòu)成的

方程組，其他類(lèi)型都要轉(zhuǎn)化為這種類(lèi)型來(lái)解，解法主要采用消元法。

2.由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組。這種形式的方程組都可以

用代入法來(lái)解。

例1.解方程組：生+廣工工?

（戶(hù)+y，+%+y=32

例2.解方程組：+y=!

3.由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組。（只討論一些特殊情況）

X24-y2=10

例3.解方程組:

x2-3xy+2y2=o

例4.解方程組:Q才選爹)+2=0

思考：解方程組:緇線(xiàn)=25

練習(xí)：1。方程組儼了好；25的解是。

(%+y=7--------------

2.方程組『24Rn的解是____________

kxy+2(%+y)+3=0-----------------------

3.方程組｛(二厘］：＞°)的解的情況是

A恒有一組解B恒有兩組解C恒有四組解D解的組數(shù)與p值有關(guān)

4.方程組｛?二3+,2=9的解的組數(shù)是

A1B2C3D4

5.解下列方程組:

(2x—y=5

2x—y=1(2)忸—=]

(1)22

10x-y-x+1=0vxy

x2—5xy+6y2=o(4)x2—2xy—y2=0

(3)

2%-y-6=0.2x2-5xy-3y2=0

⑸巴+y：+x+y=18(6)%+y：+x+y=18

(.x+y/-2%—4y=24%—y=6

x2—2xy—y2=2(xy+x+y=34

(7)

xy+y2=4lx2+y2—x—y=42

第七講二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

二次函數(shù)的三種表示形式:

(1)y=ax2+bx+c(aW0)-----~1般式

(2)y=a(x-m)24-n-----頂點(diǎn)式(m,幾)為頂點(diǎn)

(3)y=-----零點(diǎn)式(兩根式)

為a/+必+c=0的兩根，或y=ax24-4-C(QH0)與%軸的兩交點(diǎn)的橫左標(biāo)。

二、二次函數(shù)丫=。/+鼓+武。。0)的圖象及性質(zhì)：

a>0,開(kāi)口向上a<0,開(kāi)口向下

A

當(dāng)x=

2ab

X=---

2a

圖象

X的取值范圍為一切實(shí)數(shù)X的取值范圍為一切實(shí)數(shù)

4ac—b24ac—b2

y>------y<------

)一4a7-4a

當(dāng)X=_2時(shí)當(dāng)T，寸y4ac，

2Q'4Qmin4amax

當(dāng)寸，y隨X的增大而減小當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大

當(dāng)％z一/時(shí)，y隨》的增大而增大

性質(zhì)當(dāng)寸，y隨x的增大而減小

例1.(1)已知二次函數(shù)的圖象通過(guò)4(1,6),B(2,15),C(-1,0)三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析

式；

(2)已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為4(3,-2),并且它的圖象過(guò)點(diǎn)8(5,6),求這個(gè)二次

函數(shù)的解析式;

(3)已知二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為4(1,0),B(3,0),且又過(guò)點(diǎn)C(0,3),求這

個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(4)已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a,f(x)=0的兩根為1,3,且方程f(x)+l=0

有兩個(gè)相等的根，求“X)的解析式。

練習(xí)

1.y=-3(X-2)2+9的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()

A、(1,6)B、(0,-3)C、(2,9)D、(-2,9)

2.y=|x-2-3/的對(duì)稱(chēng)軸為()

A^x=--B、x=-C、x=——D、x=-

412124

3.拋物線(xiàn)y=-6公一％+2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是

與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是

4.已知對(duì)稱(chēng)軸為x=-l的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)4(1,-1),8(-2,2)兩點(diǎn)，求這條拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的二次

函數(shù)。

5.二次函數(shù)丫=a/+bx+c(a。0)的圖象過(guò)點(diǎn)(-2,0),(3,0),函數(shù)的最大值為5,

求這個(gè)二次函數(shù)。

6.二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為(2,-4),在x軸上所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為5,求這個(gè)二次