彈性力學(xué)復(fù)習(xí)題

1、彈性力學(xué)的研究對(duì)象、內(nèi)容及范圍彈性力學(xué)是研究在外界因素（外力、溫度變化）的影響下，處于彈性階段的物體所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變及位移。彈性力學(xué)的研究對(duì)象為一般及復(fù)雜形狀的構(gòu)件、實(shí)體結(jié)構(gòu)、板、殼等。2、彈性力學(xué)的基本假設(shè)（即滿足什么樣條件的物體是我們?cè)趶椥粤W(xué)中要研究的）(1)均勻性假設(shè)即物體是由同一種材料所組成的，在物體內(nèi)任何部分的材料性質(zhì)都是相同的。（用處：物體的彈性參數(shù)，如彈性模量E，(1)均勻性假設(shè)即物體是由同一種材料所組成的，在物體內(nèi)任何部分的材料性質(zhì)都是相同的。（用處：物體的彈性參數(shù)，如彈性模量E，不會(huì)隨位置坐標(biāo)的變化而變化）連續(xù)性假設(shè)即物體的內(nèi)部被連續(xù)的介質(zhì)所充滿，沒(méi)有任何孔隙存在。（用處：彈性體的所用物理量均可用連續(xù)的函數(shù)去表示）完全彈性假設(shè)即當(dāng)我們撤掉作用于物體的外力后，物體可以恢復(fù)到原狀，沒(méi)有任何的殘余變形；應(yīng)力（激勵(lì)）與應(yīng)變（響應(yīng)）之間呈正比關(guān)系。（用處：可以使用線性虎克定律來(lái)表示應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系）各向同性假設(shè)即物體內(nèi)任意一點(diǎn)處，在各個(gè)方向都表現(xiàn)出相同的材料性質(zhì)。（用處：物體的彈性參數(shù)可以取為常數(shù)）小變形假設(shè)即在外力的作用下，物體所產(chǎn)生的位移和形變都是微小的。（用處：可以在某些方程的推導(dǎo)中略去位移和形變的高階微量）5、平面問(wèn)題的基本方程5、平面問(wèn)題的基本方程平面問(wèn)題的基本方程包括：（1）平衡方程；（2）幾何方程；（3）物理方程平面問(wèn)題的基本量有8個(gè)，分別是：平面問(wèn)題的基本量有8個(gè)，分別是：3個(gè)應(yīng)力分量:Txy；3個(gè)形變分量:8、8、Yxyxy2個(gè)位移分量：u（1）平衡方程平衡方程描述的是體力分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系2個(gè)位移分量：u（1）平衡方程平衡方程描述的是體力分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系do dT dT x+ yx+f=0. xy

dx dy x' dxdo+ y+f=0dy y上述平衡方程對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題均適用（2）幾何方程幾何方程描述的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系du8=——x dxdv dv du8=——.Y=——+——y dy xy dxdy（3）物理方程物理方程描述的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程為:平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程為:平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程為:平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程為:Yxy=TGxy；Yxy=TGxy；1一|LX2

E匕1—|LXY=TGxyxy3、彈性力學(xué)的基本量表1直角坐標(biāo)表示的各種基本量情況基本量空間問(wèn)題平面問(wèn)題量綱正負(fù)號(hào)規(guī)定未知量正應(yīng)力O、O、Oo、o［力/長(zhǎng)度-2］正面以坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?；?fù)面以坐標(biāo)軸負(fù)向?yàn)檎＜魬?yīng)力T—Tyz、TzTxy［力/長(zhǎng)度-2］正應(yīng)變8、8、88、8無(wú)量綱線段伸長(zhǎng)為正剪應(yīng)變7xy、1yz、、zx7xy無(wú)量綱角度減小為正位移u、v、攻u、v［長(zhǎng)度］沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎阎矿w力fx、fy、fzfx、fy［力/長(zhǎng)度-3］沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎媪、f、fzf、fy［力/長(zhǎng)度-2］沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?、兩類平面問(wèn)題的概念（1）平面應(yīng)力問(wèn)題（應(yīng)力是平面的；變形是空間的）如圖所示薄板，其Z方向的尺寸比其他兩個(gè)方向上的尺寸小得多；外力和體力都平行于板面，并且沿著板的厚度沒(méi)有變化，這樣的問(wèn)題稱為平面應(yīng)力問(wèn)題。（2）平面應(yīng)變問(wèn)題若物體在Z方向的尺寸比在其他兩個(gè)方向上的尺寸大得多，如圖所示很長(zhǎng)的壩體，外力及體力沿著Z方向沒(méi)有變化，則這類問(wèn)題稱為平面應(yīng)變問(wèn)題。（3）兩類平面問(wèn)題的一些特征空間問(wèn)題的基本未知量共有8個(gè)，每個(gè)基本未知量?jī)H僅是坐標(biāo)G,y）的函數(shù)。表2兩類平面問(wèn)題的一些特征名稱平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題未知量已知量未知量已知量位移u、v川豐0u、v墳=0應(yīng)變8X、77xy7二7=08=—上Q+o）z Exy8x、￡y、7xy7=7=￡=0應(yīng)力o、o、Tx yxyT=T二O=0O、O、Tx yxyT=T=0o=N（o+O）外力體力、面力的作用面平行于xOy平面；外力沿板厚均勻分布體力、面力的作用面平行于xOy平面;外力沿z軸無(wú)變化形狀Z向尺寸遠(yuǎn)小于板面尺寸（等厚度薄板）Z向尺寸遠(yuǎn)大于X°y平面內(nèi)的尺寸（等截面長(zhǎng)柱體）6、平面問(wèn)題的邊界條件彈性力學(xué)問(wèn)題的邊界條件，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是用來(lái)描述彈性體邊界上所受的外部作用。這個(gè)外部作用可以是面力的作用，也可以是對(duì)位移的約束，也可以是兩者的綜合作用。因此對(duì)于彈性體的每一條邊而言，其邊界條件為如下三種類型的其中一種：（1）位移邊界條件若在彈性體的全部邊界$上給定了位移分量u和狂，則位移邊界條件為：u=uvv=v；（2）應(yīng)力邊界條件則應(yīng)力邊界條件為：若在彈性體的全部邊界$上給定了面力分布f、則應(yīng)力邊界條件為：Xl.（o）+m.Q）=f（3）混合邊界條件若在彈性體的部分邊界上$1給定了位移分量u和v，另外一部分邊界$2上給定了面力分量f、f，則混合邊界條件為：在$1上:在$1上:在$2上:l?(O)X$l.()+m.Q)（4）圣維南原理及其對(duì)邊界條件的簡(jiǎn)化對(duì)于彈性體的邊界而言，如果能在所有的邊界上都可以找到精確滿足以上三種類型之一的邊界條件是最好不過(guò)的情況了。因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候我們就可以通過(guò)求解基本方程來(lái)了解彈性體中任意位置處的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。但是對(duì)于具體的問(wèn)題來(lái)說(shuō)，要想使得每條邊上的邊界條件得到完全滿足是非常困難的。邊界條件得不到完全的滿足，就意味著我們得不到彈性體內(nèi)任意位置處的精確解。既然得不到任意位置處的精確解，那么就要考慮是否能在彈性體內(nèi)部的大部分區(qū)域獲得精確的結(jié)果。為實(shí)現(xiàn)這一目的，人們需要找到一種方法去處理不能完全滿足邊界條件的彈性體邊界。而法國(guó)學(xué)者圣維南，就是成功找到了處理方法之一的牛人。圣維南所提出的處理方法，是針對(duì)應(yīng)力邊界條件的。他于1855年提出了這樣一種說(shuō)法：如果將分布在物體的某個(gè)小部分邊界上的面力，替換為與原來(lái)的面力分布方式不同但是靜力等效的另外一種面力，那么，由于進(jìn)行了這種替換而在彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的影響，只局限于這一小部分邊界附近的局部區(qū)域，對(duì)于遠(yuǎn)離這一小部分邊界的區(qū)域，替換所產(chǎn)生的影響可以忽略不計(jì)。7、平面問(wèn)題中的應(yīng)力分析（1）過(guò)彈性體中某點(diǎn)的任一斜截面（該斜截面的法線方向與X軸夾角的余弦為1；與y軸夾角的余弦為m）上的正應(yīng)力。n、剪應(yīng)力.n的計(jì)算公式:c=12-Q+m2-Q+2?l-m-tN xtN xt=1-m-Qy xy—c)+Q2一m2)-t+T2xy（2）彈性體中任一點(diǎn)處的主應(yīng)力Q1和Q+T2xyC1cxTOC\o"1-5"\h\z（3）主應(yīng)力c1和c2與x軸的夾角1和a2可由下式求得：c—c t ttga=-1 x；tga= xy——二一 xy——1T 2c—cc—cxy 2y 1x（c1的方向與c2的方向互相垂直）二、平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答前面我們主要建立了平面問(wèn)題的基本方程。對(duì)于平面問(wèn)題而言，基本方程包括2個(gè)平衡方程、3個(gè)幾何方程和3個(gè)物理方程。這8個(gè)方程對(duì)應(yīng)著8個(gè)未知量（3個(gè)應(yīng)力分量：。x、。y、Txy；3個(gè)應(yīng)變分量:ex、ey、丫xy；2個(gè)位移分量：u、v）。彈性力學(xué)要解決的平面問(wèn)題，簡(jiǎn)單說(shuō)就是研究在不同的邊界條件下如何求解這8個(gè)未知量。本部分就是研究在平面直角坐標(biāo)系下，求解這8個(gè)未知量的方法?！就ǔ５那蠼夥椒ā浚w力是坐標(biāo)的函數(shù)）1、按位移求解平面問(wèn)題（位移法）[詳見書p33圖2-19]位移法的解題思想：以位移分量（u，v）作為基本未知量，由一些只包含位移分量的微分方程和邊界條件求解出位移分量。位移分量求出來(lái)之后，利用幾何方程求出形變分量，進(jìn)而將形變分量代入物理方程求出應(yīng)力分量。按位移法求解平面問(wèn)題（平面應(yīng)力問(wèn)題），位移分量（u，V）必須滿足下列全部條件:（1）用位移表示的平衡方程’52u’52u+1-N52u+1+N52v、25y2 2dx5y)+fx=0’52v+1’52v+1-n52v+1+n52u、1—N2(5y2 25x2 25x5y/+fy=0（2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件m.［空+日四］+1?

m.［空+日四］+1?

［ayraxJ4佇+史］21ayaxJs4r電+”］21axayJsxy（3）位移邊界條件總結(jié)：按照位移法求解平面應(yīng)力問(wèn)題，就是要使得位移分量^,v）滿足（1）中的平衡方程，同時(shí)還要在邊界上滿足邊界條件（視具體的邊界而定需要滿足應(yīng)力邊界or位移邊界or兩者兼有）。在求出位移分量以后，即可利用幾何方程求出形變分量，進(jìn)而利用變換后的物理方程（應(yīng)力用應(yīng)變表示）求出應(yīng)力分量。TOC\o"1-5"\h\z廠E U當(dāng)問(wèn)題為平面應(yīng)變問(wèn)題時(shí)，注意應(yīng)將上述方程中的E--；——-；日- -1—U2 1—U位移法求解平面問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，就是求解滿足上述平衡方程和邊界條件的位移分量u、V，然后利用求解出的位移分量去求解形變分量（幾何方程）和應(yīng)力分量（物理方程）。2、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題（應(yīng)力法）[詳見書p37圖g-21]應(yīng)力法的解題思想：以應(yīng)力分量Qx，o「町）作為基本未知量，由一些只包含應(yīng)力分量的微分方程和邊界條件求解出應(yīng)力分量，再利用物理方程求出形變分量，進(jìn)而不利用幾何方程求出位移分量。按應(yīng)力求解平面問(wèn)題（平面應(yīng)力問(wèn)題），應(yīng)力分量（jJ。yT盯J必須滿足下列全部條件：（1）平衡方程TOC\o"1-5"\h\za。 ai x+yx-+fax ay xai a?！獂y+ y+f=0ax ay y（2）相容方程用+白卜x+。）-（1+“今+fJ（3）應(yīng)力邊界條件(1?a+m（3）應(yīng)力邊界條件(1?a+m?ix yx(m?a+1?iy))S—xysxy（4）對(duì)于多連體問(wèn)題，還要考慮位移的單值條件。應(yīng)力法求解平面問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，就是求解滿足上述平衡方程、相容方程及邊界條件的應(yīng)力分量，然后利用求解出來(lái)的應(yīng)力分量去求解形變分量（物理方程）和位移分量（幾何方程）?！咎厥獾膽?yīng)力法】對(duì)于單連體問(wèn)題而言（在常體力情況下，利用應(yīng)力法求解平面問(wèn)題時(shí)可以使求解方法得到簡(jiǎn)化）之前我們討論的體力是坐標(biāo)的函數(shù)，即構(gòu)成彈性體的若干個(gè)微小單元體所受到的體力不是相同的。非常體力情況下體力分量是分別關(guān)于x、y的函數(shù)（4、fy）。1、常體力情況：構(gòu)成彈性體的若干個(gè)微小單元體所受到的體力均相同。常體力情況下，體力分量是兩個(gè)常數(shù)（X,Y）2、在常體力情況下可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化的依據(jù)常體力情況下，應(yīng)力的相容方程為：(.+.).-(1+/JX+JY]=oXy [JxJyIQ+Q)=0TOC\o"1-5"\h\zd2 d2Q+Q)=0即: + 即:Jx2 dy2那么現(xiàn)在對(duì)于問(wèn)題的求解就轉(zhuǎn)化為求解下列方程的解:Jo St①平衡方程：言+考Jt JoJx Jyr②相容方程：聲r(shí)②相容方程：聲+jyr）Q+Q)=0③應(yīng)力邊界條件：Jx③應(yīng)力邊界條件：Jx+小yx）=X；(m.o+1-t)=Y上述方程中均不含有彈性參數(shù)（E上述方程中均不含有彈性參數(shù)（EN），對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題均適用。3、常體力情況下可以做哪些簡(jiǎn)化①、針對(duì)任一彈性體所求解出來(lái)的應(yīng)力分量，適用于具有同樣邊界并且受同樣外力的其他材料的物體。（因?yàn)榻Y(jié)果與材料的彈性參數(shù)無(wú)關(guān)）②、針對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題所求出的應(yīng)力分量，也同樣適用于邊界相同、外力相同的平面應(yīng)變問(wèn)題。（因?yàn)榻Y(jié)果與彈性參數(shù)無(wú)關(guān)，所以無(wú)需進(jìn)行E和的替換）③、對(duì)于應(yīng)力邊值問(wèn)題，可以將彈性體所受體力的作用改換為面力的作用，以便于解答問(wèn)題或試驗(yàn)量測(cè)，從而為試驗(yàn)應(yīng)力分析提供方便。④、可將原來(lái)所要求解的三個(gè)未知的應(yīng)力分量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化只求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)即可。4、常體力情況下利用應(yīng)力函數(shù)求解平面問(wèn)題

在求出應(yīng)力函數(shù)①在求出應(yīng)力函數(shù)①后，即可利用應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系求解出應(yīng)力分量【見下②】注意求解出的應(yīng)力分量要在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件【見下③】對(duì)于多連體問(wèn)題，還要滿足位移的單值條件。①應(yīng)力函數(shù)①（%y）需要滿足的相容方程為：①(x,y)=0或?qū)懽鱒4p=0②應(yīng)力函數(shù)①（x,y）與應(yīng)力分量之間的關(guān)系為:52(p(x,y) X-x5y252(p(x,y)_ Y-y5x2TxyTxyd2①(X,y)

d.X5y③由上述關(guān)系式求出的應(yīng)力分量要在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件為：（-o+m.t）=XXyxs（m.o+1.t）=YyXys引入應(yīng)力函數(shù)后，就可以將應(yīng)力法中所要求解的三個(gè)方程轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)關(guān)于應(yīng)力函數(shù)的相容方程即可，即使得問(wèn)題得到了簡(jiǎn)化。5、求解應(yīng)力函數(shù)的方法一一逆解法與半逆解法既然使用應(yīng)力函數(shù)可以使得問(wèn)題得到較大程度的簡(jiǎn)化，那么如何求解這個(gè)應(yīng)力函數(shù)呢？我們說(shuō)有兩種求解應(yīng)力函數(shù)的方法：逆解法與版逆解法。（1）逆解法的求解步驟：①首先找出滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)；②由應(yīng)力函數(shù)求解出應(yīng)力分量③在給定邊界的形狀（邊界方程）下，根據(jù)應(yīng)力邊界條件，由應(yīng)力反推出面力。從而得出在此組面力下，其解答就是上述應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力。（2）半逆解法的求解步驟：①根據(jù)邊界形狀和受力情況，假設(shè)出部分（或全部）應(yīng)力分量的形式；②根據(jù)應(yīng)力分量和應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系，由給出的部分的應(yīng)力分量推求出應(yīng)力函數(shù)；③驗(yàn)證推求出的應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程；如不滿足，則重新回到①；④如滿足，則根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求出其余的應(yīng)力分量；⑤驗(yàn)證全部應(yīng)力分量是否滿足應(yīng)力邊界條件（對(duì)于多連體問(wèn)題，還需要滿足位移的單值條件）如果不滿足，則重新回到①；如滿足，則得到問(wèn)題的解答。三、平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答平面極坐標(biāo)問(wèn)題的研究思路與平面直角坐標(biāo)系一樣，也是研究如何求解8個(gè)基本未知量的求解方法。但是由于坐標(biāo)系的變化（由（X、y）（r、°））,因此在平面問(wèn)題中的8個(gè)基本未知量在極坐標(biāo)系中表示為：3個(gè)應(yīng)力分量：0r、00、°用；3個(gè)形變分量：er、e0、Y用；2個(gè)位移分量：ur、uo。平面極坐標(biāo)問(wèn)題也有平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題兩種類型。平面應(yīng)力：如圓環(huán)、圓盤等；平面應(yīng)變：如圓筒（半平面體視具體情況分析而定）求解這8個(gè)基本未知量的方程（即基本方程）為：（1）平衡方程：TOC\o"1-5"\h\zdo 10T O-O r_+-0r-+——r 0-+f—0dr rd0 rr\o"CurrentDocument"1do dT 2t —0-+ r0-+ r0-+f—0rd0 dr r0（2）幾何方程：du1du u 1du du uE―r-；￡― -0-+—r-；Y― 7r+0--―0-rdr '0rd0 r 'r0 rd0 dr r（3）物理方程（平面應(yīng)力問(wèn)題）E—-1（o-RO）.E——（o-RO）.Y—TG

rEr0'0E0 r'r0 r0''「E R平面應(yīng)變問(wèn)題中的物理方程：將Ef ；Rf-1—R2 1—R求解上述8個(gè)方程的方法我們僅介紹了應(yīng)力函數(shù)方法（體力為零的條件下）。與平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)力函數(shù)法樣，在極坐標(biāo)系中，我們需要找出一個(gè)應(yīng)力函數(shù)W（r,0），與平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)力函數(shù)法后根據(jù)極坐標(biāo)下應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系得到應(yīng)力分量及相應(yīng)的位移。當(dāng)然，這里的應(yīng)力函數(shù)也不是隨便取一個(gè)就可以，它仍然要滿足相容方程。在極坐標(biāo)下，應(yīng)力函數(shù)所要滿足的相容方程為：[2+1￡+1魯fMr,0）-0（dr2rdrr2d02J應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系為：o—1d2（p+1dqrr2d02rdrd沖o——L0dr2_1d2q 1d9r0 rdrd0r2d0求解出來(lái)的應(yīng)力分量，同樣需要在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（對(duì)于多連體，比如說(shuō)圓筒，還要滿足位移的單值條件）。在極坐標(biāo)系中，常見的應(yīng)力邊界有：。廠=已知的（徑向）面力分量；T田=已知的剪切面力分量或。0=已知的（環(huán)向）面力分量；T田=已知的剪切面力分量對(duì)于具體的問(wèn)題，要根據(jù)所建立的坐標(biāo)系來(lái)寫出應(yīng)力邊界條件。特殊的情況：軸對(duì)稱問(wèn)題在軸對(duì)稱問(wèn)題中，應(yīng)力分量是軸對(duì)稱的，形變分量是軸對(duì)稱的；但是位移分量不一定是軸對(duì)稱的。在彈性體不存在剛體位移或存在軸對(duì)稱約束的情況下，位移分量也是軸對(duì)稱的。軸對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)：①=AInr+Br21nr+Cr2+D軸對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)力分量：o=A+B（1+21nr）+2Crr2o=-A+B（3+21nr）+2C0r2T=T=0r0 0r軸對(duì)稱問(wèn)題相應(yīng)的位移（平面應(yīng)力問(wèn)題）：u=4'㈤+Hr-1sin0+Kcos00Eu=1-（1+口）A+2（1-口）Br（inr-1）+（1-3口）Br+2（1-R）Cr+1cos0+Ksin0rE r如果是多連體問(wèn)題，由于位移需要滿足單值條件，故B=0;如果位移也是軸對(duì)稱的，則有B=H=1=K=0。接觸問(wèn)題：接觸類型：4種（參見書P103）對(duì)于兩個(gè)彈性體相互接觸的問(wèn)題，要注意對(duì)于不同的彈性體有不同的彈性參數(shù)E和N，以及不同的待定常數(shù)A、B、C、H、I、K。對(duì)于接觸問(wèn)題，要注意在接觸面上還有連續(xù)條件，即力和位移都是連續(xù)的。四、空間問(wèn)題的基本理論1、基本方程：平衡方程:--ax辦&1、基本方程：平衡方程:--ax辦&a/.-a/Ts/,_o--幾何方程:dudu8———x Sxdw8- .z dz'2、3、Yxy物理方程■7^+-7^；Y8y Sx yz（平面應(yīng)力問(wèn)題）:EL1EL1(2、3、Yxy物理方程■7^+-7^；Y8y Sx yz（平面應(yīng)力問(wèn)題）:EL1EL1(ox邊界條件:（1）位移邊界條件：（u）—u,（v）-v.s（2）應(yīng)力邊界條件:dvdwk+k:d.zdydwduY-lk。d.x dzYxyT

=xyT二(jSoxTxyT■xz,m,九）為邊界面外法線的方向余弦圣維南原理對(duì)次要邊界的簡(jiǎn)化：（1）列出靜力等效條件（6個(gè)等式）應(yīng)力所形成的主矢量、主矩二面力的主矢量、主矩主矢量l尸，F(xiàn),F相等；主矩相等M,M,Mxyz xyz（2）在邊界附近切取一個(gè)單元體，列出該單元體的力的平衡條件（6個(gè)等式）EF-0;ZF-0;EF-0;EM-0;ZM-0;EM-0x'y'z'x'y'z4、幾個(gè)概念（1）體積應(yīng)變。（彈性體單位體積在變形前后的改變量）（2）體積應(yīng)力??=o+O+o（3）體積應(yīng)變與體積應(yīng)力之間的關(guān)系：1—2從 1—2H0=-E^^比例系數(shù)為體積模量E E（4）應(yīng)力張量oxooxo=TijxyTxzTyxOyTyTzxTzy。z」（5）應(yīng)力不變量1xy1xyzoToI二xyx+x2ToTxyyxzoTTxyxzI二ToT3xyyzyTToxzyzz應(yīng)力第一不變量:應(yīng)力第二不變量:應(yīng)力第三不變量:ToTzx+yzyoTozyzz（6）空間中任意一點(diǎn)處主應(yīng)力的求出:解出方程：o3—I]O2+12O+I3=0的三個(gè)根即可。彈性力學(xué)復(fù)習(xí)題一.判斷與改錯(cuò).材料力學(xué)研究桿件，不能分析板殼；彈性力學(xué)研究板殼，不能分析桿TOC\o"1-5"\h\z件。 （X）.在彈性力學(xué)和材料力學(xué)里關(guān)于應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定是一樣的。 （X）.在體力是常數(shù)的情況下，應(yīng)力解答將與彈性常量無(wú)關(guān)。 （V）.三次或三次以下的多項(xiàng)式總能滿足相容方程。 （V）.對(duì)于純彎曲的細(xì)長(zhǎng)梁，由材料力學(xué)得到的撓曲線是它的精確解。 （V）.對(duì)于多連體位移解答必須滿足位移單值條件。 （V）d24 d2Q d2Q.在常體力下，引入的應(yīng)力函數(shù)①，且o= —Xx,°=廣-Yy，T=#，平衡微分方程xd2x yo2y xyo.x°y可自動(dòng)滿足。 （V）.物體變形連續(xù)的充分和必要條件是幾何方程（或應(yīng)變相容方程） （J）填空題.最小勢(shì)能原理等價(jià)于彈性力學(xué)基本方程中：平衡微分方程,應(yīng)力邊界條件。.一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足： 平衡微分方程,相容方程（變形協(xié)調(diào)條件）。.等截面直桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中，2U①dxdy=M的物理意義是桿端截面上剪應(yīng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩等于桿截面D內(nèi)的扭矩M。.平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)解法中，Airy應(yīng)力函數(shù)①在邊界上值的物理意義為邊界上某一點(diǎn)（基準(zhǔn)點(diǎn)）到任一點(diǎn)外力的矩。.彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量表示為：1, 、O+X=0,￡=（u+u）j,J1 ij2i,j j,i.邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式，它可以分為位移邊界條件、 應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。.體力是作用于物體體積內(nèi)的力，以單位體積力來(lái)度量，體力分量的量綱為L(zhǎng)-2MT-2 ；面力是作用于物體表面上力，以單位表面面積上的力度量，面力的量綱為L(zhǎng)-1MT-2 ；體力和面力符號(hào)的規(guī)定為以沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，屬外力：?yīng)力是作用于截面單位面積的力，屬內(nèi)力，應(yīng)力的量綱為L(zhǎng)-1MT-2，應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定為:正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎?，反之為?fù) 。.小孔□應(yīng)力集中現(xiàn)象中有兩個(gè)特點(diǎn)：一是 孔附近的應(yīng)力高度集中 ，即孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)處的應(yīng)力，或遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力。二是 應(yīng)力集中的局部性 ，由于孔口存在而引起的應(yīng)力擾動(dòng)范圍主要集中在距孔邊1.5倍孔口尺寸的范圍內(nèi)。.彈性力學(xué)中，正面是指外法向方向沿坐標(biāo)軸正向 的面，負(fù)面是指外法向方向沿坐標(biāo)軸負(fù)向的面。.利用有限單亓法求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)包含結(jié)構(gòu)離散化、 單元分析、整體分析一三個(gè)主要步驟。簡(jiǎn)述題.彈性力學(xué)中引用了哪五個(gè)基本假定？五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么用途？答：彈性力學(xué)中主要引用的五個(gè)基本假定及各假定用途為：（答出標(biāo)注的內(nèi)容即可給滿分）1）連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示他們的變化規(guī)律。2）完全彈性假定：這一假定包含應(yīng)力與應(yīng)變成正比的含義，亦即二者呈線性關(guān)系，復(fù)合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3）均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此，反應(yīng)這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比u等）就不隨位置坐標(biāo)而變化。4）各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質(zhì)在各個(gè)方向上都是相同的，也就是說(shuō)，物體的彈性常數(shù)也不隨方向變化。5）小變形假定：研究物體受力后的平衡問(wèn)題時(shí)，不用考慮物體尺寸的改變，而仍然按照原來(lái)的尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，在研究物體的變形和位移時(shí)，可以將它們的二次幕或乘積略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)的微分方程都簡(jiǎn)化為線性微分方程。（8分）彈性力學(xué)平面問(wèn)題包括哪兩類問(wèn)題？分別對(duì)應(yīng)哪類彈性體？?jī)深惼矫鎲?wèn)題各有哪些特征？答：彈性力學(xué)平面問(wèn)題包括平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題兩類，兩類問(wèn)題分別對(duì)應(yīng)的彈性體和特征分別為：平面應(yīng)力問(wèn)題：所對(duì)應(yīng)的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應(yīng)力分量?！保?。，J^^存在，且僅為x,y的函數(shù)。平面應(yīng)變問(wèn)題：所對(duì)應(yīng)的彈性體主要為長(zhǎng)截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿z軸無(wú)變化，只有平面應(yīng)變分量￡”，￡/Y^^存在，且僅為x,y的函數(shù)。（8分）常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問(wèn)題可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為按應(yīng)力函數(shù)①求解，應(yīng)力函數(shù)①必須滿足哪些條件？答：（1）相容方程：V40=0降+mt）=7r （（2）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件，s=s）：\（” ^^」 在s=s。［mo+1t）=f 。（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。2.簡(jiǎn)述圣維南原理？圣維南原理表明了什么？并說(shuō)明它在彈性力學(xué)分析中的作用。答：圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。圣維南原理表明：在小邊界上進(jìn)行面力的靜力等效變換后，只影響近處（局部區(qū)域）的應(yīng)力，對(duì)絕大部分彈性體區(qū)域的應(yīng)力沒(méi)有明顯影響。作用：（1）將次要邊界上復(fù)雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。3.何謂逆解法和半逆解法？答：所謂逆解法，就是先按某種方法給出一組滿足全部基本方程的應(yīng)力分量或位移分量，然后考察，在確定的坐標(biāo)系下，對(duì)于形狀和幾何尺寸完全確定的物體，當(dāng)其表面受什么樣的面力作用或具有什么樣的位移時(shí)，才能得到這組解答。所謂的半逆解法，就是針對(duì)所要求解的問(wèn)題，根據(jù)彈性體的幾何形狀、受力特點(diǎn)或材料力學(xué)已知的初等結(jié)果，假設(shè)一部分應(yīng)力分量或位移分量為已知，然后由基本方程求出其他量，把這些量合在一起來(lái)湊合已知的邊界條件；或者把全部的應(yīng)力分量或位移分量作為已知，然后校核這些假設(shè)的量是否滿足彈性力學(xué)的基本方程和邊界條件。5.試簡(jiǎn)述拉甫（Love）位移函數(shù)法、伽遼金（Galerkin）位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問(wèn)題的基本思想，并指出各自的適用性Love、Galerkin位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問(wèn)題的基本思想：（1）變求多個(gè)位移函數(shù)u（羽y）,v（羽y）,田羽y）或ur（r,6）,%（r,0）為求一些特殊函數(shù)，如調(diào)和函數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。（2）變求多個(gè)函數(shù)為求單個(gè)函數(shù)（特殊函數(shù)）。適用性：Love位移函數(shù)法適用于求解軸對(duì)稱的空間問(wèn)題；Galerkin位移函數(shù)法適用于求解非軸對(duì)稱的空間問(wèn)題。闡述彈性力學(xué)的平面問(wèn)題的五個(gè)基本假設(shè)及其意義。課本P3面力、體力與應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定是什么，要會(huì)標(biāo)明單元體指定面上的應(yīng)力、面力及

體力。參照課本P5內(nèi)容和例題1、3。什么是主平面、主應(yīng)力、應(yīng)力主方向。課本P17平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題各有什么特點(diǎn)，典型工程實(shí)例有哪些？在什么條件下，平面應(yīng)力問(wèn)題的°x'° xy與平面應(yīng)變問(wèn)題的°x'