北京崇文區(qū)第二學(xué)期統(tǒng)練一(理)

7-/NUMPAGES7崇文區(qū)2003-2０04學(xué)年度第二學(xué)期統(tǒng)練（一)高三數(shù)學(xué)（理科）本試卷分第I卷（選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。共１50分?？荚嚂r間120分鐘。第I卷（選擇題共４0分）參考公式:三角函數(shù)的積化和差公式選擇題：本大題共8小題;每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。(１)函數(shù)y=sin（x+）是偶函數(shù)，則的一個值是(）（A）（B）（C）(D)２（2）平面內(nèi)有一固定線路AB，|ＡB|＝4，動點Ｐ滿足|PA｜－|ＰB|＝3，O為AB中點，則｜OP|的最小值為（)（A）3(Ｂ）2（C）（Ｄ）1（3）下列不等式中成立的是（)(A)ｓin（）＞sin(）(B)cos（)＞cos（）（C）tg(）＞ｔg(）(D)ｃtｇ（）＞cｔｇ（)（4)直線ｌ１與ｌ2互相平行的一個充分條件是（）(Ａ）l１，l2都平行于同一平面（B)l1，l２與同一平面所成的角相等(C)ｌ1平行ｌ２所在的平面（D）l1，l2都垂直于同一平面（５）極坐標(biāo)方程的圖形是（）（6）6本不同的圖書全部分給2個學(xué)生，每個學(xué)生最多４本，則不同的分法種數(shù)為(）（A）３5(B）50（C)70（D）100（7)無窮等比數(shù)列｛ａn}的首項ａ１=3，前n項和為Ｓｎ且，則等于（)(Ａ)２（B)-2（C）6(Ｄ)－6（８）設(shè)函數(shù)y=f(x）的圖象與函數(shù)y＝２x－１的圖象關(guān)于直線ｙ=x對稱，則函數(shù)f（x２-x—3）的單調(diào)遞減區(qū)間為()（A）（）（B）（－∞，](C）（2，+∞）（Ｄ)［，+∞第II卷(非選擇題共1１0分）二、填空題：本大題共6小題,每小題5分,共30分。把答案填在題中橫線上。(9)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的平方是_______＿_(dá)＿.（10）已知兩點Ｐ１(－1，2）、P2（2,-3）,點P（x,1)分所成的比為＝__＿_(dá)_＿；x＝___＿_(dá)_＿.（１1）已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t（0≤t≤24，單位：小時）的函數(shù)，記作y=ｆ(t)。下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù):t(時）0369121５182１24y（米)1．51。00。5１。０１.510．50。９９１.5經(jīng)長期觀測，y=ｆ（t）的曲線可近似地看成是函數(shù)ｙ=Acoswt+b,根據(jù)以上數(shù)據(jù)，函數(shù)的解析式為＿_(dá)_______________＿_(dá)（１2）設(shè)全集為R，若集合A=｛x｜x2－３x+2＜０，集合B＝｛ｘ|logx+log(x+１）＜－１,則是=_＿＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)___；∪＿_(dá)____＿_(dá)____。(13）已知二次函數(shù)f（x)＝x２—3x+p—１，若在區(qū)間［0,１］內(nèi)至少存在一個實數(shù)ｃ，使ｆ（c)>0，則實數(shù)P的取值范圍是___＿_(dá)__＿＿_(dá)_＿_(dá)．（14）正四棱錐的全面積為2,當(dāng)正四棱錐的高為h時，底面邊長a＝＿_(dá)___;體積Ｖ的最大值為＿_(dá)＿＿_(dá)_____.三、解答題:本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（１5）(本小題滿分１2分）在△AＢC中，角A、B、C的對邊分別為ａ、ｂ、c，且滿足4ｓin２（Ⅰ）求角Ｂ的度數(shù)；（Ⅱ)如果b=,ａ＋c=３且ａ＞c，求a、c的值．（16）（本小題滿分１5分）如圖,已知正四棱柱ＡBＣD—A1B1C１Ｄ1的底面邊長為3,側(cè)棱長為4，連結(jié)A１Ｂ,過A作ＡF⊥A1B垂足為F，且ＡF的延長線交B1B于E（Ⅰ)求證：Ｄ1B⊥平面AＥC;(Ⅱ）求三棱錐Ｂ—ＡＥＣ的體積；（Ⅲ）求二面角B-AE—Ｃ的大?。?17）（本小題滿分12分）某地區(qū)預(yù)計從2005年初的前ｎ個月內(nèi),對某種商品的需求總量f(n）(萬件)與月份n的近似關(guān)系為ｆ（n）＝n(n+１)（35—2n)（n∈Ｎ，n≤1２）．（Ⅰ)求２005年第n個月的需求量g（n)（萬件)與月份ｎ的函數(shù)關(guān)系式,并求出哪個月份的需求量超過1.4萬件。（Ⅱ)如果將該商品每月都投放市場P萬件，要保持每月都滿足供應(yīng)，則P至少為多少萬件?（１8)（本小題滿分13分)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,首項a１＝2且前n項和為Ｓn.（Ⅰ）當(dāng)S9=36時，在數(shù)列｛aｎ}中找一項am(m∈Ｎ），使得a3,a9，am成為等比數(shù)列,求ｍ的值。(Ⅱ）當(dāng)a3=６時,若自然數(shù)n1,n2，…,nk,…滿足3〈n1＜ｎ2＜…<ｎk<…并且a1，ａ3,an，aｎ，…，an，…是等比數(shù)列,求nk的值。（19）（本小題滿分13分）設(shè)不等邊三角形ABC的外心與重心分別為Ｍ、G，若Ａ（-１，0），Ｂ（1，0)且ＭＧ∥AB.(Ⅰ）求三角形ＡBC頂點Ｃ的軌跡方程；（Ⅱ)設(shè)頂點C的軌跡為D，已知直線l過點(0，1）并且與曲線D交于Ｐ、N兩點，若O為坐標(biāo)原點，滿足OＰ⊥ON，求直線ｌ的方程.(20)本小題滿分15分已知函數(shù)f（x）＝(其中x≥1且x≠2）。（Ⅰ）求函數(shù)f(x）的反函數(shù)f；（Ⅱ）設(shè)g（ｘ)=，求函數(shù)g(x)最小值及相應(yīng)的ｘ值；（Ⅲ）若不等式(1－）·f〉m（ｍ—）對于區(qū)間〔〕上的每一個x值都成立，求實數(shù)m的取值范圍.數(shù)學(xué)（理科)參考答案一、選擇題（1)B(2）C(3）D(4)D（５)C(6）B(7）A（8）A二、填空題（9）（1０）（1１）y=（１２）｛x｜ｘ≤1}；｛x|x≤1或x≥2}(13）(1，＋∞）（１4）三、解答題(1５)解（Ⅰ）在△ＡBC中，A+Ｂ+C=１80°，由4sin2得4·(3分）所以，４ｃos２B—4cosB+１=0,于是，coｓB=，B=６０°.（６分)（Ⅱ)根據(jù)余弦定理有ｂ2＝ａ2+c2－2accosB，又b＝，a＋c=3.所以，3=（ａ＋c）2－2ac－２accosB得ac=2.（１0分)又解得a=2，c=1.(1２分)（16）證（Ⅰ）∵ＡBＣＤ.??！?B1Ｃ１Ｄ１∴D1D⊥ABCD.連AC，又底面ABCD是正方形，∴ＡC⊥BD,由三垂線定理知D1B⊥AC．同理，D１Ｂ⊥AE，AＥ∩AC=Ａ，∴D1B⊥平面AＥC.（５分)解(Ⅱ）VＢ－AEC=VE－ABＣ．∵EB⊥平面AＢＣ,∴EB的長為E點到平面ABＣ的距離.∵Ｒt△AＢE～Ｒｔ△A1AＢ，∴ＥＢ＝∴VＢ－ＡＥＣ=VE-ABC＝S△ABC·EB=××3×3×=（１0分)解（Ⅲ）連CF,∵ＣB⊥平面A1B1BＡ,又BＦ⊥AE,由三垂線定理知，ＣF⊥AE.于是，∠ＢFC為二面角B—AＥ—C的平面角，在Ｒt△AＢE中，BF＝，在Ｒｔ△CBF中，tg∠BFＣ=，∴∠ＢFC＝arｃtg.即二面角B—AＥ-Ｃ的大小為arｃtｇ．（15分)（1７）解（Ⅰ)由題意知，g（1)=f（1）=，當(dāng)n≥2時，g（n）＝f(n）－ｆ（ｎ—１）＝n（ｎ+1）（3５－2n）－（ｎ－1）n〔3５-２（ｎ－1）〕=ｎ〔（n+1）(35—2n）—（n-１）(37—２n)〕＝n（12-n)．又∴g（n）=(n∈N,n≤1２)．(５分）由n（12－ｎ）＞1。４，得n2－１2n＋3５<0，∴5<n〈7，又n∈N,∴n＝6,即6月份的需求量超過1.4萬件.（7分)(Ⅱ）要保持每個月都滿足供應(yīng)，則每月投放市場的商品數(shù)P(萬件）應(yīng)滿足Pｎ≥ｆ（n）.即Pn≥ｎ（n+1)（35-２ｎ).∴P≥(n+1)(３５－2n）=－，∵n∈N，當(dāng)n=8時，（n+1）(35—２ｎ)的最大值為１。1４萬件．即Ｐ至少為1.14萬件。(12分）（18)解(Ⅰ）∵數(shù)列｛ａｎ}的公差d≠0,a１=2，S９=３6，∴３6=9×2+×９×８d，∴d=,∴ａ3=３,a9=６。（3分）由ａ3，ａ9,am成等比數(shù)列，則ａ,得am＝１2，又１2=２+(m-1)×，∴m=２１．（７分）（Ⅱ）∵｛an}是等差數(shù)列，a1=2，a3=6，∴d=２．∴an＝2n．又a1，a３，成等比數(shù)列，∴公比ｑ＝３,∴=a１·qk+1=2·3ｋ+1，又是等差數(shù)列中的項，∴=2ｎｋ，∴2ｎk=2·3k+１,∴ｎk=3k+1（k∈N）。（13分)(19)解（Ⅰ）設(shè)C(x，ｙ）（xy≠０)?！進(jìn)G∥ＡB，可設(shè)G（a、b），則M（0，ｂ).∴x=3a，ｙ＝3b.∵M(jìn)是不等邊三角形AＢC的外心，∴｜MA|=|MC|，即②由①②得x２+,∴三角形頂點Ｃ的軌跡方程為x２＋(xｙ≠0)。（５分）（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為ｙ=kx+1，又設(shè)P（ｘ1，y１）,Ｎ（ｘ2，y2)．由消y，得（3+k2）ｘ２+２kx—2＝0，∵直線l與曲線D交于P、Ｎ兩點，∴b2—4ａｃ=4k2+8（3+k2）＞又∵OP⊥ON,∴ｘ1x2＋y1y2=0，∴x１x２+(kｘ1+1）(kx２＋1）＝0，∴(1+k２）ｘ1x2+k（x１+x2）+1=０,∴(1＋k2)（）+k（）＋1=0．∴ｋ=∴直線l的方程為y=x+1.(1３分）(2０)解(Ⅰ）f（x)＝(x≥１且x≠2）．∵0≤<1且≠，∴函數(shù)f(x）＝的值域為〔０，∪(，1）。由f(x)=，得,因此，函數(shù)y=f（ｘ）的反函數(shù)