數(shù)學(xué)史論文《函數(shù)概念的發(fā)展》

數(shù)學(xué)史論文《函數(shù)概念的發(fā)展》*********大學(xué)*********專業(yè)《數(shù)學(xué)史》論文函數(shù)概念的發(fā)展專業(yè)：*********班級(jí)：*********老師：*********函數(shù)概念的發(fā)展（*********大學(xué)*********學(xué)院*********專業(yè)***級(jí)*班）一、早期的函數(shù)概念—變量說馬克思曾認(rèn)為，函數(shù)概念是源于代數(shù)中自羅馬時(shí)代就已經(jīng)開始的不定方程的研究，那時(shí)，偉大的數(shù)學(xué)家丟番圖對(duì)不定方程的研究已有相當(dāng)程度，據(jù)此，可以認(rèn)為函數(shù)概念至少在那時(shí)已經(jīng)萌芽。實(shí)際上作為變量和函數(shù)的樸素概念，幾乎和數(shù)學(xué)源于同一時(shí)期，因?yàn)閿?shù)學(xué)家在研究物體的大小及位置關(guān)系時(shí)，自然會(huì)導(dǎo)致通常稱為函數(shù)關(guān)系的那種從屬關(guān)系。但是，真正導(dǎo)致函數(shù)概念得以迅速發(fā)展則是在16世紀(jì)以后，特別是由于微積分的建立，伴隨這一學(xué)科的產(chǎn)生、發(fā)展和完善，函數(shù)概念也經(jīng)歷了產(chǎn)生、發(fā)展和完善的演變過程。十七世紀(jì)伽俐略(g．galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學(xué)》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾(descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到需要提煉一般的函數(shù)概念。到了17世紀(jì)，牛頓在創(chuàng)立微積分的過程中一直用“流量”一詞來表示變量之間的依賴關(guān)系，并且從運(yùn)動(dòng)的角度，把曲線看成是動(dòng)點(diǎn)的軌跡。他在《求曲邊形的面積》中說：“我認(rèn)為這里的數(shù)學(xué)量，不是由小塊合成的，而是由連續(xù)運(yùn)動(dòng)描出的，線(曲線)是描畫出來的，因而它的產(chǎn)生不是由于湊零為整，而是由于點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)…”格雷果里在他的論文《論圓和雙曲線的求積》中，給出函數(shù)這一模式的素樸描述，他定義函數(shù)是從一些其它的量經(jīng)過一系列代數(shù)運(yùn)算而得到的量，或者是經(jīng)過任何其它可以想象到的運(yùn)算而得到的。據(jù)他自己解釋，這里的“可以想象到的運(yùn)算，除了加、減、乘、除和開方外，還有極限運(yùn)算。格雷果里給出的是函數(shù)的解析定義，由于此后不久就證明這一定義太狹窄，也就逐漸被人們遺忘。"函數(shù)"作為數(shù)學(xué)術(shù)語是由微積分的另一位創(chuàng)立者萊布尼茲于1673年引進(jìn)的,他用"函數(shù)"一詞表示任一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)的量,并指出:"象曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線的長(zhǎng)度、垂線的長(zhǎng)度等,所有與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的量稱為函數(shù)."除此以外,他還引進(jìn)了“常量”、“變量”和“參變量”等概念,一直沿用到現(xiàn)在,這個(gè)定義僅是在幾何范圍內(nèi)揭示某些量之問所存在的依賴關(guān)系,并無給出函數(shù)的解析定義,因此,萊布尼茲所給出的函數(shù)的定義可看成是“函數(shù)概念的幾何起源"。總之，到了17世紀(jì)末，人們還沒有從普遍意義上對(duì)函數(shù)這一概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)清楚。二、函數(shù)概念的發(fā)展階段—對(duì)應(yīng)說正如所知,微積分是一門研究變量和函數(shù)的學(xué)科。盡管牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，但由于他們對(duì)包括函數(shù)在內(nèi)的一些基本概念，特別是對(duì)微積分賴以建立的基礎(chǔ)一無窮小量的認(rèn)識(shí)含混不清，出現(xiàn)了運(yùn)算過程中的邏輯矛盾，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)發(fā)展史上所謂的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。從而促使了數(shù)學(xué)家進(jìn)一步尋找微積分可靠的基礎(chǔ)，在這艱苦的探索過程中，函數(shù)自然也就成為數(shù)學(xué)家必須研究的對(duì)象。第一個(gè)在萊布尼茲工作的基礎(chǔ)上作出函數(shù)概念推廣的是約翰·貝努里。1718年約翰·貝努利(bernoullijohann，瑞，1667－1748)才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為，其在函數(shù)概念中所說的任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子。18世紀(jì)中葉歐拉(l．euler，瑞，1707－1783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數(shù)符號(hào)。歐拉給出的定義是：一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式。他把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運(yùn)算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)），不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。除此之外，歐拉還規(guī)定一個(gè)給定的函數(shù)在它的整個(gè)“定義域”內(nèi)是由同樣一個(gè)“解析表達(dá)式"來描述的，這種觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)家拉格朗日的著作中也有所體現(xiàn),如在他的名著《解析函數(shù)論》中,他把函數(shù)定義為在其中可以按任何形式出現(xiàn)并對(duì)計(jì)算有用的表達(dá)式。他在《函數(shù)計(jì)算教程》中說：“函數(shù)代表著要得到未知量的值而對(duì)已知量要完成的那些不同運(yùn)算，未知量的值本質(zhì)上只是計(jì)算的最終結(jié)果。也就是說，函數(shù)是運(yùn)算的一個(gè)組合?！北M管后來由于歐拉、達(dá)朗貝爾和丹尼爾·貝努里在偏微分方程的研究中發(fā)現(xiàn)：整條曲線并不能用一個(gè)方程來表示，這迫使數(shù)學(xué)家修正函數(shù)的概念，但到了18世紀(jì)，甚至19世紀(jì)初，函數(shù)由一個(gè)解析式給出的觀點(diǎn)仍然占統(tǒng)治地位，并認(rèn)為連續(xù)曲線給出的連續(xù)函數(shù)一定能由一個(gè)解析表達(dá)式表示，由不連續(xù)的曲線或折線所表示的函數(shù)不可能由一個(gè)解析式表示。由于受到多項(xiàng)式函數(shù)的影響，即若對(duì)于n+1個(gè)x的值多項(xiàng)式與都相等，則這兩個(gè)多項(xiàng)式相等。人們普遍認(rèn)為，對(duì)區(qū)間上的一切值，恒有相同函數(shù)值的兩個(gè)函數(shù)是完