切平面和法線

關(guān)于切平面和法線第1頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第2頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從而曲面在點(diǎn)的切平面方程為由于的任意性，可見(jiàn)曲面上過(guò)的任一條曲線在該點(diǎn)的切線都與正交，因此這些切線應(yīng)在同一平面上，這個(gè)平面稱(chēng)為曲面在點(diǎn)的切平面，而就是切平面的法向量。在點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于參數(shù)）有第3頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三過(guò)點(diǎn)與切平面垂直的直線，稱(chēng)為曲面在點(diǎn)的法線，其方程為該法線的一組方向數(shù)為：第4頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三綜上所述若曲面方程為則該曲面在點(diǎn)的切平面方程為過(guò)點(diǎn)的法線方程為第5頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)分別為曲面在點(diǎn)的法線與軸正向之間的夾角，那末在點(diǎn)的法線方向余弦為第6頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三若曲面方程為容易把它化成剛才討論過(guò)的情形：于是曲面在（這里）點(diǎn)的切平面方程為法線方程為第7頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三若曲面方程為參數(shù)形式：如果由方程組可以確定兩個(gè)函數(shù)：于是可以將看成的函數(shù)，從而可以將問(wèn)題化為剛才已經(jīng)討論過(guò)的情形。代入方程，得因此需分別計(jì)算對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)。第8頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將分別對(duì)求導(dǎo)，注意到為的函數(shù)按隱函數(shù)求導(dǎo)法則有解方程組，得第9頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三法線方程于是曲面在點(diǎn)的切平面方程為第10頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1求球面在點(diǎn)的切平面及法線方程.解設(shè)則所以在點(diǎn)處球面的切平面方程為法線方程第11頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三曲面的夾角兩個(gè)曲面在交線上某點(diǎn)處的兩個(gè)法線的夾角稱(chēng)為這兩個(gè)曲面在該點(diǎn)的夾角。如果兩個(gè)曲面在該點(diǎn)的夾角等于90度，則稱(chēng)這兩個(gè)曲面在該點(diǎn)正交。若兩曲面在交線的每一點(diǎn)都正交，則稱(chēng)這兩曲面為正交曲面。例2證明對(duì)任意常數(shù)，球面與錐面是正交的。第12頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三即證明球面的法線方向數(shù)為錐面的法線方向數(shù)為在兩曲面交線上的任一點(diǎn)處，兩法向量的內(nèi)積因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面與錐面正交。第13頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解切平面方程為法線方程為第14頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解令切平面方程法線方程第15頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解設(shè)為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得第16頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三因?yàn)槭乔嫔系那悬c(diǎn)，所求切點(diǎn)為滿足方程切平面方程第17頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第18頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第19頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第20頁(yè)，共23頁(yè)