函數(shù)的卷積及其公式的應(yīng)用

-.z.函數(shù)卷積及其應(yīng)用摘要卷積是一個很重要的數(shù)學概念．它描述了對兩個〔或多個〕函數(shù)之積進展變換的運算法則，是頻率分析的最有效的工具之一。本文通過對卷積的概念，性質(zhì)，具體應(yīng)用以及對卷積公式，卷積定理等方面進展較為全面和系統(tǒng)的論述和總結(jié)，使得對卷積的內(nèi)涵有更全面更深刻的理解和認識。關(guān)鍵詞卷積卷積公式性質(zhì)應(yīng)用1引言卷積是在信號與線性系統(tǒng)的根底上或背景中出現(xiàn)的。狄拉克為了解決一些瞬間作用的物理現(xiàn)象而提出了"沖擊函數(shù)〞這一符號，而卷積的誕生正是為了研究"沖擊函數(shù)〞效勞的；卷積是一種數(shù)學積分變換的方法，也是分析數(shù)學中一種重要的運算。卷積在物理學，統(tǒng)計學，地震預測，油田勘察等許多方面有十分重要的應(yīng)用。本文通過對卷積的概念，性質(zhì)，應(yīng)用等方面進展較為全面和系統(tǒng)的論述和總結(jié)，使得對卷積的內(nèi)涵有更全面更深刻的理解和認識。2卷積的定義和性質(zhì)2.1卷積的定義〔根本內(nèi)涵〕設(shè):是上的兩個可積函數(shù)，作積分:隨著*的不同取值，這個積分就定義了一個新函數(shù)，稱為函數(shù)與的卷積，記為=(或者).注(1)如果卷積的變量是序列，則卷積的結(jié)果：，其中星號*表示卷積。當時序n=0時，序列h(-i)是的時序取反的結(jié)果;時序取反使得以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180度，所以這種相乘后求和的計算法稱為卷積和，簡稱卷積.另外，是使位移的量，不同的對應(yīng)不同的卷積結(jié)果.〔2〕如果卷積的變量是函數(shù)和，則卷積的計算變?yōu)椋海渲惺欠e分變量，積分也是求和，是使函數(shù)位移的量，星號*表示卷積.〔3〕由卷積得到的函數(shù)一般要比都光滑.特別當為具有緊致集的光滑函數(shù)，為局部可積時，它們的卷積也是光滑函數(shù).2.2卷積的性質(zhì)性質(zhì)〔交換律〕設(shè),是上的兩個可積函數(shù)，則.證令，則，所以===性質(zhì)〔分配律〕設(shè)是上的三個可積函數(shù)，則.證根據(jù)卷積定義==+性質(zhì)〔結(jié)合律〕設(shè)是上的三個可積函數(shù)，則.證令，，則====令，上式===性質(zhì).證明=.性質(zhì)〔微分性〕設(shè)是上的兩個可積函數(shù)，則.證明即意義卷積后求導和先對其任一求導再卷積的結(jié)果一樣.性質(zhì)〔積分性〕設(shè)，則.意義卷積后積分和先對其任一積分再卷積的結(jié)果一樣.推廣.性質(zhì)〔微積分等效性〕設(shè),是上的兩個可積函數(shù)，則.例2.1設(shè)，，求.解由卷積定義知==例2.2設(shè)函數(shù)試計算其卷積.解由卷積定義知所以=顯然這個積分值與函數(shù)，所取非零值有關(guān)，即與參數(shù)的取值有關(guān).當時，因，所以，此時=當時，只有時，有，此時=當時，因為，所以，此時=綜上所述，有=3.卷積定理3.1時域卷積定理設(shè)兩函數(shù)，的傅里葉變換分別為：則兩函數(shù)卷積的傅里葉變換為：上式稱為時域卷積定理，它說明兩信號在時域的卷積積分對應(yīng)于在頻域中該兩信號的傅立葉變換的乘積.證明====3.2頻域卷積定理設(shè)兩函數(shù)，的傅里葉變換分別為：則兩函數(shù)卷積的傅里葉變換為：上式稱為頻域卷積定理，它說明兩信號在時域的乘積對應(yīng)于這兩個函數(shù)傅氏變換的卷積除以.證明于是例3.1求積分方程的解，其中為函數(shù)，且的Fourier變換都存在.解假設(shè)由卷積定義知現(xiàn)對積分方程兩端取Fourier變換可得解得所以原方程的解為例3.2求常系數(shù)非齊次線性微分方程的解，其中為函數(shù).解設(shè)現(xiàn)對原方程兩端取Fourier變換，并根據(jù)Fourier變換的性質(zhì)可得解得所以原方程的解由卷積定理得=.求微分積分方程的解.其中均為常數(shù).解設(shè)現(xiàn)對原方程兩端取Fourier變換，并根據(jù)Fourier變換的性質(zhì)可得解得，所以原方程的解4.卷積公式及其應(yīng)用與推廣4.1卷積公式設(shè)和的聯(lián)合密度函數(shù)為，則得概率密度為證明的分布函數(shù)是：其中=于是=從而由和的對稱性知。特別地，當和獨立時，設(shè)的邊緣密度分別為則上述兩個式子化為………………(1)…(2)(1),(2)式稱為卷積公式.注雖然卷積公式針對的是兩個獨立隨機變量直接求和的情形，但它一樣可以巧妙地用于計算兩個獨立隨機變量線性和的概率密度函數(shù).4.2卷積公式在概率論方面的應(yīng)用例設(shè)二維連隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：，令，求.解：經(jīng)過計算知，顯然，對任意的，即獨立.由卷積公式(2)，即注：雖然不是求的分布，而要求的分布，用表示的取值，將看作一個整體，根據(jù)，直接用來表示的取值，從套用卷積公式(2)一樣得到了以上正確答案.例假設(shè)是兩個相互獨立的隨機變量且均服從正態(tài)分布，求得概率密度.解由卷積公式===令，得到于是服從正態(tài)分布.4.3卷積公式的推廣三重卷積公式及其應(yīng)用定理.1假設(shè)三個隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則的概率密度函數(shù)為.證明隨機變量的分布函數(shù)及其概率密度函數(shù)分別為，其中由于，因此的概率密度函數(shù)為.推論.1當隨機變量是相互獨立時，有=其中分別是*,Y,Z的概率密度函數(shù).例.1設(shè)*商品一周需要量是一個隨機變量，其概率密度為，并設(shè)各周的需求量是相互獨立的，求三周的需求量的概率密度.解設(shè)第周的需求量為〔=1,2,3〕，則三周的需求量，由三重卷積公式知：===綜上,我們得到了三個隨機變量和的概率密度函數(shù)的計算公式,此公式應(yīng)用起來比擬簡便,有一定的實際利用價值.多重卷積公式及其應(yīng)用.1〔重卷積公式〕設(shè)，,…,是個獨立的隨機變量，它們的概率密度分別為〔…n〕,則的概率密度為=………證明用數(shù)學歸納法當時，由卷積公