中考考試數(shù)學中地最值問題解法

標準實用中數(shù)幾最問解在平面幾何的動態(tài)問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有兩點間線段最短的公含用三角形的三邊關系）求最值）用垂線段最短的質求最值）應用軸對稱的性質求最值）用二次函數(shù)最值；（）用其它知識求最值。下面通過近年全國各地中考的實例探討其解法。應兩間段短公（應三形三關）最典例：例1.如，∠°矩形ABCD的點、分別在邊OM，上當B在ON上運時A隨之在邊OM上運形的狀持不變中BC=1動過程中D到的最大距離】A．

B．

C．

1455

5D．

52例在銳三角形ABC中的最小值是▲。

ABC=45°平分ABC、別是BD上動點CM+MN例3.如圖圓柱底面半徑為

2cm高為

，點AB分別是圓柱兩底面圓上的點，且B同一母線上，用一棉線從A順圓柱側面繞3圈，求棉線最短為▲

。文案大全

標準實用練題如，長方體的底面邊長分別為cm和4cm，為5.若一只螞蟻從點開始經過4個面行一圈到達Q點，螞蟻爬行的最短路徑長為【】A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm圖圓柱的底面周長為6cmAC是面圓的直徑BC=6cm點P是線BC上一點且PC=只螞蟻從A點出沿著圓柱體的表面爬行到點最短距離是【】

23

BC一A、

(4

6

)

㎝B、5cmC、35D、7cm圖所示，在邊長為2的三角形中、FG分別ABAC、BC的中點，點為段EF上個動點，連接、，△BPG的長的最小值是_▲．二應垂段短性求值典例：例1.（山東蕪4分在△中AB＝AC＝，＝．若點P在AC上移動，則BP的最值是▲．文案大全

標準實用例如圖菱形ABCD中AB=2，A=120°，點PK分為線段BCCDBD上的意點，則PK+QK的最小值為【】A．B．3

C．2．3＋例已知形，AD∥，⊥，＝，AB＝2，BC＝，問題1：如圖1，為AB邊的點，以PC為邊平行四邊形PCQD，請問對角線PQDC的長否相等，為什么？問題2：如圖2，若P為邊上點，以PDPC為邊平行四邊形PCQD，問對角線PQ的長否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．問題3：若P為AB邊任意一，延長PD到E，使DEPD再以PE，為作平行四邊形，請?zhí)骄繉蔷€PQ的是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．問題4：如圖3，若P為DC邊上意一點，延長PA，使AE＝nPA(n為數(shù)，、為邊平行四邊形PBQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．例如，點A的標（-1，B直線x運動，當線段最短時，點B的標【】文案大全

標準實用A.（0，）（

1，22

22）（，）（22

22，）22例如圖在ABC中，∠°，，是AB的點，點E、分別AC、BC邊運動（點E不與點A、重合保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運動變化的過程中，有下列結論：①△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CEDF不可能為正方形；③四邊形CEDF的面積隨點E位的改變而發(fā)生變化；④點C到線EF的最距離為其中正確結論的個數(shù)是【】

．A．個B．個C．個．4個例如圖長方形紙片ABCD中，AB=8cm，，按下列步驟進行裁剪和拼圖：第一步圖線AD上意取一點EEBEC剪一個三角形紙片EBC(余下部分不再使)；第二步：如圖②，沿三角形EBC中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上意取一點M，段BC上任意取一點N，沿MN將形紙片GBCH剪兩部分；第三步：如圖③，將MN左紙繞按順時針方向旋轉180°，使線段GB與重合將MN右側紙片繞H點逆時針方向旋轉180°，使線段HC與重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相的四邊文案大全

標準實用形紙片注剪拼圖過程均縫且不重)則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為▲cm最大值為▲cm．例如，中°ABC=45AB=2，是段BC上的個動點，以AD為徑畫⊙分交AB，于E，，接，則線段EF長度最小值為▲．例如所示在形ABCD中AB=4BAD=120°eq\o\ac(△,，)AEF為三角形點EF分在形的邊BCCD上滑動，且E、不B．．重合（）明不論E、F在．上何滑動，總有BE=CF（）點E、F在BC．上動時，分別探討四邊形AECF和的積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最?。┲担陌复笕?/p>

標準實用例在銳△中，AB=4，BC=5∠ACB=45，將△ABC繞按逆針方向旋轉，得到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC．（）圖1，當點C在段CA的延長線上時，求CCA度數(shù)；（）圖2，連接AA，．△的積為4，求△CBC面積；（）圖3，點E為線AB中，點P是段AC上的點，eq\o\ac(△,在)ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的應點是點P，線段EP長的最大值與最小值．例如圖，在中，點DE分別邊BC、上，接AD、，且1=∠B=C．（）題設條件，請寫出三個正確結論不再添加其他字母和輔助線，找結論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結論中，不必證明）答：結論一：；論二：；論三：．（）∠°BC=2，當點D在BC上動時（點D與BC重合①求CE的最值；②若△是等腰三角形，求此BD的．（注意：在第（）的求解過程中，若有運用1）中得出的結論，須加以證明）練題如平分MONPAON于點Q是射線OM上一個動點若PA=2則的最小值】A、1B、2C、3D4文案大全

標準實用如圖等腰梯形ABCD，∥，AD=AB=CD=2，∠°，BC的中．（）證：△是邊三角；（）△MDC繞點M旋，當MD即MD）與AB交于一點，MC（即MC′）同時與AD交于一，點E，F(xiàn)和點A構成AEF．探△AEF的長是否存在最小值．如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AEF周長最小值．圖，O的半為2，點O到線l的離為，點P是直線上的個動點，PQ切⊙O于Q，則PQ的小為【】A．錯！找引源．錯誤未找引源3D．圖，在四邊形ABCD中，∠°，AD=4，連接BD，⊥CD，ADB=∠．若P是BC邊上動點，則DP長的最小值為▲．圖，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠°，，AC：BC=43，點P從A出沿AB方向向點B運，速度為1cm/s，時點Q從B出沿B→C→A方向向點運動速度為2cm/s，當一個運動點到達點時，另一個運動點也隨之停止運動．（）AC、的長（）點P的動時間為x（PBQ面積為（PBQ存在時，求y與函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取范圍；（）點Q在CA上動，使PQAB時，點B、、為定的角形與是相似，請說理由；文案大全

標準實用（）x=5秒時在直線PQ上否存在一點M使△BCM得周長最小，若存在，求出最小周長若不存在，請說明理由．三應軸稱性求值典例：例如，圓柱形玻璃杯高為12cm底面周長為18cm，在杯內離杯底4cm的C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻好在杯外壁，離杯上沿4cm蜂蜜相對的點A處則螞蟻到達蜜的最短距離為▲cm．例2.如圖，四邊形ABCD中BAD120，∠D＝90°，在、上別找一點、，AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的數(shù)為【】A．130°B．°C．110D100例點A、Ｂ均在由面為1相同小矩形組成的網格的格點上，建立平面直角坐標系如圖所示．若P是軸使得則＝▲．

PB

的值最大的點，Q是y軸上使得十QB的最小的點，文案大全

22222標準實用22222例4.如圖形中是BC的點是角線AC上動點PE+PB的最值為▲．例如圖MN為⊙的直徑，A、是O上兩，作ACMN于點，過BD⊥于點D，P為DC上的任意一點，若＝，＝，BD＝，則PAPB的最小值是▲。例閱材料：例：說明代數(shù)式

4幾何意義，并求它的最小值．解：

x(x0)(x，圖，建立平面直角坐標系，點P（，0）是x軸一點，則(x0)

可以看成點與點（，1）距離，

2

2

可以看成點P與B（，）距離，所以原代數(shù)式值可以看成線段APB長之和，它的最小值就是PA＋PB的最值．設點關x軸對稱點為A′，則′因此，求PAPB的小值，只需求′PB的小值，而點A′間直線段距離最短以PA＋PB的最小值為線段A′B的度此造直角三角形A′CB，因為A′，CB=3，所以AB=32，原式的最小值為2。文案大全

2222標準實用2222根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：（）數(shù)式(x的值可以看成平面直角標系中點（0）與點（1B的距離之和寫點B的標（）數(shù)式

x49x12x的最小值為．例7.在習軸對稱的候，老師讓同學們思考課本中的探究題。如圖（1在燃氣管道上修一個泵站，分別向AB兩鎮(zhèn)氣．泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？律？

你可以在l上找?guī)讉€點試一試，發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在

l

上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法．他把管道看一條直線（圖2，問題就轉化為，要在直線l上一點P使AP與BP的和最?。淖龇ㄊ沁@樣的：①作點B關直l的稱點B．②連接′直線l于P，則為所．請你參考小華的做法解決下列問題．如圖在中，點E別是AB、AC邊中點，BC=6BC邊的高為4，請你在BC邊上定一點P，使得周長最?。ǎ﹫D中作出點P（保留作痕跡，不寫作法（）直接寫出△PDE周的小值：文案大全

標準實用．練題如，已知點，、B(3，2)且上一動點，eq\o\ac(△,則)ABP的長的最小值為▲．如，在平面直角坐標系中，有A(12)B(33)兩，現(xiàn)另取一點C(a1)，＝▲＋BC的最?。?/p>

時AC冬今春，濟寧市遭遇了200年遇的大，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側張村A和李村B送。經實地勘查后，工程人員設計圖紙時，以河道上的大橋O為標原點，以河道所在的直線為x軸建直角坐標系（如圖村的坐標分別為A（，（，(1)若節(jié)約經費考慮，水泵站建在距離大橋遠的地方可使所用輸水管道最短？(2)水站建在距離大橋O多遠地方，可使它到張村、李村的距離相等？文案大全

標準實用圖，正方形ABCD的長是4，∠DAC的分線交DC于E，若點、別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的小值【】A、2B、C、

D、

圖，在矩形中AB＝，BC＝，是BC點，點是邊CD上的任意一點，當△的長最小，則的長【】A．1B．2C3D．4圖，在菱形中對角線AC=6，BD=8，、F別是邊AB、BC的中點，點P在AC上運，在運過程中，存在PE+PF的最小值，則這個最小值是【】A．3．．5．文案大全

標準實用圖，在梯形ABCD中AB∥，BAD=90°AB=6，對角線AC平分BAD，點E在AB上且AE=2（AE＜AD是AC上動點，則PE+PB的最小值是▲．四應二函求值典例：例正方ABCD的長為1cm分別是BC上兩個動點始終保持AMMNBM=▲cm時，四邊形ABCN的積大，最大面積為▲cm例如圖線段AB的為2，為AB上一個動點分別以、BC為斜在AB的同側作兩個等腰直角三角形△和△BCE，那么DE長最小值是▲．例在矩ABCD中AD=3,P是BC上的任意（與C不合作AP⊥PE垂為P，PE交CD于E.(1)連接，△APE與△ADE全時，求BP的；(2)若設BP為x，CE為y，試確與的函關系式。當x取何值時，y的值大？最大值是多？(3)若PE∥BD，試求出此時BP的.文案大全

標準實用例如圖在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，為AD的點，CEAB于E設∠α（°α＜90°（）α=60°，求CE的長；（）60°α90°時，①是否存在正整數(shù)k，使得∠∠AEF？若存在，求出k的；若不存在，請說明理由．②連接，CE﹣

取最大值時，求tan∠DCF的．例5.等ABC的邊長為2，是BC邊上任點（與B、C重合接AP，以AP為向兩側作等邊△APD和邊APE，分別與邊ABAC交于M、（如圖1（）證AM=AN；（）BP=x。①若，，x的；②記四邊形ADPE與ABC重部分的面積為，求與間的函數(shù)關系式以及S的最值；③連接DE，別與邊AB、AC交于點G、（如圖2取何時，∠？判斷此時以DGGH、HE這三條線段為邊構成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由。例如圖已知半徑為2的O與直相切點，點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作線l的線垂足為PC與⊙于點，連接PAPB，的為錯誤未到引源.⑴當x=錯誤未到用。時求弦PA、的長；⑵當x為值時，PD錯誤未到引源的值最大？最大值是多少文案大全

標準實用BPD

l例如圖示，現(xiàn)有一張邊長為4的方形紙片，點正方形AD邊上一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在，點C在，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH（）證：∠APB=∠BPH；（）點P在AD上移動時，的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結論；（）AP為x，四邊形EFGP的積為，求出與函數(shù)關系式，試問S是存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．例如圖正三角形ABC的長為

3

．（）圖①，正方形EFPN的點EF邊AB，頂點在邊AC上在正三角形ABC及內，以為位似中心，作正方形EFPN的似正方形，且使正方形的積最大（不要求寫作（）（）作出的正方形的長；（）圖②，在正三角形A中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DEF在AB上點、N分別在邊CB、CA上求這兩個正方形積和的最大值及最小值，并說明理由．文案大全

標準實用例如，在△ABC中C=90米AC=12米M點在段CA上從C向A運，速度為1米/秒；同時N點在段AB上，A向運動，速度為/．運動時間為t秒（）t為值時，AMN=∠？（）t為值時，AMN的積最大？并求出這個最大值．例如圖AB兩點坐分別是8P由B出發(fā)沿BA方向點A作速直線運動，速度為每秒3個位長度，點Q由發(fā)沿AOO為坐原點）方向向點O作速直線運動，速為每秒2個單位長度，連接PQ，設運動時間為（0＜＜

）秒．解答如下問題：（）t為值時，PQ∥？（）△的面積為S，①求S與t之間函數(shù)關系式，并求出S的最大值；②若我們規(guī)定：點PQ的坐標別為xyy新坐標x﹣，﹣y）為“向PQ的坐標．當S取最值時，求“向量PQ的坐標．。例在eq\o\ac(△,Rt)POQ中，OP=OQ=4,M是中點把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為轉中心，旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊與的兩直角邊分別交于點AB，文案大全

標準實用(1)求證：MA=MB(2)連接，究：在旋轉三角的過程中，AOB的長是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。請說明理由。例（2012江蘇南8分某玩具由一個圓形區(qū)域和一個扇形區(qū)域組成圖

1

和扇形

CD2

中，1

與

2

、

2

分別相切于A、B，

COD602

，、事直線

O1

2

與

1

、扇形

2

的兩個交點，EF=24cm，

1

的半徑為xcm，①用x的數(shù)式表示扇形CD的徑；2②若

1

和扇形

CD2

兩個區(qū)域的制作成本分別為0.45元

/cm

2

和0.06元

/cm

2

當

1

的半徑為多少時，該玩具成本最??？

O

A

O

D

B例（湖南底分如，在△ABC中AB=AC∠B=30，BC=8，在BC上，在線段DC上，DE=4，△是邊三角形，邊DF交邊AB于點，邊EF交邊AC于N．（）證：△BMD∽△CNE；（）BD為何時，以M為心，以MF半徑的圓與相切？（）BD=x，邊形ANEDM的面積為y求與之間的函數(shù)解析式（要求寫出自變量x的值范圍當x為值時，y有大值？并求y的大值．文案大全

標準實用練題（2011寧夏治區(qū)10分）等腰△ABC中，．點MN分在兩腰AC上（不與A、B重，不A、C重合MNBC．將△沿MN所在的直線折疊，使點A的對應點為P（）MN為何時，點P恰落在BC上（）MN=x，△與腰△ABC重部分的面積為，試寫出y與x的函數(shù)關系式．當x為何時y的值最大，最大值是多少？（2011建巖14分）圖，在直角梯形ABCD中∠D=∠BCD=90°∠B=60°，AB=6，AD=9，點E是CD上的個動點E不D重過點作EFAC交于點當E運到時EF與AC重把△DEF沿EF對，點D的對點是點G，設DE=x，△GEF與形重部分的面積為y。(1)求CD的及1的度數(shù)；(2)若恰好BC上，求此x的；(3)求y與之的函數(shù)關系式。并求x為何值時y值最大?最大值是多少（浙杭12分）形既關于點O中心對稱，又關于直線ACBD對稱AC=10，BD=6，已知點E，M是段AB上的點（不與端點重合到EFMN距離分別為，，OEF與△1組成的圖形稱為蝶形。（）蝶形面積S的最值；文案大全

．．．．．．標準實．．．．．．（）以EH為直徑的圓與以MQ為徑的圓重合時，求與h滿的關系式，并求h的值范2圍。（2011江蘇遷12分）圖，在邊長為2的方形ABCD中，P為的中Q為邊CD上一動點，設DQ＝（≤≤段的直平分線分別交邊ADBC于點M、，過Q作QE⊥于點E，M作MF⊥BC于F．（）t≠1時求證eq\o\ac(△,：)≌NFM（）次連接P、、、，四邊形PMQN的面積為，求出S與變量t之的函數(shù)關系，并求最小值．（江淮12分）圖，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠＝°，＝BC，點P在上，AP＝。點E、同時從點P出，分別PA、PB以秒個單長度的速度向點A、勻速動，點E到達點A后立即以原速度沿AB向B運，點F運動到點停止，點E也隨停.在點E、運過中，以EF為邊正方形EFGH，使它△在線段AB的同側，設、運的時間為

秒（

＞方形與重部分面為S.（）t＝時，方形EFGH的邊是；當t＝時，方形EFGH的邊長是；（）當0＜

≤時求S與

的函數(shù)關系式；（）直答出：在整個運動過，當t為值時，S大？最大面積是多少？文案大全

標準實用6.（2011內蒙巴淖、峰14分）圖（圖1圖2邊形ABCD是邊長為4的方形，點E在段BC上，AEF=90°，且EF交正形外角平分線CP于F交BC的延長線于點N，⊥．（）點E是BC的點（如圖EF相等？（）E在BC間動時（如圖BE=x△的面積為．①求y與x的函關系式；②當x取何時y有最值，并求出這個最大值．A

P

A

PFBC圖1

BED圖2

N五應其知求值典例：1.山濱3分如圖．eq\o\ac(△,在)中，∠＝90°，∠＝°AC＝4cm，△繞頂點順針方向旋轉eq\o\ac(△,至)A'B'C的位，且A、、三在一條直線上，則點A所過的最短路線的長為【】A、4cm錯誤未到用。B、8cm8cm、D、cm錯！找引源

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錯！找引源例（2012廣西賓3分如圖，已知線段OA交⊙點B且OB=AB點P是⊙上的一個動點，那么∠OAP的大值是【】A．30°B．45°C．°90°文案大全

標準實用例（貴貴3分如圖，中，C=90°，AC=3，B=30°點P是BC邊的動點，則AP長不可能是【】A、B、、5.8D、7例（河省12分）圖1，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=．探究：如圖1，⊥于點H，AH=，AC=，△的面積S=；拓展如2點D在AC（與點AC重合過AC作直線的垂垂為EF設BD=xAE=m，（點D與A重時，我們認為=0）（）含x，m，的代數(shù)式表及；eq\o\ac(△,S)（）（m+n）x的數(shù)關系，并求m+n）的最大值和最小值；（）給定的一個x值有時只能確定唯一的點，指出這樣的x的取范圍．發(fā)現(xiàn)：請你確定一條直線，使得A、C三到這條直線的距離之和最?。ú槐貙懗鲞^程出這個最小值．例（河省10分）圖1圖中，兩平行線AB、間的離均為6點為AB上定點．思考如圖1，圓心為0的圓形紙片在ABCD之間包括ABCD直MN在上MN=8，P為圓上一點，設∠MOP=α當α=▲度，點P到CD的離最小，最小值為▲．文案大全

標準實用探究一在圖1的礎上，以點M為旋中心，在CD之間時針旋轉該半圓形紙片，直到不能再轉動止，如圖2，得到最大旋轉角∠▲度，此時點到CD的距離是▲．探究二將如圖中扇形紙片NOP按下對α的要求剪掉，使扇形紙片繞在AB，CD之順時針旋轉．（）圖，當=60°，求在旋轉過程中，P到CD的小距離，并請指出旋轉角BMO的大值；（）圖4，在扇形紙片MOP旋過程中，要保證點落在直線CD上請確定α的取值范圍（參考數(shù)椐：sin49°錯誤未到用，cos41°=錯誤未到用，tan37°錯！找引源例6.（2011四成都4分）三角形紙片ABC中，知∠ABC=90°，AB=6，BC=8過點作線平行于BC，折疊三角形紙片，使直角頂點B落在直線l的T處，痕為MN．當點T在線l上動時，折痕的端點M、也之移動．若限定端點MN分別AB、BC邊上動，則線段長的最大與最小值之和為▲（算結果不取近似值例7.（2011陜西12分）圖①，在矩形ABCD中將矩形折疊，使B落在AD（含端點）上，落點記為E，這時折痕與邊BC或邊CD含端點）交于，然后展開鋪平，則以B、、為點的三角形BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”（）“折痕三角形”的定義可知，矩形的任意一個“折痕BEF”是一個

三角形（）圖②、在矩形中AB=2BC=4，當它的“折BEF”頂點E位于AD的點，畫出這個“折痕△BEF求點F的標；（）圖③，在矩形ABCD中AB=2，BC=4，該矩形是否存在面積最大的“折痕”？若存在，說明理由，并求出此時點E的坐標？不存在，為什么？圖①

圖②

圖③

圖④例（2011浙江華麗3分）圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂文案大全

標準實用直．如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約【】A、600mB、500m、400mD300m例（湖宜10分）圖，eq\o\ac(△,Rt)ABC兩直