2015屆自動化專業(yè)學(xué)習(xí)庫

第4章網(wǎng)絡(luò)定理

4.l疊加定理和齊次性定理4.2替代定理4.3戴維南定理和諾頓定理4.4特勒根定理4.5互易定理4.6對偶電路4.l疊加定理和齊次性定理*疊加定理針對線性電路而言。*線性電路-由獨(dú)立源和線性元件組成的電路*線性電路滿足齊次性和可加性。齊次性定理和疊加定理所表達(dá)的就是線性電路的這一基本性質(zhì)。*這種基本性質(zhì)在線性電阻電路中表現(xiàn)為電路的激勵和響應(yīng)之間具有線性關(guān)系。2.可加性：多個激勵同時作用時，總響應(yīng)等于每個激勵單獨(dú)作用(其余激勵置零)時所產(chǎn)生的響應(yīng)分量的代數(shù)和。

1.齊次性：單個激勵(獨(dú)立源)作用時，響應(yīng)與激勵成正比。

線性性質(zhì):

電路響應(yīng)與激勵之間的這種線性關(guān)系稱為疊加性，它是線性電路的一種基本性質(zhì)。有激勵、、……，則響應(yīng)r(t)

為：用下面的電路說明疊加定理：圖(a)電路的回路方程：

得R1上電流

i1其中由兩項相加而成。由兩個獨(dú)立電源共同產(chǎn)生的響應(yīng)，等于每個獨(dú)立電源單獨(dú)作用所產(chǎn)生響應(yīng)之和。

疊加定理在線性電路中，任一支路電流（或電壓）等于電路中各個獨(dú)立電源單獨(dú)作用時（其它獨(dú)立源置零）在該處所產(chǎn)生的電流（或電壓）的代數(shù)和。注意：1.適用于線性網(wǎng)絡(luò)。非線性網(wǎng)絡(luò)不適用。2.某一激勵單獨(dú)作用時，其他激勵置零，即獨(dú)立電壓源短路，獨(dú)立電流源開路；電路其余結(jié)構(gòu)都不改變。3.任一激勵單獨(dú)作用時，該電源的內(nèi)阻、受控源均應(yīng)保留。6.只適用于電壓和電流，不能直接用于功率和能量的計算，因?yàn)樗鼈兪请妷夯螂娏鞯亩魏瘮?shù)。4.受控源不能單獨(dú)作用。5.疊加的結(jié)果為代數(shù)和，注意電壓或電流的參考方向。

例1已知us＝12V，is＝6A，試用疊加定理求支路電流i。解當(dāng)us單獨(dú)作用時，is因置零而被開路，如圖(b)，可得故

i'=1A

usus當(dāng)is單獨(dú)作用時，us因置零而被短路，如圖(c)，可得響應(yīng)分量

i

’’=

3A

根據(jù)疊加定理，可得us和is共同作用下的響應(yīng)為

i=i’+i’’=1+3=4A例2

No為線性無源網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)us＝1V，is＝1A時，u＝0；當(dāng)us＝10V，is＝0時，u＝1V；求:當(dāng)us＝20V，is＝10A時，u＝？解

線性網(wǎng)絡(luò)的響應(yīng)u可表示為

k1,k2為常數(shù)No+-uSiS+u-由已知條件可得：

k1

×1＋k2×1＝0

k1

×10＋k2×0＝1解方程組可得：

k1

＝0.1，

k2＝－0.1

因此,當(dāng)us＝20V，is＝10A時

u＝k1×20＋k2×10

＝1V例3

r=2，用疊加定理求i和功率p3

解：12V和6A單獨(dú)作用如圖(b)和(c)。(每個電路內(nèi)均保留受控源，但控制量分別改為分電路中的相應(yīng)量)。由圖(b)列出KVL方程求得：

由(c)列出KVL方程求得:最后得到：則：齊次性定理:

在線性電阻電路中，若電路只有一個激勵作用，則電路中的任一響應(yīng)和激勵成正比。

注意:齊次性定理與疊加定理是線性網(wǎng)絡(luò)的兩個相互獨(dú)立的定理。應(yīng)用齊次性原理求解梯形電路P78例4-4求電流I。解法：

法一：分壓分流法二：等效變換法三:齊次性原理10V222444-+IU設(shè)：I’=1AU’則：IU（單位電流法）

在具有唯一解的任意集總參數(shù)電路中，設(shè)已知某支路k的電壓uk或電流ik，且該支路k與電路中其它支路無耦合，則該支路可用一電壓為uk的獨(dú)立電壓源或電流為ik的獨(dú)立電流源替代，替代后電路仍具唯一解，且替代前后電路中各支路電壓和電流保持不變。4.2替代定理（置換定理）注意：1.適用于任意集總參數(shù)網(wǎng)絡(luò)（線性的、非線性的，時不變的、時變的）

3.“替代”與“等效變換”是不同的概念。“替代”是特定條件下支路電壓或電流已知時，用相應(yīng)元件替代支路。等效變換是兩個具有相同端口伏安特性的電路間的相互轉(zhuǎn)換，與變換以外電路無關(guān)。2.所替代的支路與其它支路無耦合

4.已知支路可推廣為已知二端網(wǎng)絡(luò)（有源、無源）。大網(wǎng)絡(luò)成小網(wǎng)絡(luò)N1N1N2N2+-u+-u+-uN1N1N2N2iii例4

無源網(wǎng)絡(luò)No的22’端開路時，11’端的輸入電阻為5Ω;如左圖11'端接1A時，22'端電壓u=1V。求右圖11'端接5Ω、10V的實(shí)際電壓源時，22'端的電壓u’=?1A11’22’+u-No5Ω11’22’+u’-No+10V-i'解：22’端開路時，11’端的輸入電阻為5Ω，因此右圖中流過實(shí)際電壓源支路的電流i'為

i'=1A實(shí)際電壓源支路用1A的電流源替代，u'不變，替代后的電路與左圖相同，故

u'=u

=1V1A11’22’+u-No5Ω11’22’+u’-No+10V-i'例5圖(a)電路中g(shù)=2S。試求電流I。

解：用分壓公式求受控源控制變量U

用gU=12A的電流源替代受控源，圖(b)不含受控電源，求得例6在圖(a)電路中,若要求。試求電阻

＋－RSUSRx1IIx0.50.50.5(a)解：由題意和替代定理，得圖(b)。Ux1I0.50.50.5－＋(b)在圖(b)電路中,應(yīng)用疊加定理：

Ux1I0.50.50.5－＋(b)電流源I單獨(dú)作用Ux’1I0.50.50.5－＋得Ux’1I0.50.50.5－＋電流源單獨(dú)作用Ux”10.50.50.5－＋得4.3戴維南定理和諾頓定理

任一線性有源二端網(wǎng)絡(luò)N，就其兩個輸出端而言總可與一個獨(dú)立電壓源和線性電阻串聯(lián)的電路等效，其中獨(dú)立電壓源的電壓等于該二端網(wǎng)絡(luò)N輸出端的開路電壓，電阻Ro等于N內(nèi)所有獨(dú)立源置零時從輸出端看入的等效電阻。1戴維南定理

端口電壓電流關(guān)聯(lián)證明如下:。端口支路用電流源i

替代,如圖(a)，根據(jù)疊加定理，電流源單獨(dú)作用產(chǎn)生u’=Roi[圖(b)]，網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部全部獨(dú)立電源共同作用產(chǎn)生u”=uoc[圖(c)]。由此得到例7

求圖(a)網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路。

解：開路電壓uoc的參考方向如圖(a)，由i=0，可得

電壓源用短路代替，電流源用開路代替，得圖(b)，求得

可畫出戴維南等效電路，如圖(c)。

例8

r=2，試求戴維南等效電路。

解：求uoc：求Ro：電壓源置零，保留受控源，圖(b)。加電流，求電壓u。由于i1=0，所以u=2i1=0。由此求得等效為一個4V電壓源，如圖(c)?？偨Y(jié):如何求二端網(wǎng)絡(luò)的入端電阻

1.串并聯(lián)

2.平衡電橋

3.Y—Δ變換

4.加壓求流

5.開路電壓/短路電流

4.、5.可用于含受控源的線性電路。2諾頓定理

任一線性有源網(wǎng)絡(luò)N，就端口而言，可以等效為一個電流源和電阻的并聯(lián)。電流源的電流等于網(wǎng)絡(luò)外部短路時的端口電流isc；電阻Ro是網(wǎng)絡(luò)內(nèi)全部獨(dú)立源為零時，No的等效電阻。

isc——短路電流。Ro——諾頓電阻。電流源isc和電阻Ro的并聯(lián)，稱為網(wǎng)絡(luò)的諾頓等效電路。電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時，例9

求圖(a)網(wǎng)絡(luò)的諾頓等效電路。

解：求isc，網(wǎng)絡(luò)外部短路，如圖(a)。求Ro，圖(b)求得畫出諾頓等效電路，如圖(c)所示。含源線性電阻單口網(wǎng)絡(luò)的等效電路只要確定uoc,isc或Ro

就能求得兩種等效電路。

戴維南定理和諾頓定理注意幾點(diǎn)：1.被等效的有源二端網(wǎng)絡(luò)是線性的，且與外電路之間不能有耦合關(guān)系2.求等效電路的Ro時，應(yīng)將網(wǎng)絡(luò)中的所有獨(dú)立源置零，而受控源保留

3.當(dāng)Ro≠0和∞時，有源二端網(wǎng)絡(luò)既有戴維南等效電路又有諾頓等效電路，并且、isc和Ro存在關(guān)系：，4.作為定理，一個電路可以應(yīng)用多次。5.一般端電壓與開路電壓不相等。+－例10用戴維南定理求電路中的電流i。解電路a、b以左電路部分化簡。1.求開路電壓uoc12i14+10V--6i1+abi4(a)12i14+10V--6i1+(b)+uoc-由圖b可得受控源的控制量i1為

i1

＝2A故

uoc＝6i1+4i1=20V12i1’4-6i1’+(c)+u’-i’2.求電阻Ro圖b網(wǎng)絡(luò)的獨(dú)立電壓源置零,得圖c，設(shè)端口電壓為u'，端上電流為

i'則

u'＝6×i1'＋2×i'＋4×i1'由1Ω和4Ω分流關(guān)系可得i1'＝0.2i'

因此u’＝4i’即Ro＝4Ω3.求i

由戴維南定理可將圖a化簡為圖d4+20V-abi4(d)

例11：試求圖(a)的戴維南等效電路。

b1K0.5i1

i11K+10V-a(a)解：節(jié)點(diǎn)法求開路電壓。解得輔助方程:+uoc-i=0加壓求流法求等效內(nèi)阻。1K0.5i1

i11Ka(b)b列方程：解得：

+

-如果要用開短路法，求短路電流。+10V-1K0.5i1

i11Ka(c)iSC列方程：解得：

例12：圖(a)電路中，N為有源線性二端網(wǎng)絡(luò)，已知：若A、B開關(guān)都打開時，I=0.1A;若A打開，B閉合時，I=0.125A;試求：若A閉合，B打開時，I=?INAB6020解：法1：應(yīng)用替代定理和疊加定理(a)I=0.1AN8V+－INAB6020(a)(b)由題意，A、B都打開時，應(yīng)用替代定理，如圖(b)所示；設(shè)N中電源單獨(dú)作用時產(chǎn)生的電流為x;單位電壓源作用時產(chǎn)生的電流為y。則有I=0.125AN7.5V+－INAB6020(a)(c)同理，A打開，B閉合時，應(yīng)用替代定理，如圖(c)所示；則，有方程為兩方程聯(lián)立(a)解得：則，所求電流為法2：應(yīng)用戴維南定理。則得圖(d):INAB6020RouOCI=0.1AN80RouOC(d)得方程同理，得圖(e)：I=0.125AN60RouOC(e)得方程兩方程聯(lián)立得：3最大功率傳輸定理Ro+uoc-abiRL

負(fù)載電阻吸收的功率欲獲得最大功率，可得最大功率傳輸條件：

RL＝Ro此時，負(fù)載獲最大功率為：此時對于等效電路而言:效率為50%。例13RL=?，負(fù)載獲最大功率,PLmax=？

解a、b以左化為等效戴維南電路。1.求開路電壓u

oc1050+10V-0.04uabRL+u-uoc＝12.5V1050+10V-0.04vocab+uoc-節(jié)點(diǎn)法得2.求電阻Ro先求iscisc

＝1A

Ro＝uoc/isc=12.5Ω1050+10V-0.04uab+u-isc由于u=0，受控源開路3.當(dāng)RL=

Ro=12.5Ω時，負(fù)載獲最大功率4.4特勒根定理特勒根第一定理(功率守恒)：任意一個具有b條支路、n個節(jié)點(diǎn)的集總參數(shù)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)它的各支路電壓和電流分別為和(k＝1、2、3、…b)，且各支路電壓和電流取關(guān)聯(lián)參考方向，則有

特勒根第二定理(似功率守恒)：和支路電壓和電流取關(guān)聯(lián)參考方向且相同，則有NN’有向圖相同支路電壓支路電流2422-2V+5Ai1i2i5i6i3i4242-4V+2Ai1’i2’i5’i6’i3’i4’

+4V-156234驗(yàn)證：有相同的有向圖如右N:u1＝6V，u2＝－4V，u3＝2V，u4＝4V，

u5＝2V，

u6＝－8V；

i1＝3A，

i2＝－2A，

i3＝1A，

i4＝1A，

i5＝4A，

i6＝5A。因此有，6×3＋(-4)×(-2)＋2×1＋4×1＋2×4＋(-8)×5＝0N’:u1'＝4V，

u2'＝0V，

u3'＝4V，

u4'＝8V，

u5'＝4V，

u6'＝－8V；

i1'＝2A，

i2'＝0A，

i3'＝－2A，

i4'＝2A，

i5'＝0A，

i6'＝2A。因此有，4×2＋0×0＋4×(-2)＋8×2＋4×0＋(-8)×2＝0這就驗(yàn)證了特勒根第一定理。=

6×2＋(-4)×0＋2×(-2)＋4×2＋2×0＋(-8)×2＝0=4×3＋0×(-2)＋4×1＋8×1＋4×4＋(-8)×5＝0這就驗(yàn)證了特勒根第二定理。特勒根定理適用于任意集總參數(shù)電路特勒根第二定理的證明：設(shè)N和N’兩網(wǎng)絡(luò)均有n個節(jié)點(diǎn)b條支；。各支路電壓、電流的參考方向關(guān)聯(lián)且相同。則N網(wǎng)絡(luò)的KCL方程為將上式分別乘以N’網(wǎng)絡(luò)的相應(yīng)電壓，有將上式左端全部加起來，得由故得同理例14

NR僅由電阻組成，已知i1＝-2A，

i2＝1A；若電阻由4Ω改為8Ω，i1'＝-1.8A，

試求i2'?。NRi1'+3v-+u1'-i2'+u2'-8ΩNRi1+3v-+u1-i2+u2-4Ω解：NR僅由電阻組成(k=3,…,b)得：故：i1＝-2A，

i2＝1A，i1‘＝-1.8A代入NRi1'+3v-+u1'-i2'+u2'-8ΩNRi1+3v-+u1-i2+u2-4Ω4.5互易定理互易性——線性不含獨(dú)立源、受控源的電路，在單一激勵情況下，激勵和響應(yīng)的位置互換，相同激勵的響應(yīng)不變互易網(wǎng)絡(luò)：具有互易性的網(wǎng)絡(luò)R1R2abcdi+uS-R3R1R2abcdi’+uS-R3互易定理有三種形式：該網(wǎng)絡(luò)是互易網(wǎng)絡(luò)形式一：NR僅由電阻組成，獨(dú)立電壓源us激勵與響應(yīng)電流互換位置，響應(yīng)電流相同。

即

i２＝i１'11’22’i2+uS-NR+v1-i１+u2-+uS-11’22’i2'NR+u1'-i１'+v2'-形式二：

NR僅由電阻組成，獨(dú)立電流源is激勵與響應(yīng)電壓互換位置，響應(yīng)電壓相同。

即

u２＝u1’11’22’iSNR+u1-i１+u2-

iS11’22’i2'NR+u1'-+u2'-形式三：

NR僅由電阻組成，激勵電壓源us與響應(yīng)電壓互換位置，將此激勵換為相同數(shù)值的獨(dú)立電流源is，產(chǎn)生的響應(yīng)電流在數(shù)值上與原響應(yīng)電壓相等。即數(shù)值上:

i１'

＝

u２11’22’+uS-NR+u1-i１+u2-

iS11’22’i2'NR+u1'-+u2'-i1'用特勒根定理證明：由例11知得

對于形式一，u1

＝us，u2

＝0，u1'＝0，u2'＝us，代入上式可得

usi1'＝usi2故

i2

＝i1'因此形式一成立。也可表示為：圖(a)的電壓源比電流等于交換位置后圖(b)的電壓源比電流。對于形式二，i1＝is，i2＝0，i1‘＝0，i2’＝is

，代入上式可得

u2is

＝u1'is故

u2＝u1'因此形式二成立。也可表示為：圖(a)的電流源比電壓等于交換位置后圖(b)的電流源比電壓。對于形式三，u1＝u，i2＝0，

u1’＝0，i2’＝is

，代入上式可得

uSi1’＝u2

is由于uS

與is數(shù)值相同，故數(shù)值上

u2

與i1’

相等。因此形式三成立。也可表示為：圖(a)的電壓源比電壓等于交換位置后圖(b)的電流源比電流。注意：1.NR不含獨(dú)立源、受控源，外部只有單個激勵和響應(yīng)；2.若互易前后激勵和響應(yīng)的參考方向關(guān)系一致(都相同或都相反)，則對形式一和二有相同激勵產(chǎn)生的響應(yīng)相同；對形式三則相同激勵產(chǎn)生的響應(yīng)相差一個負(fù)號。例15

試求i?2Ω2Ω3Ω8Ω4Ωi-10V+2Ω2Ω3Ω8Ω4Ωi+10V-解：互易形式一223Ω84i+10V-i1i2i3223Ω84i+10V-i1i2i3列KCL，得例16已知圖（a）中i2＝0.1A;圖（b）中得i1'＝0.4A。試求R之值。NRi2+u2-20Ω1AR圖(a)NRi1’20Ω2AR圖(b)解：由圖(a)得u2=20i2=2V1/2=2/u1’得u1’=4

V故R＝u1’/i1’=4/0.4=10ΩNR20Ω2AR圖(c)+u1’-互易定理形式二可得例17已知圖（a）中u1＝10V,u2＝5V。

i1=2A，試求圖（b）的i1'2’11’2NR+u1-+u2-i1a2A11’22’NR+u1'-+u2'-i1'2A5Ωb解一：特勒根定理求解11’22’NR+u1'-+u2'-i1'2A5Ωb2’11’2NR+u1-+u2-i1a2Ai2得：i1'=0.5A解二：戴維南定理+互易定理求解2’11’2NR+u1-+u2-i1a2Ai211’22’NR+uoc-+u2'-2A移去5Ω，由互易定理的形式二，得

uoc=5V2’11’2NR+u1-+u2-i1a2Ai2求Ro：由圖（a）得Ro=5Ω

11’22’NR+u2'-Ro5+5V-i’1511’(b)圖化為：例18已知圖（1）中，No為無源線性電阻網(wǎng)絡(luò)，流過uS的電流為Im；圖（2）的開路電壓為uo,Rab

=R0。NoaIm圖(1)b+uS-RkNoa圖(2)b+uS-Ro+uo-問:圖(3)的Rx為何值，才有Im=Im’。No+uo’-Rx圖(3)Im’+uS-Ix’NoaIm圖(1)b+uS-RkNo+uo’-Rx圖(3)Im’+uS-Ix’解：特勒根定理求由于題目要求Im=Im

’，所以對輸出端而言，圖（2）與（3）等效。因?yàn)?，uS與Rx并聯(lián)可等效為uS，因此Noa圖(2)b+uS-Ro+uo-No+uo’-Rx圖(3)Im’+uS-Ix’圖(2)可知，圖（1）ab以左等效為R0串聯(lián)uo戴維南電路，所以即：所以：則：例19NR網(wǎng)絡(luò)為純電阻網(wǎng)絡(luò)，在圖(a）中，當(dāng)Us1＝70V時，I1＝0.5A

，I2＝0.2A

，U3＝14V。試求：圖（b）中Us2＝105V，Is3＝3.5A，R1’＝210時的I1’。

U3+－+－NRI2US1I1(a)US2+－NRIs3I1’R1’(b)11’33’33’11’22’22’解：法1：計算1、1’端的戴維南電路。由圖(a)得1、1’端等效內(nèi)阻為由互易定理，得圖(b)電壓源單獨(dú)作用時的1、1’的短路電流為代入數(shù)字，有得圖(b)電壓源單獨(dú)作用時的諾頓等效電路的短路電流，為得圖(b)電壓源單獨(dú)作用時的戴維南等效電路的開路電壓，為由互易定理，得圖(b)電流源單獨(dú)作用時的1、1’的開路電壓為代入數(shù)字，有得圖(b)電流源單獨(dú)作用時的戴維南等效電路的開路電壓，為得圖(b)1、1’端的戴維南等效電路的開路電壓，為于是，得法2：應(yīng)用特勒根定理:于是，得4.6電路的對偶原理與對偶電路1.電路的對偶特性KCL:節(jié)點(diǎn)、電流和為零KVL:回路、電壓和為零戴維南電路：電阻、電壓源串聯(lián)u=uS-RSi諾頓電路：電導(dǎo)、電流源并聯(lián)

i=iS-GSu2.對偶電路節(jié)點(diǎn)方程：is1

G2G1G3iS2123N網(wǎng)孔方程：

+vs1-R3R1R2+vs2-im1im2N’電路N’網(wǎng)孔方程：電路N節(jié)點(diǎn)方程：數(shù)學(xué)意義上相同

+vs1-R3R1R2+vs2-im1im2N’is1

G2G1G3iS2123N電路對偶拓?fù)鋵ε荚ε糝1

+us1-R5R2R3R4iS2N3.對偶電路的畫法：（1）N的每個網(wǎng)孔中安放N’的一個節(jié)點(diǎn)，N的外網(wǎng)孔對應(yīng)N’的參考節(jié)點(diǎn)1234R1

+us1-R5R2R3R4iS2N1234（2）穿過N的每個元件，用虛線將節(jié)點(diǎn)聯(lián)起來，表N’的一個支路，其元件是N中穿過元件的對偶元件（3）電源極性：設(shè)N網(wǎng)孔方向取順時針。R1

+us1-R5R2R3R4iS2N1234電壓源：若沿網(wǎng)孔方向電壓升，則N’中電流源流入該網(wǎng)孔所對偶的節(jié)點(diǎn)；反之，流出該節(jié)點(diǎn)?！魅?電流源：若與網(wǎng)孔方向一致，則N’中電壓源正極與該網(wǎng)孔所對偶的節(jié)點(diǎn)相接——2